國立竹南高中114學年度第二學期高一數學第一次定期考 詳解

詳解

第1題    第2題    第3題    第4題    第5題

第6題    第7題    第8題    第9題    第10題

第11題    第12題

評論

這是一份有不少瑕疵的考卷。

第6題：「平均成長率」定義模糊

細菌數量為線性（第 $k$ 天恰 $k \times 100$ ），絕對增加量固定（每天+100），但「成長率」通常指相對成長率（(新-舊)/舊）。若為相對率，則第1–3天最高；若為絕對，則都一樣（選E）。統計原理中「成長率」多指相對，選項設計易引起爭議。建議明確寫「每日平均相對成長率」或「絕對成長量」。

第7題：高一學生難以用嚴格數學證明(E)選項對錯

雖然(E)整體方向正確（刪除極值通常會讓標準差變小），但「平均數和標準差都會變小」這個「都」字，讓選項變成嚴格的複合陳述，而高一學生若要嚴謹判斷（用證明或反例），確實有難度。以下根據108課綱（D-10-2數據分析：平均數、標準差性質）、教科書內容及統計原理，詳細說明。

1. (E)的正確性判斷

(E)主張：「將十筆相異正數數據中最大和最小的都刪除，則剩下八筆的平均數和標準差都會變小。」

• 標準差部分：幾乎總是變小（但嚴格來說不是「必定」）。  

 理由：標準差測量離散程度，移除兩個極端值（min與max）必然縮小資料範圍與偏差平方和，母體標準差公式 \(\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum(x_i-\mu)^2}\) 在n減少且極值移除後，通常會下降。  

但要嚴格證明「必定變小」，高一學生很困難（需考慮所有可能配置、證明 \(\sigma_{\text{new}} < \sigma_{\text{old}}\)），教科書也只教「移除極值會使變異數減小」這個經驗法則，沒有形式證明。

• 平均數部分：完全不必然變小（可能變大、變小或不變）。  

  這是(E)最致命的問題。  
  數學上：設原始十筆資料總和 \(S\)，平均 \(\mu = S/10\)。  
  刪除 \(\min = m\)、\(\max = M\) 後，新平均  
  \[\mu' = \frac{S - m - M}{8}\]  
  比較 \(\mu', \mu\) 可得：  
  \[\mu' > \mu \iff S > 5m + 5M \iff \text{中間8筆的平均} > \mu\]  
  這完全取決於 \(m\) 和 \(M\) 相對於 \(\mu\) 的距離，與偏度有關，不是固定結果。

2. 高一學生要「嚴謹判斷(E)」的困難度

主要原因如下：

• 舉反例容易，但考場上難以即時想到：  

高一學生只需國中算術就能驗證平均數，但要自己構造一個「平均數反而變大」的反例，需要靈活操作「讓min遠離平均值，而max靠近平均值」。  

  例如一個簡單反例（所有正整數、相異）：  

  資料：1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11  

  原總和 = 64，\(\mu = 6.4\)  

  刪除 1 與 11 後，剩下總和 = 52，\(\mu' = 6.5 > 6.4\)（平均數變大）  

  標準差明顯變小（範圍從1–11縮小到3–10）。

  另一反例（更極端）：1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18  

  原 \(\mu = 12.7\)，刪除後 \(\mu' = 13.5\)（變大）。

這些反例只需加減即可驗證，但學生在70分鐘考場上，若沒預先練習過「trimmed mean」的行為，很容易漏掉，誤以為「刪極值平均一定下降」。

• 要「證明」更不可能：  

  高一只學「平均數是總和除以個數」「標準差公式」，沒有工具證明「\(\mu'\) 與 \(\mu\) 的關係」在所有情況下都成立（因為根本不成立）。教科書也從未要求學生證明這種複合陳述。

• 多選題的公平性問題：  

本題是「多選」，其他選項(A)–(D)相對容易判斷（標準化後平均=0、標準差=1；等差數列標準化後仍是等差；等比則不一定等比；刪極值標準差通常變小）。  

唯獨(E)需要同時判斷兩個量，而且一個「不必然」，導致學生容易因「標準差變小」而誤選，造成區辨度不佳或得分爭議。

3. 出題建議與改進

• 若要保留(E)，最好拆開成兩個獨立選項（一個只問平均數、一個只問標準差），或改成「標準差會變小，但平均數不一定」。
• 或者明確寫「通常會變小」，避免「都」字帶來的絕對性。
• 這類題目在108課綱下，理想設計應讓學生能用「計算小例子」或「概念直覺」快速判斷，而非需要構造反例。

