三角不等式

==定理==(三角不等式)

若$a, b$為任意實數，則$|a+b| \leq |a| + |b|$。

==證明==

首先請注意，對於任意實數$r, s$恆有$r \leq |r|$以及$|r \cdot s| = |r| \cdot |s|$。

以下開始證明。

\begin{eqnarray*}
|a+b| &=& \sqrt{(a+b)^2} \\
&=& \sqrt{a^2 + 2ab + b^2} \\
&\leq& \sqrt{|a|^2 + 2|a| \cdot |b| + |b|^2} \\
&=& \sqrt{\left( |a| + |b| \right)^2} \\
&=& \left| |a| + |b| \right| \\
&=& |a| + |b|
\end{eqnarray*}

(證明終了)

無理數的無理數次方仍是無理數嗎？

無理數，所謂不能化為分數的數，相當的難以捉摸。

以前我們曾在【無理數與無理數加減乘除後仍會是無理數嗎？】與【有理數與無理數加減乘除後得到有理數還是無理數？】兩篇文章中探討過無理數對四則運算是否具有封閉性。

但我們不曾對乘冪運算有所探究。

本文要回答一個問題。

==問題==
若$\alpha, \beta$皆為無理數，則$\alpha^{\beta}$也是無理數嗎？

==解答==
底是無理數，次方又是無理數，看起來結果一定是無理，對吧？

未必！

考慮$\alpha_1 = \sqrt{2}, \beta_1 = \sqrt{2}$，則可得數$\alpha_1^{\beta_1} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$。

關於數$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$，我不知道它到底是無理數還是有理數。

如果$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$是有理數，那麼我們得到$\text{無理數}^{\text{無理數}} = \text{有理數}$的一個例子。

如果$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$是無理數，那麼我們令$\alpha_2 = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}, \beta_2 = \sqrt{2}$，於是
$$
\alpha_2^{\beta_2}=\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2.
$$
再次得到$\text{無理數}^{\text{無理數}} = \text{有理數}$。

所以無論本來$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$是有理數還是無理數，我們都能憑藉這個數去得到$\text{無理數}^{\text{無理數}} = \text{有理數}$的例子。

==參考資料==
Kenneth Binmore, Foundations of Analysis: Book 1: Logic, Sets and Numbers. Cambridge University Press. 1980. Example 3.15