在證明三元算幾不等式p+q+r3≥3√pqr時,我們會用到以下的因式分解
a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca).
其中
a2+b2+c2−ab−bc−ca=12(2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca)=12[(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(c2−2ca+a2)]=12[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2].
這裡用到一個特殊的技巧是a2+b2+c2−ab−bc−ca=12(2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca),才可在後續進行配方。我將這個技巧稱為「內乘2、外除2」。
現在,我們使用這個技巧來推導三角函數的積化和差。以sinx⋅siny為例:
sinx⋅siny=12⋅2⋅sinx⋅siny=12⋅(2sinxsiny+cosxcosy−cosxcosy)=12[(cosxcosy+sinx⋅siny)−(cosxcosy−sinxsiny)]=12[cos(x−y)−cos(x+y)]
同樣的技巧,也可以推導出
sinx⋅cosy=12[sin(x+y)+sin(x−y)],cosx⋅cosy=12[cos(x+y)+cos(x−y)].
我個人認為,這樣的作法,大概比傳統從和、差角公式出發來的簡潔。
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