總結：「嚴謹證明或舉反例很困難」正是核心問題。它讓這題從「概念理解題」變成「需要運氣或額外洞察」的陷阱題，略微降低了試卷的公平性與信度。

第8題：出題表達瑕疵（語言歧義）

以下根據108課綱（D-10-2數據分析：平均數與標準差的意義與比較）、教科書常見題型，以及考試命題原則，詳細說明這個瑕疵的嚴重性。

 1. 題幹文字的具體歧義

題目原文（第8題(3)）：

雜誌報導：OO的實力非常強勁且發揮穩定；XX 是骰子型選手，偶爾很強，但通常不理想。關於這兩人的平均得分與標準差大小，選出各自正確對應的選項。

選項：

(A) 平均較大、標準差較大  

(B) 平均較大、標準差較小  

(C) 平均較小、標準差較大  

(D) 平均較小、標準差較小

• 「各自正確對應的選項」這句話極度模糊：
• 「各自」暗示要分別為QQ和XX找出對應的描述（即QQ對應某一組合、XX對應另一組合）。
• 但選項(A)~(D)每個都只有單一的「平均…、標準差…」組合，完全沒有標示「QQ對應…、XX對應…」或提供兩個選項的配對。
• 因此，學生極易產生兩種常見誤讀：

1. 誤以為每個選項的前半句對QQ、後半句對XX
   例如把(A)讀成「QQ平均較大 + XX標準差較大」，把(B)讀成「QQ平均較大 + XX標準差較小」…… 
   這是因為中文逗號「、」常被當作並列分隔，而「各自」又強化了「分別對應」的暗示。
2. 誤以為要同時選兩個選項（如B和C），但本題格式沒有標示「多選」。

 2.為什麼這對高一學生特別容易造成困擾？

• 概念上：OO「強勁且穩定」→ 應對應平均較大、標準差較小（即(B)）；XX「股子型、通常不理想」→ 應對應平均較小、標準差較大（即(C)）。  

出題者原本想讓學生先算出四人的平均與標準差，再對應雜誌描述，考「平均數代表穩定實力、標準差代表發揮波動」的統計意義。

• 但文字歧義讓學生即使算對數據，也可能因為「不知道怎麼選」而失分：
• 有的學生會猜「選B」（只看OO）；
• 有的會猜「選C」（只看XX）；
• 有的會以為要選「B和C」但找不到方式；
• 甚至有的會把「平均較大、標準差較大」整個當作「OO的組合」。
• 高一學生正處於「學習描述統計語言」的階段，教科書（如南一版）在類似題目時都會明確寫「甲的平均較大且標準差較小，乙則相反」，避免這種歧義。

 3. 這屬於哪種出題瑕疵？

• 重大表達不精準。
• 影響信度與公平性：計算部分（(1)(2)）很明確，卻在(3)因為文字讓學生「懂統計卻不懂題目在問什麼」，違反「命題應清晰、避免歧義」的原則。
• 與108課綱不符：課綱強調「正確解讀統計結果」，但題幹本身就造成解讀困難，等於把「讀題」變成另一關卡。

 4. 建議修正方式

• 最簡單：改成  

  「OO的平均得分與標準差大小應對應下列何者？XX則對應何者？（多選）」並把選項改為 

(A) OO：平均較大、標準差較大　XX：平均較小、標準差較大

(B) OO：平均較大、標準差較小　XX：平均較小、標準差較大 ……（以此類推）

• 或者直接寫「OO應選____，XX應選____」並讓學生填兩個字母。

總結：這份試卷在「題幹文字精準度」上有系統性不足（Q6定義模糊、Q7(E)過絕對、Q8(3)歧義、Q10前提未明示）。這些雖然不影響計算正確性，卻會讓學生在70分鐘內平白浪費時間或因誤讀而失分，降低了試卷的整體品質。

第10題

1. 沒有明確說明統計變量X、Y各自代表什麼（小瑕疵，但不該出現）

• 事實：題目只寫「把月份及月均溫畫在圖表上」「相關係數約為 $-0.27$，迴歸直線為 $y = -0.2x + 21.8$」，表格標的是「月份」「攝氏溫度」。
• 課綱與教科書標準：高一教科書在介紹迴歸直線時，一定會先說「令$x$代表…，$y$代表…」，避免學生混淆。這是基本出題規範。
• 影響：雖然從上下文幾乎可推斷，但嚴格來說屬於「表達不夠精準」。學生若粗心，可能誤以為$x$是溫度、$y$是月份，導致後面解讀全錯。這是可避免的低級失誤。

