108學測的平面向量夾角問題

=問題= 

如圖，$A, B, C, D$為平面上的四個點。已知$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}$兩向量等長且互相垂直，則$\tan \angle BAD$為何？

=解答=

設$\overline{AC}$與$\overline{BD}$的交點為$O$，再設$\overline{AC}$與$\overline{BD}$的長度皆為$h$，而$\overline{OA} = a, \overline{OB} = b$。

將此圖形放置於平面坐標上，使$O$為原點，$\overline{AC}$與x軸重合。於是各點的座標分別為$A=(-a, 0), C=(h-a, 0), B=(0, -b), D=(0, h-b)$。所以得

$$\overrightarrow{BC} = \left[ \begin{array}{c} h-a \\ b \end{array} \right], \overrightarrow{AB} = \left[ \begin{array}{c} a \\ -b \end{array} \right], \overrightarrow{AD} = \left[ \begin{array}{c} a \\ h-b \end{array} \right].$$

由$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$得

$$ \left[ \begin{array}{c} h-a \\ b \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} a \\ -b \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} a \\ h-b \end{array} \right],$$

於是有$a = \frac{1}{3}h, b = \frac{1}{3}h$。所以

$$\overrightarrow{AB} = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{3}h \\ \frac{-1}{3}h \end{array} \right], \overrightarrow{AD} = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{3}h \\ \frac{2}{3}h \end{array} \right].$$

故

$$\cos \angle (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = \frac{1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2}{\sqrt{1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 +2^2}} = \frac{-1}{\sqrt{10}}.$$

從而$\sin \angle BAD = +\sqrt{1 - \left( \frac{-1}{\sqrt{10}} \right)^2} = \frac{3}{\sqrt{10}}$，且

$$\tan \angle BAD = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{-1}{\sqrt{10}}} = -3.$$

=附註=

題目既然給了兩向量互相垂直，直接設座標應該是最快的想法，剩下的只要計算細心即可。也有別位老師給出其他作法，如

但這實在是太麻煩，沒必要搞那麼複雜。

=拋磚引玉=

＞文華高中陳瑋岳老師

臉書的朋友，台中文華高中陳瑋岳老師提供了另一個作法，如下所示：

陳瑋岳老師的真跡

＞高雄湯氏數學

一樣也是我的臉書朋友，高雄湯氏數學補習班的湯茗富老師亦提供了一個作法，如下圖所示：

湯茗富老師的真跡

我實在很幸運，有這些數學教育界的朋友，彼此互相激盪腦力，一起為台灣的數學教育打拼。