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2021年1月16日 星期六

108指考數甲的平面向量問題

=問題= 

座標平面上以原點O為圓心的單位圓上三相異點A,B,C滿足2OA+3OB+4OC=0,其中A點的座標為(1,0)。試選出正確的選項。(多選)

(A) 向量2OA+3OB的長度為4。

(B) 向量內積OAOB<0

(C) BOC,AOC,AOB中,以BOC的度數為最小。

(D) ¯AB>32

(E) 3sinAOB=4sinAOC

=解答=

(A) |2OA+3OB|=|4OC|=|4||OC|=41=4,正確。

(B) 由(A)有|2OA+3OC|=4,於是根據長度與內積的關係得

(2OA+3OB)(2OA+3OB)=4,

整理得

4|OA|2+12OAOB+9|OB|2=16,

注意|OA|=1|OB|=1,所以OAOB=14>0,所以(B)錯誤。

(C) 仿(B)之作法,由|2OA+4OC|=3OAOC=1116;由|3OB+4OC|=2OBOC=78

由於OA,OB,OC都是單位向量,故內積的計算結果即為其夾角之餘弦值:

cosAOB=OAOB=14,

cosBOC=OBOC=78,

cosCOA=OCOA=1116.

因此可知AOB<COA<BOC。所以(C)錯誤。

(D) 因為

¯AB=|AB|=|OBOA|=(OBOA)(OBOA)=|OB|22OBOA+|OA|2=1214+1=32,

所以(D)錯誤。

(E) 由於

sinAOB=+1cos2AOB=1(14)2=154,

sinAOC=+1cos2AOC=1(1116)2=31516.

3sinAOB=3154=3154=431516=4sinAOC.

故(E)正確。

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