多項式除法與極限問題

今天來解一道關於多項式除法、餘式，並結合極限概念的數學題。這類問題的關鍵在於理解多項式除法的基本原理，並應用極限的運算規則。

題目

令多項式 $2(x+1)^n$ 除以 $(3x-2)^n$ 的餘式為 $r_n$，試問極限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r_n$ 之值為何？

答案

2

解題思路

這道題目主要的解題關鍵在於利用多項式除法原理。當被除式與除式的最高次項次數相同時，其商會是一個常數。

首先，我們令被除式為 $P(x) = 2(x+1)^n$，除式為 $D(x) = (3x-2)^n$。

根據多項式除法，我們可以將被除式寫成：

$$ P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R_n(x) $$

其中 $Q(x)$ 是商，而 $R_n(x)$ 是餘式。

接著，我們觀察被除式與除式的最高次項：

• $P(x)$ 的最高次項為 $2x^n$。
• $D(x)$ 的最高次項為 $(3x)^n = 3^n x^n$。

因為 $P(x)$ 和 $D(x)$ 的次數都是 $n$，所以商 $Q(x)$ 會是一個常數。這個常數的值等於兩者最高次項係數的比值：

$$ Q(x) = \frac{2}{3^n} $$

有了商，我們就可以推導出餘式 $R_n(x)$：

$$ R_n(x) = P(x) - Q(x) \cdot D(x) = 2(x+1)^n - \frac{2}{3^n}(3x-2)^n $$

題目中定義的 $r_n$ 是餘式的常數項（或解釋為餘式多項式代入 $x=0$ 的值）。因此，我們將 $x=0$ 代入 $R_n(x)$：

$$ r_n = R_n(0) = 2(0+1)^n - \frac{2}{3^n}(3 \cdot 0 - 2)^n $$

化簡上式：

$$ r_n = 2(1)^n - \frac{2}{3^n}(-2)^n = 2 - 2 \cdot \frac{(-2)^n}{3^n} = 2 - 2\left(-\frac{2}{3}\right)^n $$

最後一步，就是計算當 $n$ 趨近於無限大時 $r_n$ 的極限：

$$ \lim_{n \to \infty} r_n = \lim_{n \to \infty} \left[2 - 2\left(-\frac{2}{3}\right)^n\right] $$

由於 $\left|-\frac{2}{3}\right| < 1$，當 $n$ 趨近於無限大時，$\left(-\frac{2}{3}\right)^n$ 會趨近於 0。

所以，極限值為：

$$ \lim_{n \to \infty} r_n = 2 - 2 \cdot 0 = 2 $$

這就是最終的答案。

書評：數學女孩秘密筆記-微分篇

書籍基本資料與相關連結

• 書名：數學女孩秘密筆記-微分篇 (日文原版書名：数学ガールの秘密ノート/微分を追いかけて)
• 作者：結城浩
• 繁體中文版譯者：衛宮紘
• 繁體中文版出版社：世茂
• 博客來網路書店連結
• 日文原版日本Amazon連結

書籍章節內容

第1章    位置的變化

第2章    速度的變化

第3章    巴斯卡三角形

第4章    位置、速度、加速度

第5章    除法乘法大亂鬥

評論 

1. 本書的主題是微分學，第1章與第2章以物理的運動學為引子，先以位移與速度的關係導入極限與微分†的概念，然後在第3章轉入Pascal三角形的討論，介紹了二項式定理，然後推出多項式函數$x^n$的微分公式
$$\frac{d}{dx} x^n = n\cdot x^{n-1}.$$
接著再次於第4章回到運動學，以「微分的微分」討論了加速度。結城先生不滿足於侷限在一維直線運動，在第4章的結尾稍微論述了單擺的簡諧運動，以研究振動現象為著眼點探討了正弦函數及其導函數。第5章介紹自然常數$e$。順著數學史的進程，從當年(1690)Jacob Bernoulli對於複利問題的研究談起，介紹了複利公式後讓書中三位要角開始研究了數列
$$\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$$
的歛散性問題。最後以自然指數函數$e^x$的一些性質為結尾結束全書。

2. 以運動學做引子來切入極限與微分的手法，其實符合數學史的發展情況。當年Newton正是為了研究物體的運動情況而創立了微積分。不過結城先生也並未忽視微積分的另一起源：Leibniz關於切線問題及其對Pascal三角形的研究。揉合兩位大數學家的思考與研究，構成了前四章的內容。雖然書中對於數學史上微積分的發展並未著墨甚深，但也讓讀者跟著書中幾位角色一起走過了歷史的軌跡。我認為這樣的寫法相當高明。