2. 時序性資料（time series）不宜直接考慮Pearson相關係數與線性迴歸（這是較嚴重的概念瑕疵）

• 統計學原理：Pearson相關係數 $r$ 與線性迴歸的前提假設包括「觀測值相互獨立」（independent observations）。但月份資料是典型的時間序列，具有：
• 自相關（autocorrelation）：上個月溫度會影響下個月。
• 季節性循環（seasonality）：氣溫呈U型（夏天低、冬天高），根本不是線性關係。
• 趨勢（trend）：本資料其實幾乎無長期線性趨勢。
• 108課綱高一程度：課綱只教「二變量量化資料的散佈圖、$r$、迴歸」，沒有提到時間序列的特殊處理（這是大學統計或高三選修才會碰到的）。教科書偶爾會用「年份 vs 某指標」當例，但通常不會特別警示。
• 本題問題：出題者想用 $r \approx -0.27$ 來讓學生發現「相關性不高、線性模型不適合」（這是好的素養題），但因為沒有先提醒「本資料為時間序列，$r$的解讀需謹慎」，反而讓整題建立在統計上不嚴謹的基礎上。對想培養正確統計素養的考卷來說，是比較嚴重的扣分點。

3. 選項(E) 以高一學生所學，根本無法完全解答（最tricky的選項）

• 選項(E)原文：「此統計若增加樣本數據，例如將月均溫改為日均溫，則會提高相關性。」
• 高一學生能學到的：
• 樣本數越大，統計量的估計越精準（例如信賴區間變窄）。
• $r$ 的公式本身與$n$無關（$r$是關聯強度，不是估計精度）。
• 實際統計上：改成日均溫（365筆資料）後，
• 會引入更多日內波動與短期噪音。
• 季節循環仍然存在，但「日序 vs 日均溫」的線性關聯很可能更弱（$r$ 更接近0），因為資料更明顯地呈現週期性而非直線趨勢。
• 要正確判斷「不會提高相關性」，需要了解「相關係數測量的是線性關聯，而非季節性關聯」——這已超出108課綱高一範圍。
• 結論：(E) 確實是「以高一學生知識無法完全解答」的選項。出題者可能想說「更多資料不一定改善線性模型」，但表達方式讓學生只能靠直覺猜，容易造成爭議或得分不公。

整體Q10出題品質總結

• 原優點仍然存在：題目想考「學生能否看出迴歸直線與實際氣溫走勢不同」「低相關係數的意義」「斜率解讀的陷阱」，這符合108課綱「批判性解讀統計結果」的素養。
• 但新增的缺點：
• 表達不夠精準（X、Y未明示）。
• 統計前提未交代（時序資料的適用性）。
• (E)難度失控。
• 建議修正方式：
• 題目開頭應補：「令 $x$ 代表月份（1～12），$y$ 代表月均溫」。
• 明確寫「本資料為月份與月均溫的時序資料，請判斷以下線性迴歸的解讀是否恰當」。
• (E)可改成更明確的敘述，或換成其他常見誤解（如因果關係）。

國立竹南高中114學年度第二學期高一數學第一次定期考 詳解 第12題

=題目=

阿賀想用數學歸納法證明：連續正整數 $1, 2, 3, \dots, n$ 的標準差為 $\sqrt{\frac{(n+1)(n-1)}{12}}$。

阿賀的證明過程：

1.  Step ①：檢查 $n=1$。$1$ 個數字的標準差是 $0$，代入公式 $\sqrt{\frac{(1+1)(1-1)}{12}} = 0$，原命題成立。

2.  Step ②：假設 $n=k$ 時原命題成立，即 $1, 2, 3, \dots, k$ 的標準差是 $\sqrt{\frac{(k+1)(k-1)}{12}}$。

3.  Step ③：當 $n=k+1$ 時，要證明 $1, 2, 3, \dots, k, k+1$ 的標準差是 $\sqrt{\frac{(k+2)k}{12}}$。

4.  Step ④：先算出 $1, 2, 3, \dots, k, k+1$ 的平均是 $\frac{1}{k+1}(1+2+\dots+k+1) = \frac{k+2}{2}$。

5.  Step ⑤：利用標準差公式計算：

    $$\sqrt{\frac{1}{k+1}(1^2+2^2+\dots+(k+1)^2) - \left(\frac{k+2}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{(k+2)(2k+3)}{6} - \frac{(k+2)^2}{4}} = \dots = \sqrt{\frac{(k+2)k}{12}}$$

