Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

2021年11月22日 星期一

用幾何意義處理一道雙曲線積分問題

前兩天在twitter上看到一到積分題


很顯然就是得利用部分積分法與三角代換去處理。

該推文附上的解答為


其實也不甚困難。

不過我偏好用幾何眼光處理問題,所以下面的解法是90%的幾何、10%的代數/微積分。

首先注意被積函數y=x2+1是雙曲線y2x2=1的一個分支,我們將之圖形繪出,並標出幾個線段的長度,如下所示。


於是所求的積分10x2+1dx就是「曲邊梯形」OACB的面積,而此塊面積可以分解如
OACB=ΔBOE+ΔOEA+ΔDEA+曲邊四邊形CDEB.
其中ΔBOE,ΔOEA,ΔDEA都是一樣的等腰直角三角形,邊長為22,面積為22×22×12=14,所以這三塊面積為34

下面接著處理曲邊四邊形CDEB。由於CDEB=CFDEBΔCDF,所以誘導我們去考慮將圖形進行順時針45旋轉,得下圖。

原本的雙曲線y2x2=1經過旋轉後變為y=±12x。於是
CFDEB=1+222212xdx=121+22221xdx=12[ln(1+22)ln22]=12ln(1+2).

所以

CDEB=CFDEBΔCDF=12ln(1+2)(122)2×12=12ln(1+2)34+22.

然後

10x2+1dx=ΔBOE+ΔOEA+ΔDEA+CDEB=34+12ln(1+2)34+22=22+12ln(1+2)

(解答終了)

 可愛妹子時間~

涼本奈緒好可愛呀!!!(@naosuzumoto


2021年11月5日 星期五

2018印度理工學院入學考試高級試(JEE Advanced)的一題微分方程初始值問題

==問題== 

(譯文)

設可微函數f:RR滿足f(0)=1且對於任意實數x,y

f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)f(y).

試求出lnf(4)之值。

(原文)

Let f:RR be a differentiable function with f(0)=1 and satisfying the equation

f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)f(y)for allx,yR.

Then the value of lnf(4) is     .

==解答==

(1)

f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)+f(0)f(0)f(0)=2f(0)f(0)1=21f(0)f(0)=12.

(2)

f(x)=f(0+x)=f(0)f(x)+f(0)f(x)=1y+12yy=y+12yy=12yy=e12x+C.

x=0代入,得

1=e120+C.

C=0,即

y=e12x.

所以

lnf(4)=lne124=lne2=2.

==評論==

輕而易舉

2021年10月25日 星期一

對數不等式一題

==問題==

a為實數。當a為何值時,式loga(a2+a)為正?

==解答==

首先分析對數的底數與真數。

底數為a,故a>0a1

真數為a2+a,所以a2+a>0。對不等式a2+a>0左右同加14,得a2+a+14>14,於是(a+12)2>14,化簡為(a+12)2(12)2>0,利用平方差公式得(a+1212)(a+12+12)>0,即a(a+1)>0,從而a>0a<1

綜上所述,得a>0a1

接著分析對數不等式本身。

loga(a2+a)>0即為loga(a2+a)>loga1。此時必須按a的大小分情況才能確定下一步。

情形10<a<1

此時由loga(a2+a)>loga1可推得a2+a<1,於是a2+a1<0,解得152<a<1+52。但注意在此情況預先限定0<a<1,所以結論是0<a<1+52

情形2a>1

此時由loga(a2+a)>loga1可推得a2+a>1,於是a2+a1>0,解得a<152a>1+52。但注意在此情況預先限定a>1,所以結論是a>1

綜合以上情形1與情形2討論結果,可得0<a<1+52a>1

事實上,如果考慮函數y=logx(x2+x),則不等式loga(a2+a)>0可看做尋找函數曲線在x軸上方的部分。此函數的圖形如下:

2021年10月20日 星期三

藥師輪值排班問題

==問題== 

航獵藥局有三名藥師,週一到週五每天均需安排兩名藥師負責發放口罩,若每名藥師最多輪值四天,則這五天藥師們有多少種輪值的方式。

[109,第一學期,台北區第一次學科能力測驗模擬考]

==解答==

假定藥師為A,B,C,出席天數各為a,b,c,再根據條件「最多輪值四天」,以大者為優先來列出,可得到(a,b,c)=(4,4,2),(4,2,4),(2,4,4)(4,4,2),(4,3,3),(3,4,3),(3,3,4)(4,3,3)

先以(4,4,2)做討論。首先A從5天中選擇4天輪值。接著換B選輪值日,但注意到B必定要在A沒上班的那一日去上班,所以B的自由選擇只有從4天中選擇3天。最後是C只能從剩下的日子照單全收。因此排班的方法數為

(54)×(11)×(43)×(22)=20.

其他的(4,2,4)(2,4,4)討論方式亦然,也都是20種。

再以(4,3,3)做討論。首先A從5天中選擇4天輪值。接著換B選輪值日,但注意到B必定要在A沒上班的那些日子去上班,所以B的自由選擇只有從4天中選擇2天。最後是C只能從剩下的日子照單全收。因此排班的方法數為

(54)×(11)×(42)×(33)=30.

其他的(3,4,3)(3,3,4)討論方式亦然,也都是30種。

因此本題的排班方法數為20×3+30×3=150種。

(解答終了)

2021年9月2日 星期四

110年學測試辦考試,數學單選5,壽司

==問題== 

甲、乙、丙三人到旋轉壽司餐廳用餐。餐廳現有10種壽司,每種壽司僅剩2盤。假設每種壽司每個人至多只能拿1盤,用完餐後發現每種壽司都至少有人拿了1盤。試問三人拿取壽司的組合共有幾種?

