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2021年5月1日 星期六

三角函數積化和差的一個推導方式

        在證明三元算幾不等式p+q+r33pqr時,我們會用到以下的因式分解

a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca). 
其中

a2+b2+c2abbcca=12(2a2+2b2+2c22ab2bc2ca)=12[(a22ab+b2)+(b22bc+c2)+(c22ca+a2)]=12[(ab)2+(bc)2+(ca)2].

這裡用到一個特殊的技巧是a2+b2+c2abbcca=12(2a2+2b2+2c22ab2bc2ca),才可在後續進行配方。我將這個技巧稱為「內乘2、外除2」。

        現在,我們使用這個技巧來推導三角函數的積化和差。以sinxsiny為例:

sinxsiny=122sinxsiny=12(2sinxsiny+cosxcosycosxcosy)=12[(cosxcosy+sinxsiny)(cosxcosysinxsiny)]=12[cos(xy)cos(x+y)]

同樣的技巧,也可以推導出

sinxcosy=12[sin(x+y)+sin(xy)],cosxcosy=12[cos(x+y)+cos(xy)].

我個人認為,這樣的作法,大概比傳統從和、差角公式出發來的簡潔。

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