坐標化一直推算不出來的題目？

=題目= 

圓上有四點 $A, B, C, D$，已知兩弦 $\overline{AC} \perp \overline{BD}$，設 $\overline{AB} = 2$，$\overline{CD} = 3$，則此圓面積為 $\underline{\hspace{2cm}}$。

=答案=

$\frac{13}{4} \pi$

=詳解=

設$O = \overline{AC} \cap \overline{BD} = (0, 0)$，$\overrightarrow{AC} = x$軸、$\overrightarrow{BD} = y$軸，$\angle BDC = \theta$，則$A = ( -2 \cos \theta, 0), C = ( 3 \sin \theta, 0), B = (0, -2 \sin \theta), D = ( 0, 3 \sin \theta)$，再設圓心為$K$，則$K = \left( \frac{-2 \cos \theta + 3 \sin \theta}{2}, \frac{-2 \sin \theta + 3 \cos \theta}{2} \right)$，於是$\overrightarrow{KC} = \left( \frac{3 \sin \theta + 2 \cos \theta}{2}, \frac{2 \sin \theta - 3 \cos \theta}{2} \right)$，得到$r = \left| \overrightarrow{KC} \right| = \sqrt{ \left( \frac{3 \sin \theta + 2 \cos \theta}{2} \right)^2 + \left( \frac{2 \sin \theta - 3 \cos \theta}{2} \right)^2 } = \frac{ \sqrt{13} }{2}$，因此圓面積$= \pi \left( \frac{ \sqrt{13} }{2} \right)^2 = \frac{13}{4} \pi$。

=參考文獻=

[1] 歪歪數學，坐標化一直推算不出來的題目 | 麗山高中教甄 | 不停更挑戰 DAY60，YouTube連結

[2] 宇宙數學教室，[107指考數甲，圓] 圓內兩線段互相垂直，求$\overline{CD}$長度

=附註=

朋友連威翔先生告知我有人在歪歪老師的YouTube頻道留言提到我，所以我野人獻曝一下。

2022年9月16日文章〈一道式的運算題目〉的幾何另解

原題目如下

若三個非零實數$a, b, c$滿足$a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$，則

$$\frac{(1-a)^2}{bc}+\frac{(1-b)^2}{2ca}+\frac{(1-c)^2}{3ab}$$

的值為何？

原解答請見我2022年9月16日的文章〈一道式的運算題目〉 。類似的題目也可參考我2021年1月10日的文章〈一道三變數的受約束極值問題〉。

以下是本題的幾何解答。

為敘述方便，將原題目的$a, b, c$依序替換為$x, y, z$。如2022年9月16日文章所言，兩個約束條件$x + y + z = 2$與$x^2 + y^2 + z^2 = 2$分別是三維空間中的平面與球，記為$E$與$S$。聯立考慮則為一個空間中的圓，設其圓心為$K$、半徑為$R$。

我們可以取平面$E$的法向量為$\overrightarrow{n} = (1, 1, 1)$。而$d(O, E) = \frac{|0 + 0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3} \sqrt{3}$。由於$| \overrightarrow{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$，因此有$\overrightarrow{OK} = \frac{2}{3} \overrightarrow{n} = \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$，故$K$之座標為$\left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$。

由於球面$S$的半徑為$\sqrt{2}$，而$\overline{OK} = d(O, E) = \frac{2}{3} \sqrt{3}$，因此由商高定理有$R = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - \left( \frac{2}{3} \sqrt{3} \right)^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。

現在我們要取一個與法向量$\overrightarrow{n}$垂直的向量，從而這向量可經過適當的平移而完全落在平面$E$上。不難由內積的計算可取向量$\overrightarrow{a} = (1, 0, -1)$，其長度為$\sqrt{2}$。接著再取$\overrightarrow{b} = \overrightarrow{n} \times \overrightarrow{a} = (-1, 2, -1)$。從而$\overrightarrow{n}, \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$構成空間中的一組正交基。

接著我們重新調整向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的長度，使其長度恰好是$R = \frac{\sqrt{6}}{3}$。取向量$\overrightarrow{p} = \frac{\sqrt{3}}{3} \overrightarrow{a} = \left( \frac{\sqrt{3}}{3}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)$，然後$\overrightarrow{q} = \frac{1}{3} \overrightarrow{b} = \left( -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right)$。

此時圓$K$之圓周上任一點$P$的座標均可表示為

$$P = K + \cos \theta \overrightarrow{p} + \sin \theta \overrightarrow{q}, \quad \theta \in [0, 2\pi].$$

具體寫出其每個座標分量為

$$\left\{ \begin{align*} &x = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cos \theta - \frac{1}{3} \sin \theta \\ &y = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \sin \theta \\ &z = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cos \theta - \frac{1}{3} \sin \theta \end{align*} \right. ,$$

將之代入所要計算的式子$\frac{(1-a)^2}{bc}+\frac{(1-b)^2}{2ca}+\frac{(1-c)^2}{3ab}$進行化簡，即可求出結果為$\frac{11}{6}$。

參考資料

[1] 〈Re: [幾何] 三維空間的圓〉https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1295717959.A.C88.html