(1) 210    (2) 510    (3) 610    (4) 710    (5) 810

==解答==

假設壽司種類為a1,a2,,a10

單以第1種壽司a1而論,根據題目條件,被拿取的可能盤數為1或2。如果是被拿1盤,那麼就是甲、乙、丙三人之中一人所取,因此有(31)=3種可能;如果是被拿2盤,那麼就是甲、乙、丙三人之中的兩人所取,因此有(32)=3種可能。由加法原理知,a1壽司的分配方法一共有3+3=6種可能。

對於其他壽司a2a3、...、a10討論的方法也都相同,所以各別亦都是6種可能性。

a1開始逐步分配,直到a10分完為止,依據乘法原理,一共有6×6××610=610種方法。所以選(3)。

(解答終了)

2021年9月1日 星期三

110年學測試辦考試,數學非選擇題,平面線性變換的問題

==問題== 

T表由[abba]定義的平面線性變換,其中ab為實數。試回答下列問題。

18. 若T將點(0,1)映射到直線y=5x+13上一點,試問下列哪一選項是正確的?(單選題,3分)

       (1) a5b=13

       (2) a+5b=13

       (3) 5ab=13

       (4) 5a+b=13

       (5) 5a+b=13

19. 若T將直線y=x+1上的點都映射到直線y=5x+13上,試求ab。(非選擇題,6分)

20. (承19題)設P,Q為平面上兩相異點,令P=T(P)Q=T(Q),試說明¯PQ¯PQ為定值,並求此值。(非選擇題,6分)

==解答==

18. [abba][01]=[ba],所以將x=b,y=a代入直線方程式y=5x+13,得a=5(b)+13,整理有a+5b=13,選(2)。


19. 再取直線y=x+1上另一點(1,0),於是可經T變換為點(a,b)。根據題意,點(a,b)也會在直線y=5x+13上,所以代入得5ab=13。因此與18題的a+5b=13一起,可解得a=3,b=2


20. 根據19題的結果,題目的矩陣為[3223],可將之改寫為13[313213213313],這意味著變換T的幾何意義為:以原點O為中心,先旋轉角度θ,然後再伸縮13倍,其中角度θ滿足{cosθ=313sinθ=213,如下圖所示:


因此如果設¯PQ的長度為l,起先旋轉不會改變其長度,但接下來會伸縮13倍,從而¯PQ的長度為13l,得¯PQ¯PQ=13

(解答終了)

2021年8月15日 星期日

連續正整數立方和公式反推數列通項的數學歸納法問題

==問題== 

an是一個正實數所構成的無窮數列,且滿足

ni=1a3i=(ni=1ai)2,n1.

是否此數列為an=n

[許志農,《算術講義》,第4章  數學歸納法  習題4.4]

==解答==

首先要計算數列的前幾項。

n=1時,根據數列所滿足的條件有a31=(a1)2,解得a1=1

n=2時,根據數列所滿足的條件有13+a32=(1+a2)2,解得a2=2

n=3時,根據數列所滿足的條件有13+23+a33=(1+2+a3)2,解得a3=3

從以上的計算,猜測an=n

假定ai=ii=1,2,,n都成立,亦即有a1=1,a2=2,,an=n

n+1時,根據數列所滿足的條件有

13+23++n3+a3n+1=(1+2++n+an+1)2,

其中13+23++n3=[n(n+1)2]2,而1+2++n=n(n+1)2,代入後得

[n(n+1)2]2+a3n+1=(n(n+1)2+an+1)2,

整理得

a3n+1n(n+1)an+1a2n+1=0.

注意an+1>0,所以上式可約去an+1,得

a2n+1an+1n(n+1)=0.

因式分解有

(an+1+n)(an+1(n+1))=0.

於是an+1=n+1(捨去負根)。因此由數學歸納法證得an=n

(解答終了)

2021年8月3日 星期二

用因式分解處理一道不定方程式

補習班的匿名群組中,有學生問了一道不定方程式:

已知a,b皆為正整數,且a<b,則滿足方程式1a+1b=374的數對(a,b)=            。(有3組解)

同事(不曉得哪一位)給出了以下的解法:


同事的分析十分細密,式子的變形玩得666。我沒有同事那麼擅長處理式子變形,所以想了一個做法:

對於題目的方程式1a+1b=374左右同乘以74ab

74b+74a=3ab,

整理得

3ab74a74b=0

聯想因式分解xy+x+y+1=(x+1)(y+1),再對整理後的式子左右同乘以3,得

9ab222a222b=0.

於是可以改寫為

(3a74)(3b74)74×74=0.

也就是

(3a74)(3b74)=74×74.

其中3a743b74都是正整數,且3a74<3b74,所以將74×74分解為一小一大的整數的乘積:

74×74=37×148=4×1369=2×2738=1×5476.

得到

(3a74,3b74)=(37,148),(4,1369),(2,2738),(1,5476).

故解出

(a,b)=(37,74),(26,481),(X,X),(25,1850).

2021年7月19日 星期一

[短評] 數學女孩秘密筆記學習對話篇


昨天到貨後,在床上翻了2小時讀完。與《數學女孩》其他本稍微不太一樣,這本主題著重於「教與學」,花了半本書的篇幅去討論y=x的圖形,所用的數學相當地淺。菜鳥老師大概會對其中野奈妹妹的諸多疑問感到困惑,諸如「文字用p跟用s一樣嗎?」、「方程式未知數文字為何x要用小寫?大寫X不行嗎?」這樣的問題,對於經歷過大學數學epsilon delta洗禮過的人,大概會難以理解何以會有問題。事實上這些奇怪的問題都確實是在教學現場會遇到的,但卻因為各種判斷標準認定這些是旁枝末節的問題,所以學生不敢問、老師不理會,只有在教學兩端都相當靠近、彼此願意敞開心胸坦誠以對,才會意識到這些問題存在。我非常佩服作者結城浩先生,想必他有著豐富的教學經驗,雖然寫的是小說,但卻用虛擬筆法寫出了深刻的實際。當我們投入教育這份工作,我們老師追求的是什麼?對於教學經驗豐富的老師,在閱讀此書時,大概也能會心一笑,然而我們能夠改善些什麼?這應該是在讀完此書後要去深思的。

[勘誤]

第104頁,內文第3行,原文作「該區域的邊界為=sin x」,應更正為「該區域的邊界為y=sin x」。

第192頁,內文倒數第4行,原文作『p為任意時數時,點(p, 2p)落在...』,應更正為『p為任意實數時,點(p, 2p)落在...』

2021年5月10日 星期一

一題迴歸直線的計算

 這篇只是教學材料。

==問題==

甲、乙、丙、丁、戊五位同學每週上課時數(x)與第一次段考英文成績(y)的統計如下表。將原始資料分別標準化,即令X=xμxσx,Y=yμyσy,而YX的回歸直線為Y=aX+b,試求數對(a,b)

每週上網時數x(小時) 1 4 7 10 13
段考英文成績y(分) 78 60 69 51 42

==解答==

首先計算兩個統計變量x,y個別的平均數與標準差。

μx=15(1+4+7+10+13)=7.

(請注意x的值呈現等差數列的形式)

μy=15(78+60+69+51+42)=60.

於是

xμx:6,3,0,3,6,

yμy:18,0,9,9,18.

那麼

σx=15[(6)2+(3)2+02+32+62]=32,

σy=15[182+02+92+(9)2+(18)2]=92.

