韓劇《女神降臨》（여신강림，2020）第4集中的函數極限問題

        最近朋友C推薦我看了部韓劇《女神降臨》，劇中的環境很大一部份發生於校園之內，自然就有上課的橋段，作為一個數學老師，當然會特別注意裡頭的數學課情節。在第四集裡，數學老師叫了男主角李修豪（車銀優飾）、女配角姜秀貞（朴柔娜飾）、女主角任朱靜（文佳煐飾）上台解題，我把這一幕截圖了下來：

左：姜秀貞；右：李修豪

左：李修豪；右：任朱靜

我將這三道題目抄錄下來：

 1. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} = -2, \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + f(x)}{x - f(x)}=?$

2. $\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{l}2, x < 1 \\ x^2 + a, x \ge 1 \end{array}  \right., \lim_{x \rightarrow 1} f(x) = b, a+b=?$

3. $\displaystyle \frac{2}{x+3} \le \frac{f(x)}{x^2} \le \frac{4}{2x+1}, \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=?$

以下是這三道題目的解法。 

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1. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} = -2, \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + f(x)}{x - f(x)}=?$

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[解].

這題要考的是極限的四則運算：

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + f(x)}{x - f(x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + \frac{f(x)}{x}}{1 - \frac{f(x)}{x}} = \frac{1 + (-2)}{1 - (-2)} = \frac{-1}{3}.$$

難度頗低，叫劇中設定為全校第二名的女配角來做，好像大材小用。

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2. $\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{l}2, x < 1 \\ x^2 + a, x \ge 1 \end{array}  \right., \lim_{x \rightarrow 1} f(x) = b, a+b=?$

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[解].

這題考的是分段函數的左右極限。首先因為$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} f(x) = b$，所以函數在$x = 1$的左極限$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1-} f(x)$也是$b$，而根據題目函數的定義，左極限$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1-} f(x)$又是$2$，所以得$b = 2$。

接著從$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} f(x) = b = 2$，所以函數在$x = 1$的右極限$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1+} f(x) = 2$。再根據題目函數的定義，右極限$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1+} f(x)$是$1 + a$，所以得$a = 1$。

因此題目所求$a + b = 1$。這題寫起來不難，但解釋起來有點麻煩。

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3. $\displaystyle \frac{2}{x+3} \le \frac{f(x)}{x^2} \le \frac{4}{2x+1}, \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=?$

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[解].

這題考的是夾擠定理。首先因為要討論的是$x \rightarrow \infty$時的函數的性狀，所以必定有$x > 0$。接著對題目所給的不等式$\frac{2}{x+3} \le \frac{f(x)}{x^2} \le \frac{4}{2x+1}$進行變形，同時乘以$x$，得

$$\frac{2x}{x+3} \le \frac{f(x)}{x} \le \frac{4x}{2x+1}.$$

（注意同乘以正數$x$會讓不等式保持順序）由於$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{x+3} = 2$，且$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4x}{2x+1} = 2$，所以由夾擠定理得

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} = 2.$$

我覺得這比第1題難啊...編劇安排笨蛋女主角來做，根本虐菜吧呵呵。