110年學測試辦考試，數學非選擇題，平面線性變換的問題

==問題== 

以$T$表由$\begin{bmatrix} a&-b \\ b&a \end{bmatrix}$定義的平面線性變換，其中$a$、$b$為實數。試回答下列問題。

18. 若$T$將點$(0, 1)$映射到直線$y = 5x+13$上一點，試問下列哪一選項是正確的？（單選題，3分）

       (1) $a-5b=13$

       (2) $a+5b=13$

       (3) $5a-b=13$

       (4) $5a+b=13$

       (5) $-5a+b=13$

19. 若$T$將直線$y = x+1$上的點都映射到直線$y = 5x+13$上，試求$a$、$b$。（非選擇題，6分）

20. （承19題）設$P, Q$為平面上兩相異點，令$P'=T(P)$、$Q'=T(Q)$，試說明$\frac{\overline{P'Q'}}{\overline{PQ}}$為定值，並求此值。（非選擇題，6分）

==解答==

18. $\begin{bmatrix} a&-b \\ b&a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -b \\ a \end{bmatrix}$，所以將$x = -b, y=a$代入直線方程式$y = 5x+13$，得$a=5(-b)+13$，整理有$a+5b=13$，選(2)。

19. 再取直線$y = x+1$上另一點$(-1, 0)$，於是可經$T$變換為點$(-a, -b)$。根據題意，點$(-a, -b)$也會在直線$y = 5x+13$上，所以代入得$5a-b=13$。因此與18題的$a+5b=13$一起，可解得$a = 3, b = 2$。

20. 根據19題的結果，題目的矩陣為$\begin{bmatrix} 3&-2 \\ 2&3 \end{bmatrix}$，可將之改寫為$\sqrt{13} \begin{bmatrix} \frac{3}{\sqrt{13}}&\frac{-2}{\sqrt{13}} \\ \frac{2}{\sqrt{13}}&\frac{3}{\sqrt{13}} \end{bmatrix}$，這意味著變換$T$的幾何意義為：以原點$O$為中心，先旋轉角度$\theta$，然後再伸縮$\sqrt{13}$倍，其中角度$\theta$滿足$\left\{ \begin{array}{l} \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{13}} \\ \sin \theta = \frac{2}{\sqrt{13}} \end{array} \right.$，如下圖所示：

因此如果設$\overline{PQ}$的長度為$l$，起先旋轉不會改變其長度，但接下來會伸縮$\sqrt{13}$倍，從而$\overline{P'Q'}$的長度為$\sqrt{13}\cdot l$，得$\frac{\overline{P'Q'}}{\overline{PQ}} = \sqrt{13}$。

（解答終了）