=問題=
設D為△ABC中¯BC邊上的一點,已知∠ABC=75∘,∠ACB=45∘,∠ADB=60∘,若→AD=s→AB+t→AC,則s,t各為多少?
=解答=
首先畫出△ABC。
然後再畫出D,圖形如下:
觀察△ABC與△ADB,其中各別的角度都相等,所以△ABC∼△DBA。
命¯AB=c,¯AC=b,¯CD=a1,¯DB=a2,¯AD=d,且a1+a2=a。
於是由三角形相似得
a:b:c=c:d:a2.
擷取
a:c=c:a2,
得a2=c2a。而a1=a−a2=a−c2a=a2−c2a。
根據正弦定理可得
a:b:c=sinA:sinB:sinC=sin60∘:sin75∘:sin45∘=2√3:(√6−√2):2√2.
所以可設a=2√3t,c=2√2t,其中t>0。
於是a1:a2=a2−c2a:c2a=(12−8):8=1:2。
最後由向量的分點公式可得
→AD=11+2→AB+21+2→AC.
得s=13,t=23。
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