然後計算共變異數與相關係數:

Covxy=15[(6)18+(3)0+09+3(9)+6(8)]=2435.

rxy=Covxyσxσy=910.

最後就可求出yx的迴歸直線,公式為yμyσy=rxμxσx,代入以上計算的數值,得

y6092=910x732.

而標準化為X=xμxσx=x732,Y=yμyσy=y6092,於是就有

Y=910X,

因此a=910,b=0

2021年5月6日 星期四

連續奇數和為完全平方數的數學歸納法證明

 這篇只是教學材料,沒啥新內容。

==問題==

對於任意正整數n,利用數學歸納法證明

1+3+5++(2n1)=n2.

==講解==

首先,要證明的等式分為左式與右式。其中左式為1+3+5++(2n1),而右式為n2。我們要證明的是,無論n代入哪一個正整數,左式的值永遠都要等於右式的值。

數學歸納法的第一步,就是「代入起始值」。以現在這題來說,由於我們要證明的是「對任意正整數n」,也就是所有正整數1,2,3,,那麼n就必須從1開始代入。

n=1時,左式為1,而右式為12=1,顯然左式等於右式,所以我們會說「n=1時,所要證明的敘述成立」。

接下來是數學歸納法的第二步,稱為「建立歸納假設 (Inductive Hypothesis)」。簡單來說,在高中的一般題目的範疇,就是假設「n=k時,要證明的敘述成立」。所以說,我們現在假定了1+3+5++(2k1)確實會與k2相等!

1+3+5++(2k1)=k2.

然後是數學歸納法的第三步,「從歸納假設導出下一階段也正確」。剛才是在n=k時建立了歸納假設「1+3+5++(2k1)=k2」,現在要從這條等式出發,去推導出下一階段n=k+1的情形也會正確。具體步驟如下:

=1+3+5++(2k1)+[2(k+1)1][]=k2+[2(k+1)1][]=k2+2k+1[]=(k+1)2[]=.

這意味著「n=k+1時,所要證明的敘述成立」。

最後我們要再寫上「由數學歸納法得證」,這樣就完成了本題的數學歸納法的證明。

==解答==

n=1時,左式為1,而右式為12=1,左式等於右式,所要證明的敘述成立。

n=k時,要證明的敘述成立,即1+3+5++(2k1)=k2

n=k+1時,

=1+3+5++(2k1)+[2(k+1)1][]=k2+[2(k+1)1][]=k2+2k+1[]=(k+1)2[]=.

n=k+1時,敘述成立。故由數學歸納法得證。

==數學歸納法的結構==

數學歸納法證明,基本上可以分為三個部分:代入起始值建立歸納假設從歸納假設導出下一階段也正確。現在讓我們思考一個問題:

你現在走出門,遇到第1個紅綠燈是亮綠燈。然後,上帝降臨你一個神力,一旦你遇到綠燈後,那麼下一個紅綠燈也會亮綠燈。請問你一路上會不會遇到紅燈?

這問題太簡單了,當然是一路綠燈,不可能遇到紅燈!為什麼呢?因為「遇到第1個紅綠燈是亮綠燈」,保證了你的旅程從綠燈開始。接著「一旦你遇到綠燈後,那麼下一個紅綠燈也會亮綠燈」表示,

有第1個綠燈就會有第2個綠燈,

有第2個綠燈就會有第3個綠燈,

...

有第k個綠燈就會有第k+1個綠燈,

...

那當然一路都是綠燈!

但是這與數學歸納法有什麼關係?

謎底揭曉:

代入起始值=遇到第1個紅綠燈是亮綠燈

建立歸納假設=一旦你遇到綠燈

從歸納假設導出下一階段也正確=下一個紅綠燈也會亮綠燈

這樣是不是更能理解數學歸納法的證明步驟呢?希望這樣的比喻能幫助大家更瞭解。

2021年5月1日 星期六

三角函數積化和差的一個推導方式

        在證明三元算幾不等式p+q+r33pqr時,我們會用到以下的因式分解

a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca). 
其中

a2+b2+c2abbcca=12(2a2+2b2+2c22ab2bc2ca)=12[(a22ab+b2)+(b22bc+c2)+(c22ca+a2)]=12[(ab)2+(bc)2+(ca)2].

這裡用到一個特殊的技巧是a2+b2+c2abbcca=12(2a2+2b2+2c22ab2bc2ca),才可在後續進行配方。我將這個技巧稱為「內乘2、外除2」。

        現在,我們使用這個技巧來推導三角函數的積化和差。以sinxsiny為例:

sinxsiny=122sinxsiny=12(2sinxsiny+cosxcosycosxcosy)=12[(cosxcosy+sinxsiny)(cosxcosysinxsiny)]=12[cos(xy)cos(x+y)]

同樣的技巧,也可以推導出

sinxcosy=12[sin(x+y)+sin(xy)],cosxcosy=12[cos(x+y)+cos(xy)].

我個人認為,這樣的作法,大概比傳統從和、差角公式出發來的簡潔。

2021年4月15日 星期四

空間中的平面的參數式

        高中數學裡,空間中的平面的方程式,都是談「點法式」:給定一點P0(x0,y0,z0),再給定一法向量n=(a,b,c),於是,存在唯一一張通過點P0、且與n垂直的平面,其方程式為

a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0.

此即點法式。

        教完平面方程式後,就會談直線方程式,教學目標有參數式、比例式與兩面式,其中以參數式為最重要的形式。在以往的課綱中,在教平面向量的時候,還會談平面上的直線的參數式。從而在高中數學裡,無論是平面上的直線,還是空間中的直線,都有參數式的表示。

        一個問題是:空間中的平面是否會有參數式?

        提出此問題的動機其實很自然,因為在向量(無論平面還是空間)教學的初始階段,線性組合是向量運算的核心。學生們會學到,如果兩向量平行,那麼它們的線性組合只會產生在同一條直線上的向量;而如果兩向量不平行,那麼它們的線性組合就會產生一張平面!平行與否從幾何角度決定了線性方程組是否有解,所以兩向量的線性組合是非常重要的概念。既然我們一直說不平行的兩向量的線性組合會產生平面,那麼類比直線的參數式,於是平面也應當有所謂的參數式。

        我們現在來談平面的參數式。但我們這裡要特別提請讀者留意,以下的討論過程,會盡量避免使用外積,因為要建構平面方程式,外積的概念並非必要。

        在空間中給定一點P0(x0,y0,z0),然後再取兩個不平行的向量v=(v1,v2,v3),w=(w1,w2,w3),那麼集合

E={P|P=P0+sv+tw,s,tR}

就是一張通過點P0的平面,且平面由vw所張成。其中

P=P0+sv+tw,s,tR

就稱為平面E的參數式。如果將之寫作分量形式,那麼就是

{x=x0+sv1+tw1y=y0+sv2+tw2z=z0+sv3+tw3,s,tR.