    如此由數學歸納法可知原命題成立。

待解決問題：

1.  請問上述證明過程有沒有錯？如果有，錯在哪一步？原因為何？

2.  加分題：老師說若想用歸納法處理，應使用歸納法的核心精神（利用 $n=k$ 的假設）。請試著寫下正確的數學歸納法證明。

=答案=

見詳解

=詳解=

【題目分析】

這題的重點在於「數學歸納法」的規範：

1. 阿賀的錯誤：他在證明 $n=k+1$ 時，直接使用了「平方和公式」，這在數學上雖然沒錯，但不符合歸納法的邏輯。歸納法必須「強迫」使用到 $n=k$ 時的假設，才能稱為歸納證明。

2. 修正目標：我們要從 $n=k$ 的標準差假設出發，推導出 $n=k+1$ 的結果。

 【核心概念】

1. 變異數公式：$\text{變異數} = \frac{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}{n} - (\text{平均數})^2$。

2. 標準差：即變異數開根號。

 【逐步解法】

 第一部分：回答問題

   有沒有錯？ 有。

   錯在哪一步？ 第 ⑤ 步。

   原因：數學歸納法的核心是「利用 $n=k$ 的假設來推導 $n=k+1$」。阿賀在第 ⑤ 步直接套用了平方和公式，沒有用到他在第 ② 步所做的假設，這樣這一步就變成一般的代數運算，而不是歸納證明。

 第二部分：加分題（正確的證明過程）

1. 基礎步驟：

當 $n=1$ 時，資料只有 $\{1\}$，平均數 $\mu_1 = 1$。

標準差為 $\sqrt{\frac{1^2}{1} - 1^2} = 0$。

代入公式：$\sqrt{\frac{1^2-1}{12}} = 0$。故 $n=1$ 時命題成立。

2. 歸納假設：

假設 $n=k$ 時命題成立，即 $1, 2, \dots, k$ 的變異數滿足：

$$\frac{1^2 + 2^2 + \dots + k^2}{k} - \left(\frac{k+1}{2}\right)^2 = \frac{k^2-1}{12}$$

為了後續推導方便，我們將這個假設整理一下，算出前 $k$ 項平方和：

$$\frac{1^2 + 2^2 + \dots + k^2}{k} = \frac{k^2-1}{12} + \frac{(k+1)^2}{4}$$

$$\frac{1^2 + 2^2 + \dots + k^2}{k} = \frac{(k-1)(k+1) + 3(k+1)^2}{12} = \frac{(k+1)[(k-1) + (3k+3)]}{12} = \frac{(k+1)(4k+2)}{12} = \frac{(k+1)(2k+1)}{6}$$

得：$1^2 + 2^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ （這是從 $n=k$ 假設延伸出來的關鍵武器）。

3. 推導步驟：

當 $n=k+1$ 時，新資料為 $\{1, 2, \dots, k, k+1\}$，新平均數 $\mu_{k+1} = \frac{k+2}{2}$。

我們計算 $n=k+1$ 的變異數：

$$\text{變異數}_{k+1} = \frac{(1^2 + 2^2 + \dots + k^2) + (k+1)^2}{k+1} - \left(\frac{k+2}{2}\right)^2$$

此時，帶入剛才由假設得到的「武器」：

$$\text{變異數}_{k+1} = \frac{\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2}{k+1} - \frac{(k+2)^2}{4}$$

上下同時除以 $(k+1)$：

$$\text{變異數}_{k+1} = \left[ \frac{k(2k+1)}{6} + (k+1) \right] - \frac{(k+2)^2}{4}$$

通分（分母皆化為 12）：

$$\text{變異數}_{k+1} = \frac{2(2k^2+k) + 12(k+1) - 3(k^2+4k+4)}{12}$$

$$\text{變異數}_{k+1} = \frac{(4k^2+2k+12k+12) - (3k^2+12k+12)}{12} = \frac{k^2+2k}{12}$$