[2] 一道三變數的受約束極值問題https://cosmicmathschool.blogspot.com/2021/01/blog-post.html

一道空間幾何的三角形面積問題

==問題== 

在正四面體ABCD中，於$\overline{AB}, \overline{AC}, \overline{AD}$上分別取$P, Q, R$，已知$\overline{AD}$垂直於平面$PQR$，且$\overline{AP} = 6$，試求出$\Delta PQR$的面積。

==答案==

$9 \sqrt{2}$

==解答==

題目略圖如下：

分析三角錐APQR，其中$\angle BAC = 60^{\circ} = \angle PAR = \angle QAR$，再利用三角形邊長關係得下圖：

於是$\Delta PQR$是邊長為$3\sqrt{3}, 3\sqrt{3}, 6$的三角形，其中

$$\cos R = \frac{\sqrt{3}^2 + \sqrt{3}^2 - 2^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3},$$

且

$$\sin R = + \sqrt{1 - \cos^2 R} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

因此

$$\Delta PQR = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 9 \sqrt{2}.$$

（解答終了）

108學測的平面向量夾角問題

=問題= 

如圖，$A, B, C, D$為平面上的四個點。已知$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}$兩向量等長且互相垂直，則$\tan \angle BAD$為何？

=解答=

設$\overline{AC}$與$\overline{BD}$的交點為$O$，再設$\overline{AC}$與$\overline{BD}$的長度皆為$h$，而$\overline{OA} = a, \overline{OB} = b$。

將此圖形放置於平面坐標上，使$O$為原點，$\overline{AC}$與x軸重合。於是各點的座標分別為$A=(-a, 0), C=(h-a, 0), B=(0, -b), D=(0, h-b)$。所以得

$$\overrightarrow{BC} = \left[ \begin{array}{c} h-a \\ b \end{array} \right], \overrightarrow{AB} = \left[ \begin{array}{c} a \\ -b \end{array} \right], \overrightarrow{AD} = \left[ \begin{array}{c} a \\ h-b \end{array} \right].$$

由$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$得

$$ \left[ \begin{array}{c} h-a \\ b \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} a \\ -b \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} a \\ h-b \end{array} \right],$$

於是有$a = \frac{1}{3}h, b = \frac{1}{3}h$。所以

$$\overrightarrow{AB} = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{3}h \\ \frac{-1}{3}h \end{array} \right], \overrightarrow{AD} = \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{3}h \\ \frac{2}{3}h \end{array} \right].$$

故

$$\cos \angle (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = \frac{1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2}{\sqrt{1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 +2^2}} = \frac{-1}{\sqrt{10}}.$$

從而$\sin \angle BAD = +\sqrt{1 - \left( \frac{-1}{\sqrt{10}} \right)^2} = \frac{3}{\sqrt{10}}$，且

$$\tan \angle BAD = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{-1}{\sqrt{10}}} = -3.$$

=附註=

題目既然給了兩向量互相垂直，直接設座標應該是最快的想法，剩下的只要計算細心即可。也有別位老師給出其他作法，如

但這實在是太麻煩，沒必要搞那麼複雜。

=拋磚引玉=

＞文華高中陳瑋岳老師

臉書的朋友，台中文華高中陳瑋岳老師提供了另一個作法，如下所示：

陳瑋岳老師的真跡

＞高雄湯氏數學

一樣也是我的臉書朋友，高雄湯氏數學補習班的湯茗富老師亦提供了一個作法，如下圖所示：

湯茗富老師的真跡

我實在很幸運，有這些數學教育界的朋友，彼此互相激盪腦力，一起為台灣的數學教育打拼。

106指考數甲的平面向量夾角與長度問題

 =問題=

設$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{v}$為兩非零向量，夾角為$120^\circ$。若$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$垂直，試選出正確的選項。（多選）

(A) $\overrightarrow{u}$的長度是$\overrightarrow{v}$的長度的2倍。

(B) $\overrightarrow{v}$與$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$的夾角為$30^\circ$。

(C) $\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$的夾角為銳角。

(D) $\overrightarrow{v}$與$\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$的夾角為銳角。

(E) $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$的長度大於$\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$的長度。

=解答=

首先，向量相加，可用平行四邊形法畫出，而由題目條件夾角$120^\circ$，以及$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$垂直，可得下圖：

於是$|\overrightarrow{u}|, |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|, |\overrightarrow{v}|$構成一個$30^\circ-60^\circ-90^\circ$三角形的三邊長，且

$$|\overrightarrow{u}|: |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|: |\overrightarrow{v}| = 1: \sqrt{3}: 2.$$

(A) 錯誤。應更正為：「$\overrightarrow{u}$的長度是$\overrightarrow{v}$的長度的$\frac{1}{2}$倍」。

(B) 正確。

(C) 先計算$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{v}$的內積：

$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos 120^\circ = |\overrightarrow{u}| \cdot 2|\overrightarrow{u}| \cdot \frac{-1}{2} = -|\overrightarrow{u}|^2,$$

於是

$$\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = |\overrightarrow{u}|^2 - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}|^2 - (-|\overrightarrow{u}|^2) = 2|\overrightarrow{u}|^2 > 0.$$

