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2021年11月22日 星期一

用幾何意義處理一道雙曲線積分問題

前兩天在twitter上看到一到積分題


很顯然就是得利用部分積分法與三角代換去處理。

該推文附上的解答為


其實也不甚困難。

不過我偏好用幾何眼光處理問題,所以下面的解法是90%的幾何、10%的代數/微積分。

首先注意被積函數y=x2+1是雙曲線y2x2=1的一個分支,我們將之圖形繪出,並標出幾個線段的長度,如下所示。


於是所求的積分10x2+1dx就是「曲邊梯形」OACB的面積,而此塊面積可以分解如
OACB=ΔBOE+ΔOEA+ΔDEA+曲邊四邊形CDEB.
其中ΔBOE,ΔOEA,ΔDEA都是一樣的等腰直角三角形,邊長為22,面積為22×22×12=14,所以這三塊面積為34

下面接著處理曲邊四邊形CDEB。由於CDEB=CFDEBΔCDF,所以誘導我們去考慮將圖形進行順時針45旋轉,得下圖。

原本的雙曲線y2x2=1經過旋轉後變為y=±12x。於是
CFDEB=1+222212xdx=121+22221xdx=12[ln(1+22)ln22]=12ln(1+2).

所以

CDEB=CFDEBΔCDF=12ln(1+2)(122)2×12=12ln(1+2)34+22.

然後

10x2+1dx=ΔBOE+ΔOEA+ΔDEA+CDEB=34+12ln(1+2)34+22=22+12ln(1+2)

(解答終了)

 可愛妹子時間~

涼本奈緒好可愛呀!!!(@naosuzumoto


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