=問題=
設→u與→v為兩非零向量,夾角為120∘。若→u與→u+→v垂直,試選出正確的選項。(多選)
(A) →u的長度是→v的長度的2倍。
(B) →v與→u+→v的夾角為30∘。
(C) →u與→u−→v的夾角為銳角。
(D) →v與→u−→v的夾角為銳角。
(E) →u+→v的長度大於→u−→v的長度。
=解答=
首先,向量相加,可用平行四邊形法畫出,而由題目條件夾角120∘,以及→u與→u+→v垂直,可得下圖:
於是|→u|,|→u+→v|,|→v|構成一個30∘−60∘−90∘三角形的三邊長,且
|→u|:|→u+→v|:|→v|=1:√3:2.
(A) 錯誤。應更正為:「→u的長度是→v的長度的12倍」。
(B) 正確。
(C) 先計算→u與→v的內積:
→u⋅→v=|→u|⋅|→v|⋅cos120∘=|→u|⋅2|→u|⋅−12=−|→u|2,
於是
→u⋅(→u−→v)=|→u|2−→u⋅→v=|→u|2−(−|→u|2)=2|→u|2>0.
內積大於零,意味著兩向量夾角為銳角。所以(C)正確。
(D) 因為
→v⋅(→u−→v)=→v⋅→u−|→v|2=−|→u|2−(2|→u|)2=−5|→u|2<0.
內積小於零,意味著兩向量夾角為鈍角。所以(D)錯誤。
(E) 分別計算長度:
|→u+→v|=√(→u+→v)⋅(→u+→v)=√|→u|2+2→u⋅→v+|→v|2=√|→u|2−2|→u|2+4|→u|2=√3|→u|.
|→u−→v|=√(→u−→v)⋅(→u−→v)=√|→u|2−2→u⋅→v+|→v|2=√|→u|2+2|→u|2+4|→u|2=√7|→u|.
所以|→u−→v|>|→u+→v|。故(E)錯誤。
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