有理數與無理數加減乘除後得到有理數還是無理數？

在【有理數與有理數加減乘除後仍為有理數(有理數對四則運算自封、有理數Q是體(field))】一文中，我們論證了有理數對四則運算的自封性；在【無理數與無理數加減乘除後仍會是無理數嗎？】一文中，我們對不同的運算都各別舉出了正、反兩種例子來說明任兩個無理數之間經加減乘除四則運算後有可能是有理數，也可能是無理數。

本文將研究有理數與無理數經四則運算後會得到怎樣的結果。

以下均假定$p$為有理數，$q$為無理數。

(1) 有理數$\pm$無理數$=$無理數

[證]：假定有理數$p+$無理數$q=$有理數$r$，於是可以得到
$$
\text{無理數}q = \text{有理數}r - \text{有理數}p = \text{有理數},
$$
矛盾！

所以有理數$+$無理數$=$無理數。

而減法的情況則是，假定有理數$p - $無理數$q=$有理數$r'$，於是可以得到
$$
\text{無理數}q = \text{有理數}r' - \text{有理數}p = \text{有理數},
$$
矛盾！

所以有理數$-$無理數$=$無理數。

(2) 有理數$\times$無理數未必是無理數

正例：有理數$1 \times$無理數$\sqrt{2}=$無理數$\sqrt{2}$。

反例：有理數$0 \times$無理數$\sqrt{2}=$有理數$0$。

所以，有理數乘以無理數得到的結果可能是無理數，也可能是有理數。

(3) 有理數$\div$無理數未必是無理數

正例：有理數$2 \div$無理數$\sqrt{2} = $無理數$\sqrt{2}$。

反例：有理數$0 \div$無理數$\sqrt{2} = $有理數$0$。

警告：由於除法不具有交換律，所以討論了「有理數$\div$無理數」之外，還必須討論「無理數$\div$有理數」，而這兩種情況有顯著的差異！

(4) 無理數$\div$非零有理數$=$無理數

[證]：假定無理數$q \div$有理數$p =$有理數$r''$[當然我們這裡隱約假定了除數(或是說分母)$p \neq 0$]。於是我們有
\begin{eqnarray*}
\text{無理數}q \div \text{有理數}p = \text{有理數}r'', \\
\frac{\text{無理數}q}{\text{有理數}p} = \text{有理數}r'', \\
\text{無理數}q = \text{有理數}p \times \text{有理數}r'' = \text{有理數},
\end{eqnarray*}
矛盾！
因此無理數$q \div$有理數$p =$無理數。

=歸納=

(1) 有理數$\pm$無理數$=$無理數
(2) 有理數$\times$無理數未必是無理數
(3) 有理數$\div$無理數未必是無理數
(4) 無理數$\div$非零有理數$=$無理數

無理數與無理數加減乘除後仍會是無理數嗎？

在【有理數與有理數加減乘除後仍為有理數(有理數對四則運算自封、有理數Q是體(field))】一文中，我們討論了有理數對於加減乘除四則運算是自封的，那我們不禁要問「無理數的情況又如何？」

答案是不一定。

(1) 無理數$\pm$無理數未必是無理數

正例：無理數$\sqrt{2}+$無理數$\sqrt{3}=$無理數。

[證]：採用純粹數論的方法來論證此敘述太麻煩了，我們逕直使用有理根檢驗法就好。

設$x = \sqrt{2}+\sqrt{3}$，則
\begin{eqnarray*}
x=\sqrt{2}+\sqrt{3}, \\
x-\sqrt{2}=\sqrt{3}, \\
\left( x-\sqrt{2} \right)^2=\sqrt{3}^2, \\
x^2-2\sqrt{2}x+2=3, \\
x^2-1=2\sqrt{2}x, \\
\left( x^2-1 \right)^2=\left( 2\sqrt{2}x \right)^2, \\
x^4-2x^2+1=8x^2, \\
x^4-10x^2+1=0.
\end{eqnarray*}
命$f(x)=x^4-10x^2+1$。若有理數$\frac{p}{q}$[此地假定$\gcd (p, q)=1, q>0$]是多項式方程式$f(x)=0$的根，那麼必有$q|1, p|1$。如此，有理根僅可能為$\frac{1}{1}$或$\frac{-1}{1}$，亦即$\pm 1$。但$\sqrt{2}+\sqrt{3}$是多項式方程式$f(x)=0$的實根，而顯然$\sqrt{2}+\sqrt{3}$不會是有理根，於是可推知$\sqrt{2}+\sqrt{3}$必為多項式方程式$f(x)=0$的無理根，換言之，$\sqrt{2}+\sqrt{3}$根本就是無理數。

(證明結束)

