=問題=
假設三角形ABC的三邊長分別為¯AB=5,¯BC=8,¯AC=6。請選出和→AB內積為最大的選項。(單選)
(A) →AC
(B) →CA
(C) →BC
(D) →CB
(E) →AB
=解答=
首先畫出三角形ABC。
由圖看來,∠A應是鈍角,為確定此論斷,我們計算cosA,由餘弦定理得
cosA=52+62−822⋅5⋅6=−120<0.
所以確定了∠A是鈍角。
既然∠A是鈍角,那麼剩下的兩個角∠B,∠C必為銳角。再由大邊對大角可知∠B>∠C。
現在觀察各選項所決定的夾角。
(A) →AB與→AC的夾角為∠A,鈍角。
(B) →AB與→CA的夾角為180∘−∠A,銳角。
(C) →AB與→BC的夾角為180∘−∠B,鈍角。
(D) →AB與→CB的夾角為∠B,銳角。
(E) →AB與→AB的夾角為0∘。
若兩向量夾角為鈍角,則內積必為負數。所以不用考慮(A)與(C)。
現在來計算(B)、(D)、(E)。
(B): →AB⋅→CA=5⋅6⋅cos(180∘−A)=30⋅(−cosA)=30⋅120=32。
(D):→AB⋅→CB=5⋅8⋅cosB=40⋅52+82−622⋅5⋅8=40⋅5380=532。
(E):→AB⋅→AB=52=25。
所以→AB⋅→CB最大,故選(D)。
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