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2021年1月22日 星期五

2016高雄中學科學班方程式正整數解問題

=問題= 

x>y,求方程式x2+y2=208(xy)的所有正整數解。

=解答=

首先由題目條件x2+y2=208(xy)

x2+2xy+y2=208(xy)+2xy,

於是

(x+y)2=2[104(xy)+xy],

這表示(x+y)2是偶數,於是x+y是偶數。那麼可令x+y=2m,代回得

4m2=2[104(xy)+xy],

xy=2[m252(xy)],

所以xy也是偶數。由此可知x,y之中至少其一必為偶數。再由x+y為偶數可知,x,y有相同的奇偶性,故x,y必同為偶數。


現在命x=2a,y=2b,代回x2+y2=208(xy)

4a2+4b2=2082(ab),

a2+b2=104(ab).

仿以上的討論,可知a,b必同為偶數,再命a=2c,b=2d,得

c2+d2=52(cd).

續行此法,得

c=2e,d=2f,

e2+f2=26(ef),

e=2g,f=2h,

g2+h2=13(gh).

至此無法再按同格式化簡。注意x=24g,y=24h。我們對上式進行變形,

g2h2+2h2=13(gh),

2h2=(gh)(13gh).

利用算幾不等式有

(gh)+(13gh)2(gh)(13gh),

整理得

132h22h2,

22h132h,

h1322+2=13(21)22.692.

所以h可能為1或2。


h=1,則

g2+1=13(g1),

解得

g=13±1432Z.

是以h1


h=2,則

g2+4=13(g2),

解得

g=310.

反推可知

(x,y)=(48,32)(160,32).

=附記=

這是2017年3月17日寫的舊文,一直沒有打字,只是用照片的方式把解答貼在臉書粉絲頁。這幾天整理照片,覺得當時的解法還是頗有趣味,既用了整除性的討論,還用了算幾不等式估計範圍,應該打字下來做紀錄。


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