圓方程式與平面向量的一個問題

 =問題=

學校教官來到圓形公園進行大地尋寶課程，教官發給同學一份圓形公園的平面地圖，地圖上給了三個提示：

第一，將此圓形公園的方程式設為$C: (x+2)^2+(y-4)^2=25$且寶物就藏在地圖中的$P$點；

第二，請移動至地圖上的大樹$A$點處拿取第二個提示；

第三，請移動至地圖上的雕像$B$點拿取第三個提示。

欣茹至$A, B$兩處拿到的分別為$\overrightarrow{AP} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -10 \end{array} \right], \overrightarrow{BP} = \left[ \begin{array}{c} 10 \\ -4 \end{array} \right]$。已知$A, B$兩點均在圓周上，請問寶藏地點$P$的座標為何？

=解答=

圓$C$的圓心為$C=(-2, 4)$，半徑為5。

計算$\overrightarrow{AB}$如下：

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{BP} =  \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -10 \end{array} \right] -  \left[ \begin{array}{c} 10 \\ -4 \end{array} \right] =  \left[ \begin{array}{c} -8 \\ -6 \end{array} \right],$$

於是可知$|\overrightarrow{AB}| = 10$，故可斷定$A, B$為直徑兩端點。再由圓參數式可假設

$$A = (-2 + 5 \cos \theta, 4 + 5 \sin \theta), B = (-2 - 5 \cos \theta, 4 - 5 \sin \theta).$$

再假設$P$點座標為$(p_1, p_2)$，於是代回題目所給$\overrightarrow{AP}$與$\overrightarrow{BP}$可得

$$\overrightarrow{AP} = \left[ \begin{array}{c} p_1 - (-2 + 5 \cos \theta) \\ p_2 - (4 + 5 \sin \theta) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -10 \end{array} \right],$$

及

$$\overrightarrow{BP} = \left[ \begin{array}{c} p_1 - (-2 - 5 \cos \theta) \\ p_2 - (4 - 5 \sin \theta) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 10 \\ -4 \end{array} \right].$$

重新整理，可得兩組二元一次方程式：

$$\left\{ \begin{array}{l} p_1 + 2 - 5 \cos \theta = 2 \\ p_1 + 2 + 5 \cos \theta = 10 \end{array} \right. \quad 與 \quad \left\{ \begin{array}{l} p_2 - 4 - 5 \sin \theta = -10 \\ p_2 - 4 + 5 \sin \theta = -4 \end{array} \right. .$$

便可解出$p_1 = 4, p_2 = -3$，即$P$之座標為$(4, -3)$。

=附註=

育嫆說：

所以看來我給的解法不是那麼友善...但我也沒想出其他作法，傷腦筋喔！

圓內最長的弦為直徑

• 以下參考書籍均為S. Lang, "Geometry (2nd ed)"。

先複習我們要使用的公設。

==公設==(DIST 2，距離基本公設2)

P. 8, Line 19

For any points P, Q, we have $d(P, Q) = d(Q, P)$.

[譯文]：

對於平面上任意兩點$P, Q$，恆有$d(P, Q) = d(Q, P)$。

==公設==(SEG，線段長度公設)

P. 9, Line 9

Let $P, Q, M$ be points. We have $d(P, M) = d(P, Q) + d(Q, M)$ if and only if $Q$ lies on the segment between $P$ and $M$.

[譯文]

設$P, Q, M$為(平面上)任意三點。關係式$d(P, M) = d(P, Q) + d(Q, M)$成立若且唯若$Q$在由$P$和$M$連成的線段上。

==定理==

圓內最長的弦為直徑。

==證明==

設圓心為$P$，半徑長為$r$。今任取圓上任意兩點$X$與$Y$，根據習題1.2.8 (P. 11)[或習題1.4.7 (P. 34)]，我們有
$$
d(X, Y) \leq 2r.
$$

請注意，$2r$正是直徑的長度。

$d(X, Y) \leq 2r$意味著圓上任意一條弦的長度必定不比直徑長。

然而我們要追問的是，如果一根弦的長度為$2r$，那麼這根弦必定是直徑嗎？

如今假定弦$\overline{XY}$的長度為$2r$，於是便有
\begin{eqnarray*}
d(X, Y)
&=& 2r \\
&=& r + r \\
&=& d(X, P) + d(Y, P)
\end{eqnarray*}
根據公設DIST 2，得
$$
d(X, Y) = d(X, P) + d(P, Y).
$$
根據公設SEG，$P$必在線段$\overline{XY}$上。根據直徑的定義，線段$\overline{XY}$是直徑。

(證明終了)