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2021年1月14日 星期四

107學測的向量線性組合問題

=問題= 

DABC¯BC邊上的一點,已知ABC=75,ACB=45,ADB=60,若AD=sAB+tAC,則s,t各為多少?

=解答=

首先畫出ABC

然後再畫出D,圖形如下:


觀察ABCADB,其中各別的角度都相等,所以ABCDBA

¯AB=c,¯AC=b,¯CD=a1,¯DB=a2,¯AD=d,且a1+a2=a

於是由三角形相似得

a:b:c=c:d:a2.

擷取

a:c=c:a2,

a2=c2a。而a1=aa2=ac2a=a2c2a

根據正弦定理可得

a:b:c=sinA:sinB:sinC=sin60:sin75:sin45=23:(62):22.

所以可設a=23t,c=22t,其中t>0

於是a1:a2=a2c2a:c2a=(128):8=1:2

最後由向量的分點公式可得

AD=11+2AB+21+2AC.

s=13,t=23

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