印度理工學院(IIT)聯合入學考試-主試(JEE Main)，2018，實體試(offline)，卷1(Paper 1)，A套，第77題

==問題==

設$y = y(x)$是微分方程
$$\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = 4x, \quad x \in (0, \pi)$$
的解。若$\displaystyle y \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$，則$\displaystyle y \left( \frac{\pi}{6} \right)=$？

(1) $\displaystyle \frac{4}{9 \sqrt{3}} \pi^2$
(2) $\displaystyle \frac{-8}{9 \sqrt{3}} \pi^2$
(3) $\displaystyle -\frac{8}{9} \pi^2$
(4) $\displaystyle -\frac{4}{9} \pi^2$

==答案==

(3)

==解答==

將題目的微分方程式稍微改寫為
$$\frac{dy}{dx} \sin x + y \cos x = 4x,$$
然後
$$\frac{dy}{dx} \sin x + y \frac{d \sin x}{dx} = 4x.$$
聯想乘積的求導公式
$$\frac{d}{dx} fg = f'g + fg'.$$
得到
$$\frac{d}{dx} (y \sin x) = 4x.$$
左右同時對$x$積分，
$$\int \frac{d}{dx} (y \sin x) \, {\rm d}x = \int 4x \, {\rm d}x.$$
於是
$$y \sin x = 2x^2 + C.$$
這裡$C$為待定常數。

將初始條件$\displaystyle y \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$代入上式，得
$$0 = \frac{\pi^2}{2} + C.$$
解出$C = -\frac{\pi^2}{2}$。所以
$$y(x) = \frac{2x^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin x}.$$

因此所求
$$y \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{2 \left( \frac{\pi}{6} \right)^2 - \frac{\pi^2}{2}}{1/2} = -\frac{8}{9}\pi^2.$$

(解答結束)

印度理工學院(IIT)聯合入學考試-主試(JEE Main)，2018，實體試(offline)，卷1(Paper 1)，A套，第75題

==問題==

計算積分$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} \,{\rm d}x$。

(1) $\displaystyle \frac{\pi}{8}$
(2) $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
(3) $\displaystyle 4\pi$
(4) $\displaystyle \frac{\pi}{4}$

==答案==

(4)

==解答==

\begin{align*}
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} \,{\rm d}x
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} \,{\rm d}x + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} \,{\rm d}x \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} \,{\rm d}x + \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin^2 (-t)}{1 + 2^{-t}} (-1) \,{\rm d}t \quad [x: -\frac{\pi}{2} \rightarrow 0, t = -x, t: \frac{\pi}{2} \rightarrow 0] \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} \,{\rm d}x + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^{-x}} \,{\rm d}x \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} \,{\rm d}x + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2^x \cdot \sin^2 x}{2^x + 1} \,{\rm d}x \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x (1 + 2^x)}{1 + 2^x} \,{\rm d}x \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \,{\rm d}x \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2x}{2} \,{\rm d}x \\
&= \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \sin \pi \right) - (0 - 0) \right] \\
&= \frac{\pi}{4}.
\end{align*}

(解答結束)

106，指考，數學甲，單選4

==問題==

已知一實係數三次多項式$f(x)$在$x=1$有極大值$3$，且圖形$y = f(x)$在$\left( 4, f(4) \right)$之切線方程式為$y-f(4)+5(x-4)=0$，試問$\displaystyle \int_{1}^{4} f''(x) {\rm d} x$之值為下列哪一個選項？
(1) $-5$
(2) $-3$
(3) $0$
(4) $3$
(5) $5$

[106，指考，數學甲，單選4]

==解答==

「$f(x)$在$x=1$有極大值$3$」$\Rightarrow$ (i) $f(1) = 3$；(ii) $f'(1)=0$。

「圖形$y = f(x)$在$\left( 4, f(4) \right)$之切線方程式為$y-f(4)+5(x-4)=0$」，與點斜式$y - y_0 = f'(x_0) (x - x_0)$相比較，可知$f'(4) = -5$。

所求$\displaystyle \int_{1}^{4} f''(x) {\rm d} x = \left[ f'(x) \right]_{1}^{4} = f'(4) - f'(1) = -5 - 0 = -5$，選(1)。

(解答結束)