        很直觀的,E這個集合確實是一張平面,但是對學生而言它的形式太奇怪,它與平常習慣的點法式大相迥異。以下我們證明,集合E的式子也是具備點法式的形式。

       首先,由於vw不平行,所以下面的三個二階行列式

|v1w1v2w2|,|v2w2v3w3|,|v1w1v3w3|

必定不全為零。不失一般性,我們可假定|v1w1v2w2|0。現在取平面參數式中的前兩條

{x=x0+sv1+tw1y=y0+sv2+tw2

改寫為

{v1s+w1t=xx0v2s+w2t=yy0.

由於假定|v1w1v2w2|0,所以由Cramer法則可解出

s=|xx0w1yy0w2||v1w1v2w2|,t=|v1xx0v2yy0||v1w1v2w2|.

然後將解出的s,t代回原來參數式中的第3式,得到

z=z0+|xx0w1yy0w2||v1w1v2w2|v3+|v1xx0v2yy0||v1w1v2w2|w3.

展開化簡,可得

(v2w3v3w2)(xx0)+(v3w1v1w3)(yy0)+(v1w2v2w1)(zz0)=0.

我們便可取n1=v2w3v3w2,n2=v3w1v1w3,n3=v1w2v2w1,於是平面E上的每一點都會滿足方程式

n1(xx0)+n2(yy0)+n3(zz0)=0.

而方程式n1(xx0)+n2(yy0)+n3(zz0)=0本來就代表一張平面,所以便有

{P|P=P0+sv+tw,s,tR}={(x,y,z)R3|n1(xx0)+n2(yy0)+n3(zz0)=0}.

也就是說,平面E具有點法式n1(xx0)+n2(yy0)+n3(zz0)=0

        讀者可留意,以上的推導過程中,也順勢地誘導出外積的代數定義。所以如果在教學過程中,採用線性組合的方式來引入平面,於是便可在推導「平面上的點的x, y, z座標之間的關係式」的時候引入外積,我個人認為這是一個極好的動機。

更新歷程

2021/04/15  第1稿。

2021/04/16  改正幾處錯別字,對些微文字修改。

2021/04/23  改正幾處錯別字,感謝金門高中許淵智老師指正。

2021年4月12日 星期一

操場追趕相遇問題

==問題== 

紅鬍子和藍鬍子在two piece國中的操場跑步,兩人同時同地逆時針出發,紅鬍子跑步速度比藍鬍子快,當藍鬍子第一次被紅鬍子從背後追上時,藍鬍子馬上轉身沿順時針方向跑。兩人的跑步速度維持不變,當兩人第二次相遇時,紅鬍子恰好跑了四圈,請問紅鬍子的速度是藍鬍子的幾倍?

==解答==

首先進行以下假定:

  • 紅鬍子的速度為,每單位時間內,移動x單位距離;
  • 藍鬍子的速度為,每單位時間內,移動y單位距離;
  • 操場一圈的長度為d單位。

由題目條件「紅鬍子跑步速度比藍鬍子快」,所以可知x>y,從而可知,每單位時間內,紅鬍子會超過藍鬍子xy單位。

兩人第1次相遇時,意味著紅鬍子所移動的距離,剛好比藍鬍子多1圈,也就是d單位。因此可知兩人第1次相遇的時刻dxy

因為我們假定紅鬍子在每單位時間中,會移動x單位距離,所以紅鬍子跑完1圈需時dx單位時間。

根據題目條件「兩人第二次相遇時,紅鬍子恰好跑了四圈」,所以兩人第2次相遇的時刻dx×4

現在讓我們來思考第1次相遇和第2次相遇之間的這段過程。

在第2次相遇時,題目說「紅鬍子恰好跑了四圈」,這表示兩人第2次相遇的位置是在出發點。

如果我們用指針式時鐘來想像,假設紅、藍鬍子一開始都是從鐘面數字12出發,然後在鐘面數字8的位置第1次相遇,於是因為藍鬍子立即折返,所以藍鬍子接下來的位置依序會是8910,而紅鬍子接下來的位置依序是876。我們剛剛已經知道兩人第2次相遇的位置是在出發點,也就是鐘面數字12的位置。那麼現在就清楚了,從第1次相遇到第2次相遇為止,兩人的位置分別依序是

藍鬍子:89101112

紅鬍子: 8765432112

仔細觀察就可發現,兩人在這段時間(第1次相遇到第2次相遇)之內,移動距離的總和正好是整圈

在前面我們已經知道了第1次相遇的時刻dxy,第2次相遇的時刻dx×4,所以從第1次相遇到第2次相遇為止,一共經過了4dxdxy單位時間。

代入前面關於速度的假設,可以得到

x(4dxdxy)+y(4dxdxy)=d

化簡此式。以分配律展開得

4ddxxy+4dyxdyxy=d,

因為距離d0,所以等式兩邊同時約掉d,得

4xxy+4yxyxy=1.

為了消去分母,等式左右兩邊同時乘以x(xy),得

4x(xy)x2+4y(xy)xy=x(xy),

再以分配律展開,並進行同類項化簡後,可得

x22y2=0.

即可解出

xy=2.

因此紅鬍子的速度是藍鬍子的2

==出處==

2021年2月16日 星期二

韓劇《女神降臨》(여신강림,2020)第4集中的函數極限問題

        最近朋友C推薦我看了部韓劇《女神降臨》,劇中的環境很大一部份發生於校園之內,自然就有上課的橋段,作為一個數學老師,當然會特別注意裡頭的數學課情節。在第四集裡,數學老師叫了男主角李修豪(車銀優飾)、女配角姜秀貞(朴柔娜飾)、女主角任朱靜(文佳煐飾)上台解題,我把這一幕截圖了下來:

左:姜秀貞;右:李修豪

左:李修豪;右:任朱靜

我將這三道題目抄錄下來:

 1. lim

2. \displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{l}2, x < 1 \\ x^2 + a, x \ge 1 \end{array}  \right., \lim_{x \rightarrow 1} f(x) = b, a+b=?

3. \displaystyle \frac{2}{x+3} \le \frac{f(x)}{x^2} \le \frac{4}{2x+1}, \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=?

以下是這三道題目的解法。 

--------------------------------------------------

1. \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} = -2, \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + f(x)}{x - f(x)}=?

--------------------------------------------------

[解].