內積大於零，意味著兩向量夾角為銳角。所以(C)正確。

(D) 因為

$$\overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} - |\overrightarrow{v}|^2 = -|\overrightarrow{u}|^2 - (2|\overrightarrow{u}|)^2 = -5|\overrightarrow{u}|^2 < 0.$$

內積小於零，意味著兩向量夾角為鈍角。所以(D)錯誤。

(E) 分別計算長度：

$$|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = \sqrt{(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + |\overrightarrow{v}|^2} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 - 2|\overrightarrow{u}|^2 + 4|\overrightarrow{u}|^2} = \sqrt{3}|\overrightarrow{u}|.$$

$$|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}| = \sqrt{(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 - 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + |\overrightarrow{v}|^2} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + 2|\overrightarrow{u}|^2 + 4|\overrightarrow{u}|^2} = \sqrt{7}|\overrightarrow{u}|.$$

所以$|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}| > |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|$。故(E)錯誤。

任意三角形任二邊之中垂線必相交於一點

摘要

本文使用Serge Lang所著Geometry一書中的公設與定理來推導出「三角形任二邊之中垂線必相交於一點」，從而為外心的存在性(Theorem 5-2, p.128)建立論證基礎。

1. 要使用的定義、公設與定理

• 直線公設LIN (p.1)：平面上兩相異點決定唯一直線。
• 直線$L$與直線$K$相交的部分以$L \cap K$表示。
• 兩直線平行的定義 (p.2)：兩直線互相平行$\Leftrightarrow$兩線重合或兩線不相交。
• 平行線基本公設，PAR1 (p.3)：若兩直線不平行，則兩直線必相交於一點。
• 線段與直線相垂直的定義 (p.36)：某線段與某直線垂直$\Leftrightarrow$該線段所在直線與另一直線相垂直。
• 垂線基本公設，PERP2 (p.37)：若兩直線互相平行，而第三條直線(截線)與前兩線其中一條相垂直，則截線與另一直線亦垂直。
• Theorem 1-2 (p.37)：若兩直線同時與第三條直線(截線)垂直，則原來兩直線互相平行。

2. 定理及其論證

定理：任意三角形任二邊之中垂線必相交於一點。

[證]：假定所討論之三角形為$\triangle ABC$，其中$\overline{AB}$的中垂線為$L_1$，$\overline{BC}$的中垂線為$L_2$，從而$L_{AB} \perp L_1$且$L_{BC} \perp L_2$。

$L_1$與$L_2$的關係只有3種可能，且一定有1種會成立：

(i) $L_1 = L_2$； 

(ii) $L_1 \neq L_2$，且$L_1 \parallel L_2$；

(iii) $L_1 \neq L_2$，且$L_1$與$L_2$不平行。 

以下說明情況(i)與情況(ii)都不可能發生。


如果情形(i)成立，則得$L_{AB} \perp L_1$且$L_{BC} \perp L_1$，也就是$L_{AB}$與$L_{BC}$同時垂直於$L_1$。

由Theorem 1-2得$L_{AB} \parallel L_{BC}$。($L_1$此時扮演定理中截線的角色)

但由於$B \in \overline{AB} \cap \overline{BC}$，也就是$L_{AB}$與$L_{BC}$至少有1交點$B$，因此由平行之定義可得$L_{AB} = L_{BC}$，故$A, B, C$三點共線。

然而此與$A, B, C$三點可構成三角形之前提相矛盾，所以情形(i)不可能成立。



如果情形(ii)成立。由$L_{AB} \perp L_1$根據垂線基本公設PERP2有$L_{AB} \perp L_2$。($L_{AB}$此時扮演公設中截線的角色)

而本來即有$L_{BC} \perp L_2$，故此時$L_{AB}$與$L_{BC}$皆與$L_2$垂直，所以由Theorem 1-2得$L_{AB} \parallel L_{BC}$。($L_2$此時扮演定理中截線的角色)

但由於$B \in \overline{AB} \cap \overline{BC}$，也就是$L_{AB}$與$L_{BC}$至少有1交點$B$，因此由平行之定義可得$L_{AB} = L_{BC}$，故$A, B, C$三點共線。

然而此與$A, B, C$三點可構成三角形之前提相矛盾，所以情形(ii)不可能成立。


由以上討論可知情形(i)與情形(ii)皆不可能發生，故兩中垂線之相對關係必為情形(iii)，即$L_1$與$L_2$必相交於一點。

(證明終了)

3. 參考資料

[1] Serge Lang, Geometry (2nd edn.), Springer-Verlag

Serge Lang, Geometry(2nd ed.), Exercise 1.6.23, Solution

Serge Lang, Geometry(2nd ed.), Exercise 1.6.22, Solution

Serge Lang, Geometry(2nd ed.), Exercise 1.6.19, Solution

Serge Lang, Geometry(2nd ed.), Exercise 1.6.18, Solution

Serge Lang, Geometry(2nd ed.), Exercise 1.6.14, Solution

Serge Lang, Geometry(2nd ed.), Exercise 1.6.12, Solution