110年學測試辦考試，數學單選5，壽司

==問題== 

甲、乙、丙三人到旋轉壽司餐廳用餐。餐廳現有10種壽司，每種壽司僅剩2盤。假設每種壽司每個人至多只能拿1盤，用完餐後發現每種壽司都至少有人拿了1盤。試問三人拿取壽司的組合共有幾種？

(1) $2^{10}$    (2) $5^{10}$    (3) $6^{10}$    (4) $7^{10}$    (5) $8^{10}$

==解答==

假設壽司種類為$a_1, a_2, \cdots, a_{10}$。

單以第1種壽司$a_1$而論，根據題目條件，被拿取的可能盤數為1或2。如果是被拿1盤，那麼就是甲、乙、丙三人之中一人所取，因此有${3 \choose 1} = 3$種可能；如果是被拿2盤，那麼就是甲、乙、丙三人之中的兩人所取，因此有${3 \choose 2} = 3$種可能。由加法原理知，$a_1$壽司的分配方法一共有$3+3=6$種可能。

對於其他壽司$a_2$、$a_3$、...、$a_{10}$討論的方法也都相同，所以各別亦都是6種可能性。

從$a_1$開始逐步分配，直到$a_{10}$分完為止，依據乘法原理，一共有$\underbrace{6 \times 6 \times \cdots \times 6}_{10{\text 個}} = 6^{10}$種方法。所以選(3)。

（解答終了）