2021年1月16日 星期六

108學測的平面向量夾角問題

=問題= 

如圖,A,B,C,D為平面上的四個點。已知BC=AB+ADAC,BD兩向量等長且互相垂直,則tanBAD為何?

=解答=

¯AC¯BD的交點為O,再設¯AC¯BD的長度皆為h,而¯OA=a,¯OB=b

將此圖形放置於平面坐標上,使O為原點,¯ACx軸重合。於是各點的座標分別為A=(a,0),C=(ha,0),B=(0,b),D=(0,hb)。所以得

BC=[hab],AB=[ab],AD=[ahb].

BC=AB+AD

[hab]=[ab]+[ahb],

於是有a=13h,b=13h。所以

AB=[13h13h],AD=[13h23h].

cos(AB,AD)=11+(1)212+(1)212+22=110.

從而sinBAD=+1(110)2=310,且

tanBAD=310110=3.

=附註=

題目既然給了兩向量互相垂直,直接設座標應該是最快的想法,剩下的只要計算細心即可。也有別位老師給出其他作法,如

但這實在是太麻煩,沒必要搞那麼複雜。

=拋磚引玉=

>文華高中陳瑋岳老師

臉書的朋友,台中文華高中陳瑋岳老師提供了另一個作法,如下所示:

陳瑋岳老師的真跡

>高雄湯氏數學

一樣也是我的臉書朋友,高雄湯氏數學補習班的湯茗富老師亦提供了一個作法,如下圖所示:

湯茗富老師的真跡

我實在很幸運,有這些數學教育界的朋友,彼此互相激盪腦力,一起為台灣的數學教育打拼。

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