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2021年1月14日 星期四

105指考數甲的平面向量內積問題

=問題= 

假設三角形ABC的三邊長分別為¯AB=5,¯BC=8,¯AC=6。請選出和AB內積為最大的選項。(單選)

(A) AC

(B) CA

(C) BC

(D) CB

(E) AB

=解答=

首先畫出三角形ABC

由圖看來,A應是鈍角,為確定此論斷,我們計算cosA,由餘弦定理得

cosA=52+6282256=120<0.

所以確定了A是鈍角。

既然A是鈍角,那麼剩下的兩個角B,C必為銳角。再由大邊對大角可知B>C

現在觀察各選項所決定的夾角。

(A) ABAC的夾角為A,鈍角。

(B) ABCA的夾角為180A,銳角。

(C) ABBC的夾角為180B,鈍角。

(D) ABCB的夾角為B,銳角。

(E) ABAB的夾角為0

若兩向量夾角為鈍角,則內積必為負數。所以不用考慮(A)與(C)。

現在來計算(B)、(D)、(E)。

(B): ABCA=56cos(180A)=30(cosA)=30120=32

(D):ABCB=58cosB=4052+8262258=405380=532

(E):ABAB=52=25

所以ABCB最大,故選(D)。

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