這題要考的是極限的四則運算:

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + f(x)}{x - f(x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + \frac{f(x)}{x}}{1 - \frac{f(x)}{x}} = \frac{1 + (-2)}{1 - (-2)} = \frac{-1}{3}.

難度頗低,叫劇中設定為全校第二名的女配角來做,好像大材小用。

--------------------------------------------------

2. \displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{l}2, x < 1 \\ x^2 + a, x \ge 1 \end{array}  \right., \lim_{x \rightarrow 1} f(x) = b, a+b=?

--------------------------------------------------

[解].

這題考的是分段函數的左右極限。首先因為\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} f(x) = b,所以函數在x = 1的左極限\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1-} f(x)也是b,而根據題目函數的定義,左極限\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1-} f(x)又是2,所以得b = 2

接著從\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} f(x) = b = 2,所以函數在x = 1的右極限\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1+} f(x) = 2。再根據題目函數的定義,右極限\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1+} f(x)1 + a,所以得a = 1

因此題目所求a + b = 1。這題寫起來不難,但解釋起來有點麻煩。

--------------------------------------------------

3. \displaystyle \frac{2}{x+3} \le \frac{f(x)}{x^2} \le \frac{4}{2x+1}, \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=?

--------------------------------------------------

[解].

這題考的是夾擠定理。首先因為要討論的是x \rightarrow \infty時的函數的性狀,所以必定有x > 0。接著對題目所給的不等式\frac{2}{x+3} \le \frac{f(x)}{x^2} \le \frac{4}{2x+1}進行變形,同時乘以x,得

\frac{2x}{x+3} \le \frac{f(x)}{x} \le \frac{4x}{2x+1}.

(注意同乘以正數x會讓不等式保持順序)由於\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{x+3} = 2,且\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4x}{2x+1} = 2,所以由夾擠定理得

\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} = 2.

我覺得這比第1題難啊...編劇安排笨蛋女主角來做,根本虐菜吧呵呵。

2021年1月22日 星期五

2016高雄中學科學班方程式正整數解問題

=問題= 

x>y,求方程式x^2+y^2=208(x-y)的所有正整數解。

=解答=

首先由題目條件x^2 + y^2 = 208(x - y)

x^2 + 2xy + y^2 = 208(x-y) + 2xy,

於是

(x+y)^2 = 2 [104(x - y) + xy],

這表示(x+y)^2是偶數,於是x+y是偶數。那麼可令x+y = 2m,代回得

4m^2 = 2 [104(x-y) + xy],

xy = 2[m^2 - 52(x-y)],

所以xy也是偶數。由此可知x, y之中至少其一必為偶數。再由x+y為偶數可知,x, y有相同的奇偶性,故x, y必同為偶數。


現在命x = 2a, y = 2b,代回x^2 + y^2 = 208(x-y)

4a^2 +4b^2 = 208 \cdot 2(a - b),

a^2 + b^2 = 104(a - b).

仿以上的討論,可知a, b必同為偶數,再命a = 2c, b = 2d,得

c^2 + d^2 = 52(c - d).

續行此法,得

c = 2e, d = 2f,

e^2 + f^2 = 26(e - f),

e = 2g, f = 2h,

g^2 + h^2 = 13(g - h).

至此無法再按同格式化簡。注意x = 2^4g, y = 2^4h。我們對上式進行變形,

g^2 - h^2 + 2h^2 = 13(g - h),

2h^2 = (g - h)(13 - g - h).

利用算幾不等式有

\frac{(g - h) + (13 - g - h)}{2} \ge \sqrt{(g-h)(13 - g -h)},

整理得

\frac{13 -2h}{2} \ge \sqrt{2h^2},

2\sqrt{2}h \le 13 - 2h,

h \le \frac{13}{2\sqrt{2} + 2} = \frac{13(\sqrt{2} - 1)}{2} \approx 2.692.

所以h可能為1或2。


h  =1,則

g^2 + 1 = 13(g - 1),

解得

g = \frac{13 \pm \sqrt{143}}{2} \notin \mathbb{Z}.

是以h \ne 1


h = 2,則

g^2 + 4 = 13(g - 2),

解得

g = 3 \quad 或\quad 10.

反推可知

(x, y) = (48, 32) \quad 或 \quad (160, 32).

=附記=

這是2017年3月17日寫的舊文,一直沒有打字,只是用照片的方式把解答貼在臉書粉絲頁。這幾天整理照片,覺得當時的解法還是頗有趣味,既用了整除性的討論,還用了算幾不等式估計範圍,應該打字下來做紀錄。


2021年1月16日 星期六

107指考數甲的平面向量決定區域的函數最大值問題

=問題= 

座標平面上,若A(2, 3)B(-1, 3)兩點,並設O為原點,令E為滿足\overrightarrow{OP} = a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}的所有點P所形成的區域,其中-1 \le a \le 1, 0 \le b \le 4。考慮函數f(x) = x^2+5,試問當限定x為區域E中的點P(x, y)的橫座標時,f(x)的最大值為何?

=解答=

首先將Px座標用a, b表示出來:

\overrightarrow{OP} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right],

\overrightarrow{OP} = a\overrightarrow{OA} +b\overrightarrow{OB} = a\left[ \begin{array}{c} 2  \\ 3 \end{array} \right] + b\left[ \begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2a-b \\ 3a+3b \end{array} \right],

x = 2a-b.

a, b的限制條件有

-2 \le 2a \le 2,

-4 \le -b \le 0.

於是

-6 \le 2a - b \le 2,

-6 \le x \le 2.

所以有

0 \le x^2 \le 36.

因此

5 \le x^2 + 5 \le 41.

得最大值為41。

=附註=

本題我本來打算把圖畫出來,但發現容易畫錯,因為4倍的\overrightarrow{OB}的數字太大,圖不容易畫。後來決定換個方式,直接考慮代數的方式來處理。而我便叫育嫆別用畫圖的方式做。

108指考數乙的平面向量與行列式計算面積問題

=問題= 

考慮座標平面上相異五點O, A, B, C, D。已知向量\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OD} = 3\overrightarrow{OB},且向量\overrightarrow{AB}的座標表示為\overrightarrow{AB} = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right]。試回答下列問題:

(1) 試以座標表示\overrightarrow{DC}

(2) 若\overrightarrow{OA} = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right],試利用二階行列式與面積的關係,求\triangle OCD的面積。

=解答=

(1) 利用向量分解,得

\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DO} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD} = 3\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB} = 3(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = 3(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}) = 3\overrightarrow{BA} = -3\overrightarrow{AB} = \left[ \begin{array}{c} -9 \\ 12 \end{array} \right].