反例：無理數$\sqrt{2}+$無理數$(-\sqrt{2})=$有理數$0$。

綜上所述，無理數加減無理數的結果可能是無理數，也可能是有理數。

(2) 無理數$\times$無理數未必是無理數

正例：無理數$\sqrt{2} \times$無理數$\sqrt{3}=$無理數$\sqrt{6}$。

[證]：這裡其實沒什麼好證明的，只是要說明一下$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}$這三個數的無理性。

命$f_1(x) = x^2-2, f_2(x) = x^2-3, f_3(x)=x^2-6$，利用有理根檢驗法就可以輕易得知$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}$這三個數都是無理數。

(證明結束)

反例：無理數$\sqrt{2} \times$無理數$\sqrt{2}=$有理數$2$。

綜上所述，無理數乘以無理數的結果可能是無理數，也可能是有理數。

(3) 無理數$\div$無理數未必是無理數

正例：無理數$\sqrt{3}\div$無理數$\sqrt{2}=$無理數$\sqrt{\frac{3}{2}}$。

[證]：此地只說明$\sqrt{\frac{3}{2}}$的無理性。

命$x=\sqrt{\frac{3}{2}}$，於是
\begin{eqnarray*}
x=\sqrt{\frac{3}{2}}, \\
x^2=\frac{3}{2}, \\
2x^2-3=0.
\end{eqnarray*}
命多項式$f(x)=2x^2-3$，利用有理根檢驗法即知$\sqrt{\frac{3}{2}}$為無理數。

(證明結束)

反例：無理數$\sqrt{2}\div$無理數$\sqrt{2}=$有理數$1$。

綜上所述，無理數除以無理數的結果可能是無理數，也可能是有理數。

我們可以把以上幾條結論歸結為：無理數對加減乘除四則運算不自封。

更多關於無理數的討論，參見G. H. Hardy與E. M. Wright合著的"An Introduction to the Theory of Numbers"，第4章。I. Niven的"Numbers: Rational and Irrational"也是很好的讀物。

有理數與有理數加減乘除後仍為有理數(有理數對四則運算自封、有理數Q是體(field))

在高中數學關於實數的介紹中，常會出現一類概念考題，多以選擇題形式呈現，其內容大概都是「設$a, b$皆為有理數，則以下選項何者正確？」云云。

有很大一部分題目內容是關於有理數體對於四則運算自封的，以下我們來討論一下這些內容。

定理：若$a, b$皆為有理數(亦可寫作$a, b \in \mathbb{Q}$)，則有以下結論：
(1) $a+b$仍為有理數，即$a+b \in \mathbb{Q}$。換句話說，就是「有理數$+$有理數$=$有理數」；
(2) $a-b$仍為有理數，即$a-b \in \mathbb{Q}$。換句話說，就是「有理數$-$有理數$=$有理數」；
(3) $a \times b$仍為有理數，即$a \times b \in \mathbb{Q}$。換句話說，就是「有理數$ \times $有理數$=$有理數」；
(4) 若再限制$b \neq 0$，那麼$a \div b$仍為有理數，即$a \div b \in \mathbb{Q}$。換句話說，就是「有理數$ \div $有理數$=$有理數」。

[證]：已知$a, b$皆為有理數，那麼存在整數$p, q, r, s$使得$a=\frac{p}{q}, b=\frac{r}{s}$，且其中$q \neq  0, s \neq 0$，又$\gcd (p, q) = \gcd (r, s) = 1$。

(1) 因為$p, q, r, s$皆為整數，所以$qs, ps+qr$亦為整數。而
\begin{eqnarray*}
a+b
&=& \frac{p}{q} + \frac{r}{s} \\
&=& \frac{ps}{qs} + \frac{rq}{sq} \\
&=& \frac{ps+rq}{qs}
\end{eqnarray*}
可見$a+b$的結果可表為$\frac{\text{整數}}{整數}$，因此$a+b$也是有理數。

(2) 因為$r$是整數，所以$-r$也是整數。

因$b=\frac{r}{s}$，得$-b=-\frac{r}{s} = \frac{-r}{s} = \frac{\text{整數}}{\text{整數}}$，即$-b$亦為有理數。

那麼$a-b=a+(-b)=\text{有理數}+\text{有理數}=\text{有理數}$。

(3) 因為$p, q, r, s$皆為整數，所以$pr, qs$也都是整數。

那麼$a \times b = \frac{p}{q} \times \frac{r}{s} = \frac{pr}{qs} = \frac{\text{整數}}{\text{整數}} = \text{有理數}$。

(4) 因$b \neq 0$，而$b = \frac{r}{s}$，故$r \neq 0$，所以$\frac{1}{b} = \frac{s}{r}$是存在的，且$\frac{1}{b}$也是有理數。

於是$a \div b = a \times \frac{1}{b} = \text{有理數} \times \text{有理數} = \text{有理數}$。

(證明結束)