將分子整理成公式的形式：$\frac{k^2+2k}{12} = \frac{(k+1+1)(k+1-1)}{12}$。

開根號後，得標準差為 $\sqrt{\frac{(k+2)k}{12}}$，與原公式 $n=k+1$ 代入的結果一致。

4. 結論：

由數學歸納法知，對所有正整數 $n$，此標準差公式皆成立。

國立竹南高中114學年度第二學期高一數學第一次定期考 詳解 第11題

=題目=

有兩筆數據 $x$ 和 $y$，資料如下表，求：

(1) $x$ 的平均

(2) $x$ 的變異數

(3) $y$ 的標準差

(4) $x$ 與 $y$ 的相關係數

(5) $y$ 對 $x$ 的迴歸直線方程式。（需以 $y = ax + b$ 表示）

=答案=

(1) $x$ 的平均：$5$

(2) $x$ 的變異數：$\frac{10}{3}$

(3) $y$ 的標準差：$2$

(4) 相關係數：$\frac{2\sqrt{30}}{15}$

(5) 迴歸直線方程式：$y = \frac{4}{5}x + 1$

=詳解=

【題目分析】

本題考查二維數據分析的基本統計量計算。我們需要先計算出 $x$ 與 $y$ 的平均值、離差平方和（$S_{xx}, S_{yy}$）以及離差乘積和（$S_{xy}$），進而求出相關係數與迴歸直線。

 【核心概念】

1. 平均數：$\mu_x = \frac{\sum x_i}{n}$

2. 離差平方和：$S_{xx} = \sum (x_i - \mu_x)^2$，$S_{yy} = \sum (y_i - \mu_y)^2$

3. 離差乘積和：$S_{xy} = \sum (x_i - \mu_x)(y_i - \mu_y)$

4. 變異數：$\sigma_x^2 = \frac{S_{xx}}{n}$（高中課程通常定義母體變異數除以 $n$）

5. 標準差：$\sigma_y = \sqrt{\frac{S_{yy}}{n}}$

6. 相關係數：$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}$

7. 迴歸直線斜率：$a = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$，且直線過 $(\mu_x, \mu_y)$。

 【逐步解法】

1. 基本統計量計算：

   數據個數 $n = 6$。

   $x$ 的總和：$2+4+5+5+6+8 = 30 \Rightarrow$ (1) $x$ 的平均 $\mu_x = \frac{30}{6} = 5$。

   $y$ 的總和：$1+6+4+6+7+6 = 30 \Rightarrow y$ 的平均 $\mu_y = \frac{30}{6} = 5$。

2. 計算離差與平方和：

   $x$ 的離差 $(x_i - 5)$：$-3, -1, 0, 0, 1, 3$

       $S_{xx} = (-3)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2 + 3^2 = 9 + 1 + 0 + 0 + 1 + 9 = 20$

   $y$ 的離差 $(y_i - 5)$：$-4, 1, -1, 1, 2, 1$

       $S_{yy} = (-4)^2 + 1^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 + 1^2 = 16 + 1 + 1 + 1 + 4 + 1 = 24$

   離差乘積和 $S_{xy}$：

       $S_{xy} = (-3)(-4) + (-1)(1) + (0)(-1) + (0)(1) + (1)(2) + (3)(1) = 12 - 1 + 0 + 0 + 2 + 3 = 16$

3. 各小題計算：

   (2) $x$ 的變異數：$\sigma_x^2 = \frac{S_{xx}}{n} = \frac{20}{6} = \mathbf{\frac{10}{3}}$。

   (3) $y$ 的標準差：$\sigma_y = \sqrt{\frac{S_{yy}}{n}} = \sqrt{\frac{24}{6}} = \sqrt{4} = \mathbf{2}$。

   (4) 相關係數 $r$：

    $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}} = \frac{16}{\sqrt{20 \times 24}} = \frac{16}{\sqrt{480}} = \frac{16}{4\sqrt{30}} = \frac{4}{\sqrt{30}} = \mathbf{\frac{2\sqrt{30}}{15}}$。

   (5) 迴歸直線方程式：

       斜率 $a = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$。

       通過點 $(\mu_x, \mu_y) = (5, 5)$，代入點斜式：

        $y - 5 = \frac{4}{5}(x - 5) \Rightarrow y = \frac{4}{5}x - 4 + 5 \Rightarrow \mathbf{y = \frac{4}{5}x + 1}$。

國立竹南高中114學年度第二學期高一數學第一次定期考 詳解 第10題

=題目=

 澳洲的黃金海岸是一個氣候怡人的城市，阿慶看到了該地去年的月均溫資料，便把月份及月均溫畫在圖表上，用電腦計算出相關係數約為 $-0.27$，迴歸直線為 $y = -0.2x + 21.8$，並對兩數據做出以下解讀，請問當中哪些解讀不恰當？（多選）

