=問題=
設a, b, c為實數,若a^2+b^2+c^2=\frac{9}{2}, a+b+c=1,試求c值的範圍
[出處:許清土,南一版高中數學學習講義3A,109學年(上)]
=解法=
這裡提出本題的三種解法:2變數的Cauchy不等式、立體幾何、Lagrange乘子法。前兩種屬於高中數學的範疇,第三種則是多變數微積分。
2變數的Cauchy不等式
許清土老師在講義中給出的作法是用2變數Cauchy不等式,如下所示。
首先考慮a, b的Cauchy不等式,得
\left( a^2 + b^2 \right) \cdot \left( 1^2 + 1^2 \right) \ge \left( a \cdot 1 + b \cdot 1 \right)^2,
\left( a^2 +b^2 \right) \cdot 2 \ge \left( a + b \right)^2,
由a^2 + b^2 + c^2 = \frac{9}{2}與a + b + c = 1得a^2 + b^2 = \frac{9}{2} - c^2與a + b = 1 - c,代入以上的不等式,得
\left( \frac{9}{2} - c^2 \right) \cdot 2 \ge \left( 1 - c \right)^2,
整理得
3c^2 - 2c - 8 \le 0,
再因式分解有
(3c + 4)(c - 2) \le 0,
故得到
\frac{-4}{3} \le c \le 2.
立體幾何
考慮球面S: x^2 + y^2 + z^2 = \left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)^2,其球心在原點O(0, 0, 0),而半徑為\frac{3}{\sqrt{2}}。再考慮平面E: x + y + z = 1。取動點P(a, b, c),由於P之座標滿足方程式x^2 + y^2 + z^2 = \frac{9}{2}與x + y + z = 1,所以可知P在球面S與平面E的相交位置,也就是一個圓,命此圓為K。
設平面E與x, y, z軸的交點分別為A, B, C,座標分別是A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)。於是圓K就落在正三角形ABC所決定的平面上,圓心K就是正三角形ABC的重心\left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)。在圓K上任一點與球心O的距離皆為\frac{3}{\sqrt{2}},而圓心K與球心O的距離為\sqrt{\left( \frac{1}{3} \right)^2+\left( \frac{1}{3} \right)^2+\left( \frac{1}{3} \right)^2} = \frac{1}{\sqrt{3}},於是圓K的半徑r = \sqrt{\left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)^2 - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2} = \frac{5}{6}\sqrt{6}。
因為所求的是c的範圍,所以我們要找出在圓K上的最低點與最高點的z座標。由對稱性可知,圓K上的最低與最高點所決定的直線會是三角形ABC的對稱軸。取A, B中點M\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right),再考慮向量\overrightarrow{MC} = \left[ \begin{array}{c} \frac{-1}{2} \\ \frac{-1}{2} \\ 1 \end{array} \right],做伸縮得\overrightarrow{v} = \left[ \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right],於是\left| \overrightarrow{v} \right| = \sqrt{6},再與圓K的半徑相比較,可得
最高點 = 圓心K + \frac{5}{6} \overrightarrow{v} = \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) + \frac{5}{6} \left( -1, -1, 2 \right) = \left( \frac{-1}{2}, \frac{-1}{2}, 2 \right),
最低點 = 圓心K - \frac{5}{6} \overrightarrow{v} = \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) - \frac{5}{6} \left( -1, -1, 2 \right) = \left( \frac{7}{6}, \frac{7}{6}, \frac{-4}{3} \right).
所以\frac{-4}{3} \le c \le 2。
附記
此題是我在2020/12/27教育嫆時遇到的,當時未立刻解出來,實在沒想到應該要怎樣去調整Cauchy不等式。所以就改用幾何的角度切入。自己的評價是,雖然運算簡單,但幾何圖形可能對一般學生難以想像,所以不太適合用作課堂教學用。
Lagrange乘子法
首先處理題目所給的方程式。由a+b+c=1得c=1-a-b,代入a^2 + b^2 + c^2 = \frac{9}{2}得2a^2 + 2y^2 + 2ab -2a - 2b - \frac{7}{2} = 0。所以取目標函數
f(a, b) = 1 - a - b.
而約束條件方程式則取為
g(a, b) = 2a^2 + 2y^2 + 2ab -2a - 2b - \frac{7}{2} = 0.
由於f, g都是多項式函數,在\mathbb{R}^2上皆可微,故由Lagrange乘子法知,存在\lambda \in \mathbb{R}使得
\nabla f = \lambda \cdot \nabla g,
亦即
\left[ \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right] = \lambda \left[ \begin{array}{c} 4a+2b-2 \\ 2a+4b-2 \end{array} \right].
因此有a = b。代回約束條件,得方程式
a^2 + a^2 + (1 - 2a)^2 = \frac{9}{2}.
解之可得
a = \frac{7}{6} 或 \frac{-1}{2}.
於是便有
f \left( \frac{7}{6}, \frac{7}{6} \right) = 1 - \frac{7}{6} - \frac{7}{6} = \frac{-4}{3},
以及
f \left( \frac{-1}{2}, \frac{-1}{2} \right) = 1 - \frac{-1}{2} - \frac{-1}{2} = 2.
由於f在\mathbb{R}^2上連續,因此得c之範圍為\frac{-4}{3} \le c \le 2。
=同場加映=
連威翔,一道三變數的受約束極值問題的另解(https://blog.xuite.net/isdp2008am/wretch/589551033)
=類題=
設x, y, z \in \mathbb{R},已知\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=3 \\ xy + yz + zx=-9 \end{array} \right.,求x的最大值與最小值。
[106,彰化女中,教師甄試,第一次]
[提示]:利用題目所給的兩條等式先求出x^2+y^2+z^2的值。