(2) 先求出\overrightarrow{OB}

\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right].

於是

\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OA} = 3\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array} \right],

\overrightarrow{OD} = 3\overrightarrow{OB} = 3 \left[ \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right] =  \left[ \begin{array}{c} 12 \\ -6 \end{array} \right].

因此

\triangle OCD = \frac{1}{2} \left| \det (\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OD}) \right| = \frac{1}{2} |\left| \begin{array}{cc} 3 & 12 \\ 6 & -6 \end{array} \right|| = 45.

108學測的平面向量夾角問題

=問題= 

如圖,A, B, C, D為平面上的四個點。已知\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}兩向量等長且互相垂直,則\tan \angle BAD為何?

=解答=

\overline{AC}\overline{BD}的交點為O,再設\overline{AC}\overline{BD}的長度皆為h,而\overline{OA} = a, \overline{OB} = b

將此圖形放置於平面坐標上,使O為原點,\overline{AC}x軸重合。於是各點的座標分別為A=(-a, 0), C=(h-a, 0), B=(0, -b), D=(0, h-b)。所以得

\overrightarrow{BC} = \left[ \begin{array}{c} h-a \\ b \end{array} \right], \overrightarrow{AB} = \left[ \begin{array}{c} a \\ -b \end{array} \right], \overrightarrow{AD} = \left[ \begin{array}{c} a \\ h-b \end{array} \right].

\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}

 \left[ \begin{array}{c} h-a \\ b \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} a \\ -b \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} a \\ h-b \end{array} \right],

於是有a = \frac{1}{3}h, b = \frac{1}{3}h。所以

\overrightarrow{AB} = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{3}h \\ \frac{-1}{3}h \end{array} \right], \overrightarrow{AD} = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{3}h \\ \frac{2}{3}h \end{array} \right].

\cos \angle (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = \frac{1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2}{\sqrt{1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 +2^2}} = \frac{-1}{\sqrt{10}}.

從而\sin \angle BAD = +\sqrt{1 - \left( \frac{-1}{\sqrt{10}} \right)^2} = \frac{3}{\sqrt{10}},且

\tan \angle BAD = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{-1}{\sqrt{10}}} = -3.

=附註=

題目既然給了兩向量互相垂直,直接設座標應該是最快的想法,剩下的只要計算細心即可。也有別位老師給出其他作法,如

但這實在是太麻煩,沒必要搞那麼複雜。

=拋磚引玉=

>文華高中陳瑋岳老師

臉書的朋友,台中文華高中陳瑋岳老師提供了另一個作法,如下所示:

陳瑋岳老師的真跡

>高雄湯氏數學

一樣也是我的臉書朋友,高雄湯氏數學補習班的湯茗富老師亦提供了一個作法,如下圖所示:

湯茗富老師的真跡

我實在很幸運,有這些數學教育界的朋友,彼此互相激盪腦力,一起為台灣的數學教育打拼。

108指考數甲的平面向量問題

=問題= 

座標平面上以原點O為圓心的單位圓上三相異點A, B, C滿足2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} + 4\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0},其中A點的座標為(1, 0)。試選出正確的選項。(多選)

(A) 向量2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}的長度為4。

(B) 向量內積\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} < 0

(C) \angle BOC, \angle AOC, \angle AOB中,以\angle BOC的度數為最小。

(D) \overline{AB} > \frac{3}{2}

(E) 3 \sin \angle AOB = 4 \sin \angle AOC

=解答=

(A) |2 \overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}| = |-4\overrightarrow{OC}| = |-4| \cdot |\overrightarrow{OC}| = 4 \cdot 1 = 4,正確。

(B) 由(A)有|2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OC}| = 4,於是根據長度與內積的關係得

\sqrt{(2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB})\cdot (2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB})} = 4,

整理得

4|\overrightarrow{OA}|^2 + 12 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + 9|\overrightarrow{OB}|^2 = 16,

注意|\overrightarrow{OA}| = 1|\overrightarrow{OB}| = 1,所以\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{1}{4} > 0,所以(B)錯誤。

(C) 仿(B)之作法,由|2\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OC}| = 3\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = \frac{-11}{16};由|3\overrightarrow{OB} + 4\overrightarrow{OC}| = 2\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \frac{-7}{8}

由於\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}都是單位向量,故內積的計算結果即為其夾角之餘弦值:

\cos \angle AOB = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{1}{4},

\cos \angle BOC = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \frac{-7}{8},

\cos \angle COA = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} = \frac{-11}{16}.

因此可知\angle AOB < \angle COA < \angle BOC。所以(C)錯誤。

(D) 因為

\begin{eqnarray*} \overline{AB} &=& |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}| = \sqrt{(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})} = \sqrt{|\overrightarrow{OB}|^2 - 2 \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OA} + |\overrightarrow{OA}|^2} \\ &=& \sqrt{1 - 2\cdot \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}}, \end{eqnarray*}

所以(D)錯誤。

(E) 由於

\sin \angle AOB = +\sqrt{1 - \cos^2 \angle AOB} = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{4} \right)^2} = \frac{\sqrt{15}}{4},

\sin \angle AOC = +\sqrt{1 - \cos^2 \angle AOC} = \sqrt{1 - \left( \frac{-11}{16} \right)^2} = \frac{3\sqrt{15}}{16}.

3 \sin \angle AOB = 3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4} = 4 \cdot \frac{3\sqrt{15}}{16} = 4 \sin \angle AOC.

故(E)正確。

2021年1月15日 星期五

圓方程式與平面向量的一個問題

 =問題=

學校教官來到圓形公園進行大地尋寶課程,教官發給同學一份圓形公園的平面地圖,地圖上給了三個提示:

第一,將此圓形公園的方程式設為C: (x+2)^2+(y-4)^2=25且寶物就藏在地圖中的P點;

第二,請移動至地圖上的大樹A點處拿取第二個提示;

第三,請移動至地圖上的雕像B點拿取第三個提示。

欣茹A, B兩處拿到的分別為\overrightarrow{AP} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -10 \end{array} \right], \overrightarrow{BP} = \left[ \begin{array}{c} 10 \\ -4 \end{array} \right]。已知A, B兩點均在圓周上,請問寶藏地點P的座標為何?

=解答=

C的圓心為C=(-2, 4),半徑為5。

計算\overrightarrow{AB}如下:

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{BP} =  \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -10 \end{array} \right] -  \left[ \begin{array}{c} 10 \\ -4 \end{array} \right] =  \left[ \begin{array}{c} -8 \\ -6 \end{array} \right],

於是可知|\overrightarrow{AB}| = 10,故可斷定A, B為直徑兩端點。再由圓參數式可假設

A = (-2 + 5 \cos \theta, 4 + 5 \sin \theta), B = (-2 - 5 \cos \theta, 4 - 5 \sin \theta).

