一道四球相切疊橘子求高度的問題

==問題== 

三個半徑1的球，和一個半徑為$\sqrt{3} - 1$的球疊成兩層在桌上，較小的球放上層，四球兩兩相切，則上層小球的最高點到桌面的距離為何？

==答案== 

$\sqrt{\frac{5}{3}} + \sqrt{3}$

==解答== 

        設大球三顆的球心分別為$A, B, C$，而設小球的球心為$D$，於是四點$A, B, C, D$構成一個三角錐，其中$\overline{AB} = \overline{AC} = \overline{BC} = 1 + 1 = 2$，而$\overline{DA} = \overline{DB} = \overline{DC} = (\sqrt{3} - 1) + 1 = \sqrt{3}$。

        所求高度即為

小球半徑＋$D$與平面$ABC$距離＋大球半徑.

        現在開始計算$D$與平面$ABC$距離。取$D$在平面$ABC$上的投影點為$G$，則$G$為$\Delta ABC$的重心。設$\overleftrightarrow{AG}$與$\overline{BC}$交於$M$，$\overline{BM} = \overline{CM} = 1$，$\overline{AM} = \sqrt{3}$，$\overline{AG} = \frac{2}{3} \sqrt{3}$，因此

$$\overline{DG} = \sqrt{\sqrt{3}^2 - \left( \frac{2}{3} \sqrt{3} \right)^2} = \sqrt{\frac{5}{3}}.$$

所以

$${\text{所求高度}} = (\sqrt{3} - 1) + \sqrt{\frac{5}{3}} + 1 = \sqrt{\frac{5}{3}} + \sqrt{3}.$$

（解答終了）

一道空間幾何的三角形面積問題

==問題== 

在正四面體ABCD中，於$\overline{AB}, \overline{AC}, \overline{AD}$上分別取$P, Q, R$，已知$\overline{AD}$垂直於平面$PQR$，且$\overline{AP} = 6$，試求出$\Delta PQR$的面積。

==答案==

$9 \sqrt{2}$

==解答==

題目略圖如下：

分析三角錐APQR，其中$\angle BAC = 60^{\circ} = \angle PAR = \angle QAR$，再利用三角形邊長關係得下圖：

於是$\Delta PQR$是邊長為$3\sqrt{3}, 3\sqrt{3}, 6$的三角形，其中

$$\cos R = \frac{\sqrt{3}^2 + \sqrt{3}^2 - 2^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3},$$

且

$$\sin R = + \sqrt{1 - \cos^2 R} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

因此

$$\Delta PQR = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 9 \sqrt{2}.$$

（解答終了）