高中數學裡,空間中的平面的方程式,都是談「點法式」:給定一點P0(x0,y0,z0),再給定一法向量→n=(a,b,c),於是,存在唯一一張通過點P0、且與→n垂直的平面,其方程式為
a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0.
此即點法式。
教完平面方程式後,就會談直線方程式,教學目標有參數式、比例式與兩面式,其中以參數式為最重要的形式。在以往的課綱中,在教平面向量的時候,還會談平面上的直線的參數式。從而在高中數學裡,無論是平面上的直線,還是空間中的直線,都有參數式的表示。
一個問題是:空間中的平面是否會有參數式?
提出此問題的動機其實很自然,因為在向量(無論平面還是空間)教學的初始階段,線性組合是向量運算的核心。學生們會學到,如果兩向量平行,那麼它們的線性組合只會產生在同一條直線上的向量;而如果兩向量不平行,那麼它們的線性組合就會產生一張平面!平行與否從幾何角度決定了線性方程組是否有解,所以兩向量的線性組合是非常重要的概念。既然我們一直說不平行的兩向量的線性組合會產生平面,那麼類比直線的參數式,於是平面也應當有所謂的參數式。
我們現在來談平面的參數式。但我們這裡要特別提請讀者留意,以下的討論過程,會盡量避免使用外積,因為要建構平面方程式,外積的概念並非必要。
在空間中給定一點P0(x0,y0,z0),然後再取兩個不平行的向量→v=(v1,v2,v3),→w=(w1,w2,w3),那麼集合
E={P|P=P0+s→v+t→w,s,t∈R}
就是一張通過點P0的平面,且平面由→v與→w所張成。其中
P=P0+s→v+t→w,s,t∈R
就稱為平面E的參數式。如果將之寫作分量形式,那麼就是
{x=x0+sv1+tw1y=y0+sv2+tw2z=z0+sv3+tw3,s,t∈R.
很直觀的,E這個集合確實是一張平面,但是對學生而言它的形式太奇怪,它與平常習慣的點法式大相迥異。以下我們證明,集合E的式子也是具備點法式的形式。
首先,由於→v與→w不平行,所以下面的三個二階行列式
|v1w1v2w2|,|v2w2v3w3|,|v1w1v3w3|
必定不全為零。不失一般性,我們可假定|v1w1v2w2|≠0。現在取平面參數式中的前兩條
{x=x0+sv1+tw1y=y0+sv2+tw2
改寫為
{v1s+w1t=x−x0v2s+w2t=y−y0.
由於假定|v1w1v2w2|≠0,所以由Cramer法則可解出
s=|x−x0w1y−y0w2||v1w1v2w2|,t=|v1x−x0v2y−y0||v1w1v2w2|.
然後將解出的s,t代回原來參數式中的第3式,得到
z=z0+|x−x0w1y−y0w2||v1w1v2w2|v3+|v1x−x0v2y−y0||v1w1v2w2|w3.
展開化簡,可得
(v2w3−v3w2)(x−x0)+(v3w1−v1w3)(y−y0)+(v1w2−v2w1)(z−z0)=0.
我們便可取n1=v2w3−v3w2,n2=v3w1−v1w3,n3=v1w2−v2w1,於是平面E上的每一點都會滿足方程式
n1(x−x0)+n2(y−y0)+n3(z−z0)=0.
而方程式n1(x−x0)+n2(y−y0)+n3(z−z0)=0本來就代表一張平面,所以便有
{P|P=P0+s→v+t→w,s,t∈R}={(x,y,z)∈R3|n1(x−x0)+n2(y−y0)+n3(z−z0)=0}.
也就是說,平面E具有點法式n1(x−x0)+n2(y−y0)+n3(z−z0)=0。
讀者可留意,以上的推導過程中,也順勢地誘導出外積的代數定義。所以如果在教學過程中,採用線性組合的方式來引入平面,於是便可在推導「平面上的點的x, y, z座標之間的關係式」的時候引入外積,我個人認為這是一個極好的動機。
更新歷程
2021/04/15 第1稿。
2021/04/16 改正幾處錯別字,對些微文字修改。
2021/04/23 改正幾處錯別字,感謝金門高中許淵智老師指正。
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