再假設P點座標為(p_1, p_2),於是代回題目所給\overrightarrow{AP}\overrightarrow{BP}可得

\overrightarrow{AP} = \left[ \begin{array}{c} p_1 - (-2 + 5 \cos \theta) \\ p_2 - (4 + 5 \sin \theta) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -10 \end{array} \right],

\overrightarrow{BP} = \left[ \begin{array}{c} p_1 - (-2 - 5 \cos \theta) \\ p_2 - (4 - 5 \sin \theta) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 10 \\ -4 \end{array} \right].

重新整理,可得兩組二元一次方程式:

\left\{ \begin{array}{l} p_1 + 2 - 5 \cos \theta = 2 \\ p_1 + 2 + 5 \cos \theta = 10 \end{array} \right. \quad 與 \quad \left\{ \begin{array}{l} p_2 - 4 - 5 \sin \theta = -10 \\ p_2 - 4 + 5 \sin \theta = -4 \end{array} \right. .

便可解出p_1 = 4, p_2 = -3,即P之座標為(4, -3)

=附註=

育嫆說:

所以看來我給的解法不是那麼友善...但我也沒想出其他作法,傷腦筋喔!

106指考數甲的平面向量夾角與長度問題

 =問題=

\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}為兩非零向量,夾角為120^\circ。若\overrightarrow{u}\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}垂直,試選出正確的選項。(多選)

(A) \overrightarrow{u}的長度是\overrightarrow{v}的長度的2倍。

(B) \overrightarrow{v}\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}的夾角為30^\circ

(C) \overrightarrow{u}\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}的夾角為銳角。

(D) \overrightarrow{v}\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}的夾角為銳角。

(E) \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}的長度大於\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}的長度。

=解答=

首先,向量相加,可用平行四邊形法畫出,而由題目條件夾角120^\circ,以及\overrightarrow{u}\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}垂直,可得下圖:

於是|\overrightarrow{u}|, |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|, |\overrightarrow{v}|構成一個30^\circ-60^\circ-90^\circ三角形的三邊長,且

|\overrightarrow{u}|: |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|: |\overrightarrow{v}| = 1: \sqrt{3}: 2.

(A) 錯誤。應更正為:「\overrightarrow{u}的長度是\overrightarrow{v}的長度的\frac{1}{2}倍」。

(B) 正確。

(C) 先計算\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}的內積:

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos 120^\circ = |\overrightarrow{u}| \cdot 2|\overrightarrow{u}| \cdot \frac{-1}{2} = -|\overrightarrow{u}|^2,

於是

\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = |\overrightarrow{u}|^2 - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}|^2 - (-|\overrightarrow{u}|^2) = 2|\overrightarrow{u}|^2 > 0.

內積大於零,意味著兩向量夾角為銳角。所以(C)正確。

(D) 因為

\overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} - |\overrightarrow{v}|^2 = -|\overrightarrow{u}|^2 - (2|\overrightarrow{u}|)^2 = -5|\overrightarrow{u}|^2 < 0.

內積小於零,意味著兩向量夾角為鈍角。所以(D)錯誤。

(E) 分別計算長度:

|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = \sqrt{(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + |\overrightarrow{v}|^2} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 - 2|\overrightarrow{u}|^2 + 4|\overrightarrow{u}|^2} = \sqrt{3}|\overrightarrow{u}|.

|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}| = \sqrt{(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 - 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + |\overrightarrow{v}|^2} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + 2|\overrightarrow{u}|^2 + 4|\overrightarrow{u}|^2} = \sqrt{7}|\overrightarrow{u}|.

所以|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}| > |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|。故(E)錯誤。

2021年1月14日 星期四

107學測的向量線性組合問題

=問題= 

D\triangle ABC\overline{BC}邊上的一點,已知\angle ABC = 75^{\circ}, \angle ACB = 45^{\circ}, \angle ADB = 60^{\circ},若\overrightarrow{AD} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC},則s, t各為多少?

=解答=

首先畫出\triangle ABC

然後再畫出D,圖形如下:


觀察\triangle ABC\triangle ADB,其中各別的角度都相等,所以\triangle ABC \sim \triangle DBA

\overline{AB} = c, \overline{AC} = b, \overline{CD} = a_1, \overline{DB} = a_2, \overline{AD} = d,且a_1 + a_2 = a

於是由三角形相似得

a: b: c = c: d: a_2.

擷取

a: c = c: a_2,

a_2 = \frac{c^2}{a}。而a_1 = a - a_2 = a - \frac{c^2}{a} = \frac{a^2 - c^2}{a}

根據正弦定理可得

a: b: c = \sin A : \sin B : \sin C = \sin 60^\circ : \sin 75^\circ : \sin 45^\circ = 2\sqrt{3} : (\sqrt{6} - \sqrt{2}) : 2\sqrt{2}.

所以可設a = 2\sqrt{3}t, c = 2\sqrt{2}t,其中t > 0

於是a_1 : a_2 = \frac{a^2 - c^2}{a} : \frac{c^2}{a} =  (12 - 8): 8 = 1: 2

最後由向量的分點公式可得

\overrightarrow{AD} = \frac{1}{1 + 2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{1 + 2}\overrightarrow{AC}.

s = \frac{1}{3}, t = \frac{2}{3}

105指考數甲的平面向量內積問題

=問題= 

假設三角形ABC的三邊長分別為\overline{AB}=5, \overline{BC}=8, \overline{AC}=6。請選出和\overrightarrow{AB}內積為最大的選項。(單選)

(A) \overrightarrow{AC}

(B) \overrightarrow{CA}

(C) \overrightarrow{BC}

(D) \overrightarrow{CB}

(E) \overrightarrow{AB}

=解答=

首先畫出三角形ABC

由圖看來,\angle A應是鈍角,為確定此論斷,我們計算\cos A,由餘弦定理得

\cos A = \frac{5^2 + 6^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{-1}{20} < 0.