(A) 若將年均溫以月均溫的平均值計算，則可將 $x = 6.5$ 代入該直線求年均溫。

(B) 迴歸直線的斜率小於 0，代表越接近 12 月氣溫越低。

(C) 迴歸直線與實際氣溫走勢不同，原因可能是此數據未標準化。

(D) 由於相關係數接近 0，可推論月份與氣溫相關性不高。

(E) 此統計若增加樣本數據，例如將月均溫改為日均溫，則會提高相關性。

=答案=

(B)(C)(E)

=詳解=

【題目分析】

本題要求判斷線性迴歸與相關係數在特定氣候數據下的解釋是否正確。題目核心在於理解「線性模型」對於「週期性數據（氣候）」的侷限性，以及統計參數（斜率、相關係數、標準化）的本質意義。

 【核心概念】

1. 迴歸直線的性質：迴歸直線 $y = mx + b$ 必通過平均點 $(\bar{x}, \bar{y})$。

2. 斜率的意義：在線性模型中，斜率代表自變數增加時，預測值的平均增減趨勢。但在非線性數據中，單純看斜率會忽略局部的真實走勢。

3. 數據標準化 (Standardization)：標準化後的迴歸直線斜率會等於相關係數 $r$，但不會改變數據本身的線性或非線性結構，也不會改變模型的配適程度。

4. 相關係數與樣本數：相關係數 $r$ 的大小取決於數據分佈的線性程度，增加樣本數不一定會提高 $r$。

 【逐步解法】

   (A) 恰當：

    月份的平均值 $\bar{x} = \frac{1+2+...+12}{12} = 6.5$。由於迴歸直線必過 $(\bar{x}, \bar{y})$，將 $x=6.5$ 代入 $y = -0.2(6.5) + 21.8 = 20.5$，得到的數值正是這 12 個月溫度的算術平均數（年均溫）。

   (B) 不恰當：

    斜率 $-0.2$ 雖然代表整體的微弱下降趨勢，但數據顯示黃金海岸（南半球）氣溫在 7 月最低，之後開始回升，到 12 月時（23度）比 6-9 月都高。解釋為「越接近 12 月氣溫越低」完全不符合實際數據的週期性走勢。

   (C) 不恰當：

    線性迴歸直線與實際走勢不同，是因為月份與氣溫的關係是週期性（波浪狀）而非線性的。標準化只會改變座標軸的刻度（變為 $z$-分數），無法讓一條直線去貼合曲線分佈。

   (D) 恰當：

    相關係數 $r \approx -0.27$。通常 $|r| < 0.3$ 被視為極弱相關或低度相關，因此推論「相關性不高」是合理的統計描述。

   (E) 不恰當：

    增加數據點（如月改為日）雖然能提供更多細節，但相關係數反映的是「線性程度」。氣溫受季節影響的本質不變，改為日溫後，數據點會更密集地分佈在原本的曲線上，且可能因每日溫差增加雜訊，不一定會提高 $r$ 值。

國立竹南高中114學年度第二學期高一數學第一次定期考 詳解 第9題

=題目=

2025 年國際數學奧林匹亞競賽在澳洲的黃金海岸 (Gold Coast) 舉行，計有 630 人參加，競賽共六道試題，每一題滿分為 7 分，第一題全體參賽選手的得分分佈如下。問：

