前兩天在twitter上看到一到積分題
很顯然就是得利用部分積分法與三角代換去處理。
該推文附上的解答為
其實也不甚困難。
不過我偏好用幾何眼光處理問題,所以下面的解法是90%的幾何、10%的代數/微積分。
首先注意被積函數y=√x2+1是雙曲線y2−x2=1的一個分支,我們將之圖形繪出,並標出幾個線段的長度,如下所示。
於是所求的積分1∫0√x2+1dx就是「曲邊梯形」OACB的面積,而此塊面積可以分解如
OACB=ΔBOE+ΔOEA+ΔDEA+曲邊四邊形CDEB.
其中ΔBOE,ΔOEA,ΔDEA都是一樣的等腰直角三角形,邊長為√22,面積為√22×√22×12=14,所以這三塊面積為34。
下面接著處理曲邊四邊形CDEB。由於CDEB=CFDEB−ΔCDF,所以誘導我們去考慮將圖形進行順時針45∘旋轉,得下圖。
CFDEB=1+√22∫√2212xdx=121+√22∫√221xdx=12[ln(1+√22)−ln√22]=12ln(1+√2).
所以
CDEB=CFDEB−ΔCDF=12ln(1+√2)−(1−√22)2×12=12ln(1+√2)−34+√22.
然後
1∫0√x2+1dx=ΔBOE+ΔOEA+ΔDEA+CDEB=34+12ln(1+√2)−34+√22=√22+12ln(1+√2)
(解答終了)
可愛妹子時間~
涼本奈緒好可愛呀!!!(@naosuzumoto)
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