=問題=
設$D$為$\triangle ABC$中$\overline{BC}$邊上的一點,已知$\angle ABC = 75^{\circ}, \angle ACB = 45^{\circ}, \angle ADB = 60^{\circ}$,若$\overrightarrow{AD} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$,則$s, t$各為多少?
=解答=
首先畫出$\triangle ABC$。
然後再畫出$D$,圖形如下:
觀察$\triangle ABC$與$\triangle ADB$,其中各別的角度都相等,所以$\triangle ABC \sim \triangle DBA$。
命$\overline{AB} = c, \overline{AC} = b, \overline{CD} = a_1, \overline{DB} = a_2, \overline{AD} = d$,且$a_1 + a_2 = a$。
於是由三角形相似得
$$a: b: c = c: d: a_2.$$
擷取
$$a: c = c: a_2,$$
得$a_2 = \frac{c^2}{a}$。而$a_1 = a - a_2 = a - \frac{c^2}{a} = \frac{a^2 - c^2}{a}$。
根據正弦定理可得
$$a: b: c = \sin A : \sin B : \sin C = \sin 60^\circ : \sin 75^\circ : \sin 45^\circ = 2\sqrt{3} : (\sqrt{6} - \sqrt{2}) : 2\sqrt{2}.$$
所以可設$a = 2\sqrt{3}t, c = 2\sqrt{2}t$,其中$t > 0$。
於是$a_1 : a_2 = \frac{a^2 - c^2}{a} : \frac{c^2}{a} = (12 - 8): 8 = 1: 2$。
最後由向量的分點公式可得
$$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{1 + 2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{1 + 2}\overrightarrow{AC}.$$
得$s = \frac{1}{3}, t = \frac{2}{3}$。
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