一道四球相切疊橘子求高度的問題

==問題== 

三個半徑1的球，和一個半徑為$\sqrt{3} - 1$的球疊成兩層在桌上，較小的球放上層，四球兩兩相切，則上層小球的最高點到桌面的距離為何？

==答案== 

$\sqrt{\frac{5}{3}} + \sqrt{3}$

==解答== 

        設大球三顆的球心分別為$A, B, C$，而設小球的球心為$D$，於是四點$A, B, C, D$構成一個三角錐，其中$\overline{AB} = \overline{AC} = \overline{BC} = 1 + 1 = 2$，而$\overline{DA} = \overline{DB} = \overline{DC} = (\sqrt{3} - 1) + 1 = \sqrt{3}$。

        所求高度即為

小球半徑＋$D$與平面$ABC$距離＋大球半徑.

        現在開始計算$D$與平面$ABC$距離。取$D$在平面$ABC$上的投影點為$G$，則$G$為$\Delta ABC$的重心。設$\overleftrightarrow{AG}$與$\overline{BC}$交於$M$，$\overline{BM} = \overline{CM} = 1$，$\overline{AM} = \sqrt{3}$，$\overline{AG} = \frac{2}{3} \sqrt{3}$，因此

$$\overline{DG} = \sqrt{\sqrt{3}^2 - \left( \frac{2}{3} \sqrt{3} \right)^2} = \sqrt{\frac{5}{3}}.$$

所以

$${\text{所求高度}} = (\sqrt{3} - 1) + \sqrt{\frac{5}{3}} + 1 = \sqrt{\frac{5}{3}} + \sqrt{3}.$$

（解答終了）

圓盤是凸的

==定義==(凸性)

設$\Gamma$為平面上的非空點集，若對於$\Gamma$中的任意點$X, Y$恆有$\overline{XY} \subset \Gamma$，則稱$\Gamma$是「凸的」。

更形象化來說，就是如果圖形$\Gamma$中任意兩點所連成的線段都會完全地落在$\Gamma$裡頭，那麼就說$\Gamma$是凸的。

==定義==(圓盤Disc)

設$P$為平面上任意一點，$r$為任意正數。我們稱點集
$$D(P, r) = \left\{ X | d(X, P) \leq r \right\}$$
為以$P$為圓心、$r$為半徑長的圓盤(disc)。

==定理==

圓盤是凸的。

==證明==

設$X, Y$為圓盤$D(P, r)$中的任意兩點。

我們這裡只討論$X \neq Y$的情況，因為$X =Y$的情況是無聊的(trivial)。

根據圓盤的定義有$d(X, P) \leq r$以及$d(Y, P) \leq r$。

設$Z$為線段$\overline{XY}$上的任意一點。命$\lambda = \frac{\overline{XZ}}{\overline{XY}}$，於是$\lambda \in [0, 1]$，而$Z = X + \overrightarrow{XZ} = X + \lambda \overrightarrow{XY} = X + \lambda \left( Y - X \right) = (1 - \lambda) X + \lambda Y$。

於是
\begin{eqnarray*}
d(Z, P)
&=& d\left( (1 - \lambda) X + \lambda Y, P \right) \\
&\leq& d\left( (1 - \lambda) X + \lambda Y, \lambda Y + (1 - \lambda) P \right) + d\left( \lambda Y + (1 - \lambda) P , P \right) \\
&=& (1 - \lambda) d\left( X, P \right) + \lambda d(Y, P) \\
&\leq& (1 - \lambda) r + \lambda r\\
&=& r \\
\end{eqnarray*}

(證明終了)