=問題=
座標平面上以原點O為圓心的單位圓上三相異點A,B,C滿足2→OA+3→OB+4→OC=→0,其中A點的座標為(1,0)。試選出正確的選項。(多選)
(A) 向量2→OA+3→OB的長度為4。
(B) 向量內積→OA⋅→OB<0。
(C) ∠BOC,∠AOC,∠AOB中,以∠BOC的度數為最小。
(D) ¯AB>32。
(E) 3sin∠AOB=4sin∠AOC。
=解答=
(A) |2→OA+3→OB|=|−4→OC|=|−4|⋅|→OC|=4⋅1=4,正確。
(B) 由(A)有|2→OA+3→OC|=4,於是根據長度與內積的關係得
√(2→OA+3→OB)⋅(2→OA+3→OB)=4,
整理得
4|→OA|2+12→OA⋅→OB+9|→OB|2=16,
注意|→OA|=1且|→OB|=1,所以→OA⋅→OB=14>0,所以(B)錯誤。
(C) 仿(B)之作法,由|2→OA+4→OC|=3得→OA⋅→OC=−1116;由|3→OB+4→OC|=2得→OB⋅→OC=−78。
由於→OA,→OB,→OC都是單位向量,故內積的計算結果即為其夾角之餘弦值:
cos∠AOB=→OA⋅→OB=14,
cos∠BOC=→OB⋅→OC=−78,
cos∠COA=→OC⋅→OA=−1116.
因此可知∠AOB<∠COA<∠BOC。所以(C)錯誤。
(D) 因為
¯AB=|→AB|=|→OB−→OA|=√(→OB−→OA)⋅(→OB−→OA)=√|→OB|2−2→OB⋅→OA+|→OA|2=√1−2⋅14+1=√32,
所以(D)錯誤。
(E) 由於
sin∠AOB=+√1−cos2∠AOB=√1−(14)2=√154,
與
sin∠AOC=+√1−cos2∠AOC=√1−(−1116)2=3√1516.
得
3sin∠AOB=3⋅√154=3√154=4⋅3√1516=4sin∠AOC.
故(E)正確。
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