負負得正

今天上高二的課，學生很好奇大學數學系在學什麼，我隨口舉了抽象代數中環論的負負得正為例子。想起自己在YouTube上最早發的教學影片就是證明負負得正，不過一直沒有寫成文章。為了以後教學方便，今天就寫下來。

考慮具么環（ring with identity）$R$，下面證明所謂的負負得正：$(-1) \times (-1) = 1$。

$$\begin{align*} (-1) \times (-1) &= (-1) \times (-1) + 0 &\quad\quad[0的定義] \\ &= (-1) \times (-1) + [1 + (-1)] &\quad\quad[加法反元素] \\ &= (-1) \times (-1) + 1 + (-1) \times 1 &\quad\quad[1的定義] \\ &= (-1) \times (-1) + (-1) \times 1 + 1 &\quad\quad[加法交換律] \\ &= [(-1) \times (-1) + (-1) \times 1] + 1 &\quad\quad[加法結合律] \\ &= (-1) \times [(-1) + 1] + 1 &\quad\quad[分配律] \\ &= (-1) \times 0 + 1  &\quad\quad[加法反元素] \\&= 0 + 1 &\quad\quad[任何數乘以零還是零] \\&= 1 &\quad\quad[0的定義] \end{align*}$$

參考

Garrett Birkhoff, Saunders Mac Lane, A Survey of Modern Algebra (5th edn.), A K Peters/CRC Press, 1998

$a \times 0 = 0$，任何數乘以零還是零

考慮具么環（ring with identity）$R$，對於其中任一元素$a$，下面證明$a \times 0 = 0$。

$$\begin{align*} a \times 0 &= a \times 0 + 0 & \quad\quad[0的定義] \\ &= a \times 0 + [a + (-a)] & \quad\quad[加法反元素] \\ &= a \times 0 + a \times 1 + (-a) &\quad\quad[1的定義] \\ &= (a \times 0 + a \times 1) + (-a) &\quad\quad[加法結合律] \\ &= a \times (0 + 1) + (-a) &\quad\quad[分配律] \\ &= a \times 1 + (-a) &\quad\quad[0的定義] \\ &= a + (-a) &\quad\quad[1的定義] \\ &= 0 &\quad\quad[加法反元素] \end{align*}$$