108指考數甲的平面向量問題

=問題= 

座標平面上以原點O為圓心的單位圓上三相異點$A, B, C$滿足$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} + 4\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$，其中A點的座標為$(1, 0)$。試選出正確的選項。（多選）

(A) 向量$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}$的長度為4。

(B) 向量內積$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} < 0$。

(C) $\angle BOC, \angle AOC, \angle AOB$中，以$\angle BOC$的度數為最小。

(D) $\overline{AB} > \frac{3}{2}$。

(E) $3 \sin \angle AOB = 4 \sin \angle AOC$。

=解答=

(A) $|2 \overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}| = |-4\overrightarrow{OC}| = |-4| \cdot |\overrightarrow{OC}| = 4 \cdot 1 = 4$，正確。

(B) 由(A)有$|2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OC}| = 4$，於是根據長度與內積的關係得

$$\sqrt{(2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB})\cdot (2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB})} = 4,$$

整理得

$$4|\overrightarrow{OA}|^2 + 12 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + 9|\overrightarrow{OB}|^2 = 16,$$

注意$|\overrightarrow{OA}| = 1$且$|\overrightarrow{OB}| = 1$，所以$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{1}{4} > 0$，所以(B)錯誤。

(C) 仿(B)之作法，由$|2\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OC}| = 3$得$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = \frac{-11}{16}$；由$|3\overrightarrow{OB} + 4\overrightarrow{OC}| = 2$得$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \frac{-7}{8}$。

由於$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$都是單位向量，故內積的計算結果即為其夾角之餘弦值：

$$\cos \angle AOB = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{1}{4},$$

$$\cos \angle BOC = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \frac{-7}{8},$$

$$\cos \angle COA = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} = \frac{-11}{16}.$$

因此可知$\angle AOB < \angle COA < \angle BOC$。所以(C)錯誤。

(D) 因為

$$\begin{eqnarray*} \overline{AB} &=& |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}| = \sqrt{(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})} = \sqrt{|\overrightarrow{OB}|^2 - 2 \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OA} + |\overrightarrow{OA}|^2} \\ &=& \sqrt{1 - 2\cdot \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}}, \end{eqnarray*}$$

所以(D)錯誤。

(E) 由於

$$\sin \angle AOB = +\sqrt{1 - \cos^2 \angle AOB} = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{4} \right)^2} = \frac{\sqrt{15}}{4},$$

與

$$\sin \angle AOC = +\sqrt{1 - \cos^2 \angle AOC} = \sqrt{1 - \left( \frac{-11}{16} \right)^2} = \frac{3\sqrt{15}}{16}.$$

得

$$3 \sin \angle AOB = 3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4} = 4 \cdot \frac{3\sqrt{15}}{16} = 4 \sin \angle AOC.$$

故(E)正確。

圓方程式與平面向量的一個問題

 =問題=

學校教官來到圓形公園進行大地尋寶課程，教官發給同學一份圓形公園的平面地圖，地圖上給了三個提示：

第一，將此圓形公園的方程式設為$C: (x+2)^2+(y-4)^2=25$且寶物就藏在地圖中的$P$點；

第二，請移動至地圖上的大樹$A$點處拿取第二個提示；

第三，請移動至地圖上的雕像$B$點拿取第三個提示。

欣茹至$A, B$兩處拿到的分別為$\overrightarrow{AP} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -10 \end{array} \right], \overrightarrow{BP} = \left[ \begin{array}{c} 10 \\ -4 \end{array} \right]$。已知$A, B$兩點均在圓周上，請問寶藏地點$P$的座標為何？

=解答=

圓$C$的圓心為$C=(-2, 4)$，半徑為5。

計算$\overrightarrow{AB}$如下：

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{BP} =  \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -10 \end{array} \right] -  \left[ \begin{array}{c} 10 \\ -4 \end{array} \right] =  \left[ \begin{array}{c} -8 \\ -6 \end{array} \right],$$

