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2021年1月15日 星期五

106指考數甲的平面向量夾角與長度問題

 =問題=

uv為兩非零向量,夾角為120。若uu+v垂直,試選出正確的選項。(多選)

(A) u的長度是v的長度的2倍。

(B) vu+v的夾角為30

(C) uuv的夾角為銳角。

(D) vuv的夾角為銳角。

(E) u+v的長度大於uv的長度。

=解答=

首先,向量相加,可用平行四邊形法畫出,而由題目條件夾角120,以及uu+v垂直,可得下圖:

於是|u|,|u+v|,|v|構成一個306090三角形的三邊長,且

|u|:|u+v|:|v|=1:3:2.

(A) 錯誤。應更正為:「u的長度是v的長度的12倍」。

(B) 正確。

(C) 先計算uv的內積:

uv=|u||v|cos120=|u|2|u|12=|u|2,

於是

u(uv)=|u|2uv=|u|2(|u|2)=2|u|2>0.

內積大於零,意味著兩向量夾角為銳角。所以(C)正確。

(D) 因為

v(uv)=vu|v|2=|u|2(2|u|)2=5|u|2<0.

內積小於零,意味著兩向量夾角為鈍角。所以(D)錯誤。

(E) 分別計算長度:

|u+v|=(u+v)(u+v)=|u|2+2uv+|v|2=|u|22|u|2+4|u|2=3|u|.

|uv|=(uv)(uv)=|u|22uv+|v|2=|u|2+2|u|2+4|u|2=7|u|.

所以|uv|>|u+v|。故(E)錯誤。

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