所以確定了\angle A是鈍角。

既然\angle A是鈍角,那麼剩下的兩個角\angle B, \angle C必為銳角。再由大邊對大角可知\angle B > \angle C

現在觀察各選項所決定的夾角。

(A) \overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}的夾角為\angle A,鈍角。

(B) \overrightarrow{AB}\overrightarrow{CA}的夾角為180^{\circ} - \angle A,銳角。

(C) \overrightarrow{AB}\overrightarrow{BC}的夾角為180^{\circ} - \angle B,鈍角。

(D) \overrightarrow{AB}\overrightarrow{CB}的夾角為\angle B,銳角。

(E) \overrightarrow{AB}\overrightarrow{AB}的夾角為0^{\circ}

若兩向量夾角為鈍角,則內積必為負數。所以不用考慮(A)與(C)。

現在來計算(B)、(D)、(E)。

(B): \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = 5 \cdot 6 \cdot \cos (180^\circ - A) = 30 \cdot (- \cos A) = 30 \cdot \frac{1}{20} = \frac{3}{2}

(D):\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} = 5 \cdot 8 \cdot \cos B = 40 \cdot \frac{5^2 + 8^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = 40 \cdot \frac{53}{80} = \frac{53}{2}

(E):\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = 5^2 = 25

所以\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB}最大,故選(D)。

2021年1月10日 星期日

一道三變數的受約束極值問題

=問題= 

a, b, c為實數,若a^2+b^2+c^2=\frac{9}{2}, a+b+c=1,試求c值的範圍

[出處:許清土,南一版高中數學學習講義3A,109學年(上)]

=解法=

這裡提出本題的三種解法:2變數的Cauchy不等式、立體幾何、Lagrange乘子法。前兩種屬於高中數學的範疇,第三種則是多變數微積分。

2變數的Cauchy不等式

許清土老師在講義中給出的作法是用2變數Cauchy不等式,如下所示。

首先考慮a, b的Cauchy不等式,得

\left( a^2 + b^2 \right) \cdot \left( 1^2 + 1^2 \right) \ge \left( a \cdot 1 + b \cdot 1 \right)^2,

\left( a^2 +b^2 \right) \cdot 2 \ge \left( a + b \right)^2,

a^2 + b^2 + c^2 = \frac{9}{2}a + b + c = 1a^2 + b^2 = \frac{9}{2} - c^2a + b = 1 - c,代入以上的不等式,得

\left( \frac{9}{2} - c^2 \right) \cdot 2 \ge \left( 1 - c \right)^2,

整理得

3c^2 - 2c - 8 \le 0,

再因式分解有

(3c + 4)(c - 2) \le 0,

故得到

\frac{-4}{3} \le c \le 2.

立體幾何

考慮球面S: x^2 + y^2 + z^2 = \left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)^2,其球心在原點O(0, 0, 0),而半徑為\frac{3}{\sqrt{2}}。再考慮平面E: x + y + z = 1。取動點P(a, b, c),由於P之座標滿足方程式x^2 + y^2 + z^2 = \frac{9}{2}x + y + z = 1,所以可知P在球面S與平面E的相交位置,也就是一個圓,命此圓為K

設平面Ex, y, z軸的交點分別為A, B, C,座標分別是A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)。於是圓K就落在正三角形ABC所決定的平面上,圓心K就是正三角形ABC的重心\left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)。在圓K上任一點與球心O的距離皆為\frac{3}{\sqrt{2}},而圓心K與球心O的距離為\sqrt{\left( \frac{1}{3} \right)^2+\left( \frac{1}{3} \right)^2+\left( \frac{1}{3} \right)^2} = \frac{1}{\sqrt{3}},於是圓K的半徑r = \sqrt{\left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)^2 - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2} = \frac{5}{6}\sqrt{6}

因為所求的是c的範圍,所以我們要找出在圓K上的最低點與最高點的z座標。由對稱性可知,圓K上的最低與最高點所決定的直線會是三角形ABC的對稱軸。取A, B中點M\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right),再考慮向量\overrightarrow{MC} = \left[ \begin{array}{c} \frac{-1}{2} \\ \frac{-1}{2} \\ 1 \end{array} \right],做伸縮得\overrightarrow{v} = \left[ \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right],於是\left| \overrightarrow{v} \right| = \sqrt{6},再與圓K的半徑相比較,可得

最高點 = 圓心K + \frac{5}{6} \overrightarrow{v} = \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) + \frac{5}{6} \left( -1, -1, 2 \right) = \left( \frac{-1}{2}, \frac{-1}{2}, 2 \right),

最低點 = 圓心K - \frac{5}{6} \overrightarrow{v} = \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) - \frac{5}{6} \left( -1, -1, 2 \right) = \left( \frac{7}{6}, \frac{7}{6}, \frac{-4}{3} \right).

所以\frac{-4}{3} \le c \le 2

附記

此題是我在2020/12/27教育嫆時遇到的,當時未立刻解出來,實在沒想到應該要怎樣去調整Cauchy不等式。所以就改用幾何的角度切入。自己的評價是,雖然運算簡單,但幾何圖形可能對一般學生難以想像,所以不太適合用作課堂教學用。

Lagrange乘子法

首先處理題目所給的方程式。由a+b+c=1c=1-a-b,代入a^2 + b^2 + c^2 = \frac{9}{2}2a^2 + 2y^2 + 2ab -2a - 2b - \frac{7}{2} = 0。所以取目標函數

f(a, b) = 1 - a - b.

而約束條件方程式則取為

g(a, b) = 2a^2 + 2y^2 + 2ab -2a - 2b - \frac{7}{2} = 0.

由於f, g都是多項式函數,在\mathbb{R}^2上皆可微,故由Lagrange乘子法知,存在\lambda \in \mathbb{R}使得

\nabla f = \lambda \cdot \nabla g,

亦即

\left[ \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right] = \lambda \left[ \begin{array}{c} 4a+2b-2 \\ 2a+4b-2 \end{array} \right].

因此有a = b。代回約束條件,得方程式

a^2 + a^2 + (1 - 2a)^2 = \frac{9}{2}.

解之可得

a = \frac{7}{6}  或  \frac{-1}{2}.

於是便有

f \left( \frac{7}{6}, \frac{7}{6} \right) = 1 - \frac{7}{6} - \frac{7}{6} = \frac{-4}{3},

以及

f \left( \frac{-1}{2}, \frac{-1}{2} \right) = 1 - \frac{-1}{2} - \frac{-1}{2} = 2.

由於f\mathbb{R}^2上連續,因此得c之範圍為\frac{-4}{3} \le c \le 2

=同場加映=

連威翔,一道三變數的受約束極值問題的另解https://blog.xuite.net/isdp2008am/wretch/589551033

=類題=

x, y, z \in \mathbb{R},已知\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=3 \\ xy + yz + zx=-9 \end{array} \right.,求x的最大值與最小值。

[106,彰化女中,教師甄試,第一次]

[提示]:利用題目所給的兩條等式先求出x^2+y^2+z^2的值。