=問題=
如圖,A,B,C,D為平面上的四個點。已知→BC=→AB+→AD,→AC,→BD兩向量等長且互相垂直,則tan∠BAD為何?
=解答=
設¯AC與¯BD的交點為O,再設¯AC與¯BD的長度皆為h,而¯OA=a,¯OB=b。
將此圖形放置於平面坐標上,使O為原點,¯AC與x軸重合。於是各點的座標分別為A=(−a,0),C=(h−a,0),B=(0,−b),D=(0,h−b)。所以得
→BC=[h−ab],→AB=[a−b],→AD=[ah−b].
由→BC=→AB+→AD得
[h−ab]=[a−b]+[ah−b],
於是有a=13h,b=13h。所以
→AB=[13h−13h],→AD=[13h23h].
故
cos∠(→AB,→AD)=1⋅1+(−1)⋅2√12+(−1)2⋅√12+22=−1√10.
從而sin∠BAD=+√1−(−1√10)2=3√10,且
tan∠BAD=3√10−1√10=−3.
=附註=
題目既然給了兩向量互相垂直,直接設座標應該是最快的想法,剩下的只要計算細心即可。也有別位老師給出其他作法,如
但這實在是太麻煩,沒必要搞那麼複雜。
=拋磚引玉=
>文華高中陳瑋岳老師
臉書的朋友,台中文華高中陳瑋岳老師提供了另一個作法,如下所示:
![]() |
陳瑋岳老師的真跡 |
>高雄湯氏數學
一樣也是我的臉書朋友,高雄湯氏數學補習班的湯茗富老師亦提供了一個作法,如下圖所示:
![]() |
湯茗富老師的真跡 |
我實在很幸運,有這些數學教育界的朋友,彼此互相激盪腦力,一起為台灣的數學教育打拼。
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