=問題=
設x>y,求方程式x2+y2=208(x−y)的所有正整數解。
=解答=
首先由題目條件x2+y2=208(x−y)得
x2+2xy+y2=208(x−y)+2xy,
於是
(x+y)2=2[104(x−y)+xy],
這表示(x+y)2是偶數,於是x+y是偶數。那麼可令x+y=2m,代回得
4m2=2[104(x−y)+xy],
xy=2[m2−52(x−y)],
所以xy也是偶數。由此可知x,y之中至少其一必為偶數。再由x+y為偶數可知,x,y有相同的奇偶性,故x,y必同為偶數。
現在命x=2a,y=2b,代回x2+y2=208(x−y)得
4a2+4b2=208⋅2(a−b),
a2+b2=104(a−b).
仿以上的討論,可知a,b必同為偶數,再命a=2c,b=2d,得
c2+d2=52(c−d).
續行此法,得
c=2e,d=2f,
e2+f2=26(e−f),
e=2g,f=2h,
g2+h2=13(g−h).
至此無法再按同格式化簡。注意x=24g,y=24h。我們對上式進行變形,
g2−h2+2h2=13(g−h),
2h2=(g−h)(13−g−h).
利用算幾不等式有
(g−h)+(13−g−h)2≥√(g−h)(13−g−h),
整理得
13−2h2≥√2h2,
2√2h≤13−2h,
h≤132√2+2=13(√2−1)2≈2.692.
所以h可能為1或2。
若h=1,則
g2+1=13(g−1),
解得
g=13±√1432∉Z.
是以h≠1。
若h=2,則
g2+4=13(g−2),
解得
g=3或10.
反推可知
(x,y)=(48,32)或(160,32).
=附記=
這是2017年3月17日寫的舊文,一直沒有打字,只是用照片的方式把解答貼在臉書粉絲頁。這幾天整理照片,覺得當時的解法還是頗有趣味,既用了整除性的討論,還用了算幾不等式估計範圍,應該打字下來做紀錄。
沒有留言:
張貼留言