(1) 中位數是幾分？

(A) 3

(B) 3.5

(C) 4

(D) 5.2

(E) 7

(2) 第一四分位數是幾分？

(A) 1.75

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

=答案=

(1) 中位數為 7 分，故選 (E)。

(2) 第一四分位數為 3 分，故選 (C)。

=詳解=

【題目分析】

本題給出了 630 名參賽者的得分分佈表，得分範圍為 0 到 7 分。我們需要根據累積人數來找出：

1. 中位數 (Median, $Me$ 或 $Q_2$)：將數據從小到大排序後，位於最中間的數值。

2. 第一四分位數 (First Quartile, $Q_1$)：將數據從小到大排序後，位於第 25% 位置的數值。

 【核心概念】

1. 總人數 $N = 630$。

2. 累積次數表：為了方便定位，我們需要計算各得分的累積人數：

   - 0 分：60 人（累積 60 人）

   - 1 分：26 人（累積 $60 + 26 = 86$ 人）

   - 2 分：58 人（累積 $86 + 58 = 144$ 人）

   - 3 分：31 人（累積 $144 + 31 = 175$ 人）

   - 4 分：14 人（累積 $175 + 14 = 189$ 人）

   - 5 分：19 人（累積 $189 + 19 = 208$ 人）

   - 6 分：54 人（累積 $208 + 54 = 262$ 人）

   - 7 分：368 人（累積 $262 + 368 = 630$ 人）

 【逐步解法】

 (1) 計算中位數：

1. 總人數 $N = 630$ 為偶數。

2. 中位數位置應為第 $\frac{630}{2} = 315$ 位與第 $316$ 位數值的平均。

3. 觀察累積人數：

   - 前 262 人的得分都在 0 到 6 分之間。

   - 第 263 人到第 630 人的得分全部都是 7 分。

4. 因此，第 315 位與第 316 位同學的得分皆為 7 分。

   - 中位數 = $\frac{7 + 7}{2} = 7$。

 (2) 計算第一四分位數 ($Q_1$)：

1. 計算 $N \times \frac{1}{4} = 630 \times 0.25 = 157.5$。

2. 根據統計學定義（高中常用標準）：若 $N \cdot p$ 不是整數，則取「大於該數的最小整數」位置的數值。

   - 即找尋第 $\lceil 157.5 \rceil = 158$ 位同學的得分。

3. 觀察累積人數：

   - 得分 2 分及以下共有 144 人。

   - 得分 3 分及以下共有 175 人（包含第 145 到 175 位）。

4. 因此，第 158 位同學的得分正好落在 3 分 的區間。

   - $Q_1 = 3$。

國立竹南高中114學年度第二學期高一數學第一次定期考 詳解 第8題

=題目=

家家、小紗、田仔、阿剛四人參加一場競賽，共八局，每局排序一二三四名計算得分，第一名：$+45$ 分、第二名：$+5$ 分、第三名：$-15$ 分、第四名：$-35$ 分。八局的名次紀錄如下。

(1) 請問小紗平均得分為多少？

(2) 小紗的分數的變異數最接近下列哪個整數？

(A) 900 (B) 1000 (C) 1200 (D) 1400 (E) 1500

(3) 雜誌報導：OO 的實力非常強勁且發揮穩定；XX 是骰子型選手，偶爾很強，但通常不理想。關於這兩人的平均得分與標準差大小，選出各自正確對應的選項。

(A) 平均較大、標準差較大

(B) 平均較大、標準差較小

(C) 平均較小、標準差較大

(D) 平均較小、標準差較小

=答案=

(1) 小紗平均得分為 $7.5$ 分。

(2) 變異數最接近 (A) 900。

(3) OO 對應 (B)；XX 對應 (C)。

=詳解=

【題目分析】

本題旨在考察統計學中的平均數與變異數（或標準差）的計算與應用。

1.  已知條件：

       計分方式：第一名 $+45$、第二名 $+5$、第三名 $-15$、第四名 $-35$。

       小紗八局的名次為：第二名、第一名、第三名、第三名、第一名、第四名、第一名、第三名。

2.  求解目標：

       (1) 小紗的平均得分。

       (2) 小紗得分的變異數（求最接近的整數）。

       (3) 根據「實力強勁且穩定」與「發揮不理想且不穩定」的描述，選出對應的統計特徵（平均數與標準差的大小）。

 【核心概念】

1.  算術平均數 ($\mu$)：資料總和除以資料筆數。

    $$\mu = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$$

2.  變異數 ($S^2$)：各資料值與平均數之差的平方和，再除以資料筆數。

    $$S^2 = \frac{(x_1-\mu)^2 + (x_2-\mu)^2 + \dots + (x_n-\mu)^2}{n}$$

    或者使用簡便公式：$$S^2 = \frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n} - \mu^2$$

3.  統計意義：

       平均數代表整體表現的好壞。

       標準差（或變異數）代表表現的穩定程度；標準差越小，發揮越穩定。

 【逐步解法】

 (1) 計算小紗平均得分

首先列出小紗八局的得分狀況：

   第1局：第二名 $\rightarrow +5$

   第2局：第一名 $\rightarrow +45$

   第3局：第三名 $\rightarrow -15$

   第4局：第三名 $\rightarrow -15$

   第5局：第一名 $\rightarrow +45$

   第6局：第四名 $\rightarrow -35$

   第7局：第一名 $\rightarrow +45$

   第8局：第三名 $\rightarrow -15$

總分計算：

$5 + 45 + (-15) + (-15) + 45 + (-35) + 45 + (-15) = 60$

平均得分：

$$\mu = \frac{60}{8} = 7.5$$

 (2) 計算小紗得分的變異數

我們使用簡便公式 $S^2 = \text{平方的平均} - \text{平均的平方}$。

先計算得分的平方和：

$5^2 = 25$

$45^2 = 2025$（出現 3 次）

$(-15)^2 = 225$（出現 3 次）

$(-35)^2 = 1225$

平方總和 $= 25 + (2025 \times 3) + (225 \times 3) + 1225 = 25 + 6075 + 675 + 1225 = 8000$