平心而論，前四章最出彩的依然是第3章關於Pascal三角形的討論，而物理方面的內容就稍微流於淺薄，並不比一般教科書多了多少內容。我想之所以如此，大概與作者的出身背景不無關連。再怎麼說，《數學女孩》這一系列的書籍還是從離散數學起家。不過雖然我認為物理方面的討論不夠出色，但也只是限於和書中第3章相比。事實上，書中對於位移與速度等等的討論，相當的平緩，逐步深入，對於初學者，例如國中生，其實相當友善。前四章的算式不多，甚至連瞬時速度的定義式
$$v(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t}$$
都沒有寫出來，僅僅是用文字敘述。但作者更注重圖形的思考，例如第2章的問題2-1，如果沒有準確理解對正文關於速度與位移關係的討論，那麼未必能正確回答。第4章末用切線的概念來求出正弦函數$y = \sin x$的導函數這個手法讓我想起數學家V. I. Arnold曾經出過一道題目：

如果給出了某曲線的各點切線斜率數值所構成的曲線(沒有寫明具體數值)，要怎樣還原出本來的曲線？

(請原諒我忘記該問題的詳細出處)我想若我帶學生讀這本書，應該會提出這道問題讓學生思考。或許限於書本預設讀者程度，第4章雖然討論了簡諧運動，卻沒有給出細緻的力學系統討論、單擺所滿足的微分方程、解二階常係數微分方程的技巧，這或許也是學生讀書會可以補充的內容(不過大概得挪到讀完第5章後)。

第5章是最精彩的一章，從銀行的計息方式開始談，這正是1690年Jacob Bernoulli對於極限$\lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$的研究起點！再次地，結城先生又讓讀者與書中的角色一起走過歷史的軌跡。定義數列$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$，5.6節使用實數完備性去論證數列的收斂性，同時藉米爾迦之口指出5.4與5.5節論述缺乏嚴密性之處。事實上證明「數列$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$遞增有上界」這回事在大學微積分課本中，如果採用的是傳統的指數函數引入方式，大概也就是幾行就結束的內容(例如高木貞治的解析概論就只是當一個例題談談而已)。不過因為本書對象讀者並非大學生，這裡結城先生非常、非常詳細地寫出完整的論證過程，幾乎沒有跳過什麼算式，初學者可以從書中的詳細推導學到式子變形的技巧。而對於看不懂大學教科書的人來說，可以來看此書獲得一些幫助。

3. 下面來說說我對於本書不滿意的地方。我認為最嚴重的問題在於沒有區分清楚「微分」這個詞的含意與詞性。事實上，考慮數線上一點$x_0$，設存在正實數$\delta$使得實值函數$f$在區間$(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$有定義。如果極限
$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$
存在，則稱該極限值為函數$f$在點$x_0$的「導數(derivative)」，或是「微商(differential quotient)」，或是「微分係數(differential coefficient)」，一般記做$f'(x_0)$。而求出函數在點$x_0$的導數這樣的過程稱為「求導」，或是「微分(differentiate)」。而我們又另外定義了函數$f$的微分(differential)為線性函數$df|_{x_0}(h) = f'(x_0) h$，幾何直觀為曲線切線上的$y$座標差。

簡單來說，「微分」這個字詞有雙重含義。如果做動詞使用，是指「求出導數」；如果做名詞使用，是指可微函數所誘導的線性函數。兩者相當不同。在台灣，並沒有仔細地區分這些名詞的真確含義。不明白這些細微差別的人，某些情況在討論時，勢必會遭遇到「無法確切表達自己要說什麼」的窘境。

第5章的指數函數$e^x$的討論結束的有點草，尤其是關於$e$的無窮展開，
$$e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$$
未給出什麼說明。也許結城先生希望讀者自己推導？

最後，「必須」與「必需」沒有區分明白。一般說來，「必須」作副詞用，後頭要接動詞；而「必需」作動詞用，後頭接名詞。例如「你必須『完成』回家作業」與「生活必需『品』」這兩句話，「必須」後頭接了動詞「完成」；而「必需品」中的「品」則是指物品，當名詞用。

在第173頁第4行，原文作「我們必需證明...」，應更正為「我們必須證明...」。

在第176頁倒數第6行，原文作「我們必需比較各項...」，應更正為「我們必須比較各項...」。

4. 整體來說，雖然有部分用字遣詞混淆不清，不過瑕不掩瑜，仍然是一本相當棒的書，可讀性強，對讀者相當友善，必定可以達到「開卷有益」。適合的讀者有：準備學或是學過理化運動學的國三學生、高中學生、大學文組的學生。