於是可知$|\overrightarrow{AB}| = 10$，故可斷定$A, B$為直徑兩端點。再由圓參數式可假設

$$A = (-2 + 5 \cos \theta, 4 + 5 \sin \theta), B = (-2 - 5 \cos \theta, 4 - 5 \sin \theta).$$

再假設$P$點座標為$(p_1, p_2)$，於是代回題目所給$\overrightarrow{AP}$與$\overrightarrow{BP}$可得

$$\overrightarrow{AP} = \left[ \begin{array}{c} p_1 - (-2 + 5 \cos \theta) \\ p_2 - (4 + 5 \sin \theta) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -10 \end{array} \right],$$

及

$$\overrightarrow{BP} = \left[ \begin{array}{c} p_1 - (-2 - 5 \cos \theta) \\ p_2 - (4 - 5 \sin \theta) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 10 \\ -4 \end{array} \right].$$

重新整理，可得兩組二元一次方程式：

$$\left\{ \begin{array}{l} p_1 + 2 - 5 \cos \theta = 2 \\ p_1 + 2 + 5 \cos \theta = 10 \end{array} \right. \quad 與 \quad \left\{ \begin{array}{l} p_2 - 4 - 5 \sin \theta = -10 \\ p_2 - 4 + 5 \sin \theta = -4 \end{array} \right. .$$

便可解出$p_1 = 4, p_2 = -3$，即$P$之座標為$(4, -3)$。

=附註=

育嫆說：

所以看來我給的解法不是那麼友善...但我也沒想出其他作法，傷腦筋喔！

106指考數甲的平面向量夾角與長度問題

 =問題=

設$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{v}$為兩非零向量，夾角為$120^\circ$。若$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$垂直，試選出正確的選項。（多選）

(A) $\overrightarrow{u}$的長度是$\overrightarrow{v}$的長度的2倍。

(B) $\overrightarrow{v}$與$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$的夾角為$30^\circ$。

(C) $\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$的夾角為銳角。

(D) $\overrightarrow{v}$與$\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$的夾角為銳角。

(E) $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$的長度大於$\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$的長度。

=解答=

首先，向量相加，可用平行四邊形法畫出，而由題目條件夾角$120^\circ$，以及$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$垂直，可得下圖：

於是$|\overrightarrow{u}|, |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|, |\overrightarrow{v}|$構成一個$30^\circ-60^\circ-90^\circ$三角形的三邊長，且

$$|\overrightarrow{u}|: |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|: |\overrightarrow{v}| = 1: \sqrt{3}: 2.$$

(A) 錯誤。應更正為：「$\overrightarrow{u}$的長度是$\overrightarrow{v}$的長度的$\frac{1}{2}$倍」。

(B) 正確。

(C) 先計算$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{v}$的內積：

$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos 120^\circ = |\overrightarrow{u}| \cdot 2|\overrightarrow{u}| \cdot \frac{-1}{2} = -|\overrightarrow{u}|^2,$$

於是

$$\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = |\overrightarrow{u}|^2 - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}|^2 - (-|\overrightarrow{u}|^2) = 2|\overrightarrow{u}|^2 > 0.$$

內積大於零，意味著兩向量夾角為銳角。所以(C)正確。

(D) 因為

$$\overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} - |\overrightarrow{v}|^2 = -|\overrightarrow{u}|^2 - (2|\overrightarrow{u}|)^2 = -5|\overrightarrow{u}|^2 < 0.$$

內積小於零，意味著兩向量夾角為鈍角。所以(D)錯誤。

(E) 分別計算長度：

$$|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = \sqrt{(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + |\overrightarrow{v}|^2} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 - 2|\overrightarrow{u}|^2 + 4|\overrightarrow{u}|^2} = \sqrt{3}|\overrightarrow{u}|.$$

$$|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}| = \sqrt{(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 - 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + |\overrightarrow{v}|^2} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + 2|\overrightarrow{u}|^2 + 4|\overrightarrow{u}|^2} = \sqrt{7}|\overrightarrow{u}|.$$

所以$|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}| > |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|$。故(E)錯誤。