平方的平均：

$\frac{8000}{8} = 1000$

變異數 $S^2$：

$$S^2 = 1000 - (7.5)^2 = 1000 - 56.25 = 943.75$$

比對選項：(A) 900, (B) 1000, (C) 1200, (D) 1400。

$943.75$ 距離 $900$ 為 $43.75$，距離 $1000$ 為 $56.25$，因此最接近 (A)。

 (3) 選出正確對應的選項

   OO (實力強勁且穩定)：

       「實力強勁」代表平均得分較高（平均較大）。

       「發揮穩定」代表得分波動小（標準差較小）。

       對應選項：(B)。

   XX (骰子型選手，偶爾強但通常不理想)：

       「通常不理想」代表平均表現較差（平均較小）。

       「骰子型（波動大）」代表得分不穩定（標準差較大）。

       對應選項：(C)。

國立竹南高中114學年度第二學期高一數學第一次定期考 詳解 第7題

=題目=

某次統計得到了 10 筆相異數據，每筆數據皆為正數，問下列何者正確？（多選）

(A) 數據標準化後的平均數必小於原始數據的平均數

(B) 數據標準化後的標準差必小於原始數據的標準差

(C) 若原始數據成等差數列，則數據標準化後也成等差數列

(D) 若原始數據成等比數列，則數據標準化後也成等比數列

(E) 若將十筆數據中最大和最小的數據都刪除，則剩下的八筆數據的平均數和標準差都會變小。

=答案=

 (A)(C)

=詳解=

【核心概念】

1.  數據標準化：將原始數據 $x$ 減去平均數 $\mu$ 後，再除以標準差 $\sigma$。得到的標準化數據 $z$ 具備兩個固定性質：

       平均數必為 0。

       標準差必為 1。

2.  線性變換：標準化公式 $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ 其實是一種線性變換（形如 $y = ax + b$）。

3.  平均數與標準差的敏感度：平均數容易受極端值影響；標準差代表數據的離散程度。

【逐步解法】

   (A) 數據標準化後的平均數必小於原始數據的平均數

       正確性：正確。

       淺白說明：標準化後的數據平均數永遠固定為 0。而題目提到原始數據 10 筆皆為正數，因此原始平均數也必然大於 0。因為 $0 < \text{原始平均數}$，所以此選項正確。

   (B) 數據標準化後的標準差必小於原始數據的標準差

       正確性：錯誤。

       反例：假設原始數據的標準差非常小，例如 $\sigma = 0.5$。由於標準化後的標準差固定為 1，此時 1 大於 0.5，標準化後的標準差反而變大了。

   (C) 若原始數據成等差數列，則數據標準化後也成等差數列

       正確性：正確。

       淺白說明：標準化過程只是將所有數據同時「減去一個數」再「除以一個數」。原本間隔相等的數據（等差），在同時移動縮放後，彼此間的間隔依然會保持固定的比例縮放，因此仍會維持等差數列的特性。

   (D) 若原始數據成等比數列，則數據標準化後也成等比數列

       正確性：錯誤。

       反例：假設原始數據為 $\{1, 2, 4\}$（公比為 2）。這組數據的平均數為 $7/3 \approx 2.33$。標準化時需要將每個數減去 2.33，得到 $\{1-2.33, 2-2.33, 4-2.33\} = \{-1.33, -0.33, 1.67\}$。這組新數據的正負號不一，且數值間不具備固定的公比，因此不再是等比數列。

   (E) 若將十筆數據中最大和最小的數據都刪除，則剩下的八筆數據的平均數和標準差都會變小

       正確性：錯誤。

       反例：

           針對平均數：假設數據為 $\{1, 10, 11, 12, \dots, 15\}$。如果最小值 1 離平均數非常遠，而最大值 15 離平均數很近，刪除這兩者後，剩下的數據會整體「偏向大數」，導致平均數反而變大。

           針對標準差：雖然通常刪除極端值會讓數據變集中（標準差變小），但平均數若產生大幅位移，標準差的變化仍需視具體數據分佈而定，不能說「必會」變小。