相關連結

台北市成功高中的陳彥宏老師也有一篇關於本書的書評，請見台北市成功高中陳彥宏老師的書評 (發表於數學學科中心電子報)。

105，指考，數學甲，多選7

==問題==

在實數線上，動點A從原點開始往正向移動，動點B從8的位置開始往負向移動。兩個動點每一秒移動一次，已知第一秒A、B移動的距離分別為1、4，且A、B每次移動的距離分別為其前一次移動距離的$\frac{1}{2}$倍、$\frac{1}{3}$倍。令$c_n$為第$n$秒時A、B的中點位置。請選出正確選項。
(1) $c_1 = \frac{5}{2}$
(2) $c_2 > c_1$
(3) 數列$\left< c_{n+1} - c_n \right>$是一個等比數列
(4) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 2$
(5) $c_{1000} > 2$

[105，指考，數學甲，多選7]

==解答==

假定第$n$秒時，點A的位置為$a_n$，點B的位置為$b_n$。

於是$a_1 = 1, b_1 = 4$。

再假定點A於第$n$秒內的移動量(考慮正負)為$d_n$，點B於第$n$秒內的移動量(考慮正負)為$\delta_n$。

於是$d_1 = 1, \delta_1 = -4$，然後$d_2 = \frac{1}{2}, \delta_2 = -4 \cdot \frac{1}{3}$，因此可推論$d_n = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}, \delta_n = -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}$。

根據題意與假設，可得

$$a_n = a_{n-1} + d_n, b_n = b_{n-1} + \delta_n.$$

代入前述對$d_n$與$\delta_n$的計算，可得

$$a_n = a_{n-1} + \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}, b_n = b_{n-1} -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}.$$

接著，由於
\begin{eqnarray*}
a_2 - a_1 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^1 \\
a_3 - a_2 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^2 \\
  &\vdots&  \\
a_n - a_{n-1} &=& \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}
\end{eqnarray*}
從而
\begin{eqnarray*}
a_n - a_1 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^1 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \cdots + \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \\
  &=& \frac{\frac{1}{2} \cdot \left[ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right]}{1 - \frac{1}{2}} \\
  &=& 1 - \frac{1}{2^{n-1}}
\end{eqnarray*}
故
$$a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}.$$

另外一方面，由於
\begin{eqnarray*}
b_2 - b_1 &=& -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^1 \\
b_3 - b_2 &=& -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 \\
  &\vdots&  \\
b_n - b_{n-1} &=& -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}
\end{eqnarray*}
從而
\begin{eqnarray*}
b_n - b_1 &=& -4 \cdot \left[ \left( \frac{1}{3} \right)^1 + \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \cdots + \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right] \\
  &=& -4 \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \left[ 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right]}{1 - \frac{1}{3}} \\
  &=& -2 + \frac{2}{3^{n-1}}
\end{eqnarray*}
故
$$b_n = 2 + \frac{2}{3^{n-1}}.$$

那麼
$$c_n = \frac{a_n + b_n}{2} = \frac{2 - \frac{1}{2^{n-1}} + 2 + \frac{2}{3^{n-1}}}{2} = 2 - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^{n-1}}.$$

以下開始處理各選項。

(1) $c_1 = 2 - \frac{1}{2^1} + \frac{1}{3^{1-1}} = 2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{2}$。正確。

(2) $c_2 = 2 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^{2-1}} = 2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{25}{12} < \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = c_1$。錯誤。

(3) $c_{n-1} - c_n = \left( 2 - \frac{1}{2^{n+1}} + \frac{1}{3^n} \right) - \left( 2 - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^{n-1}} \right) = \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{2}{3^n}$。錯誤。

(4) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 2 - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^{n-1}} \right) = 2 - 0 + 0 = 0$(請注意，$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n} = 0$且$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3^{n-1}} = 0$，故可使用極限的四則運算)。正確。

(5) $c_{1000} = 2 - \frac{1}{2^{1000}} + \frac{1}{3^{999}}$，由於$\log 2^{1000} = 1000 \cdot \log 2 \approx 1000 \cdot 0.301 = 301$，$\log 3^{999} = 999 \cdot \log 3 \approx 999 \cdot 0.4771 = 476.6229$，故$2^{1000}< 3^{999}$，從而$- \frac{1}{2^{1000}} + \frac{1}{3^{999}} = \frac{1}{3^{999}} - \frac{1}{2^{1000}} < 0$，因此$c_{1000} = 2 + \text{負數} < 2$。錯誤。

選(1)、(4)。

(解答結束)