106指考數甲的平面向量夾角與長度問題

 =問題=

設$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{v}$為兩非零向量，夾角為$120^\circ$。若$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$垂直，試選出正確的選項。（多選）

(A) $\overrightarrow{u}$的長度是$\overrightarrow{v}$的長度的2倍。

(B) $\overrightarrow{v}$與$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$的夾角為$30^\circ$。

(C) $\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$的夾角為銳角。

(D) $\overrightarrow{v}$與$\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$的夾角為銳角。

(E) $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$的長度大於$\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$的長度。

=解答=

首先，向量相加，可用平行四邊形法畫出，而由題目條件夾角$120^\circ$，以及$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$垂直，可得下圖：

於是$|\overrightarrow{u}|, |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|, |\overrightarrow{v}|$構成一個$30^\circ-60^\circ-90^\circ$三角形的三邊長，且

$$|\overrightarrow{u}|: |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|: |\overrightarrow{v}| = 1: \sqrt{3}: 2.$$

(A) 錯誤。應更正為：「$\overrightarrow{u}$的長度是$\overrightarrow{v}$的長度的$\frac{1}{2}$倍」。

(B) 正確。

(C) 先計算$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{v}$的內積：

$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos 120^\circ = |\overrightarrow{u}| \cdot 2|\overrightarrow{u}| \cdot \frac{-1}{2} = -|\overrightarrow{u}|^2,$$

於是

$$\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = |\overrightarrow{u}|^2 - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}|^2 - (-|\overrightarrow{u}|^2) = 2|\overrightarrow{u}|^2 > 0.$$

內積大於零，意味著兩向量夾角為銳角。所以(C)正確。

(D) 因為

$$\overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} - |\overrightarrow{v}|^2 = -|\overrightarrow{u}|^2 - (2|\overrightarrow{u}|)^2 = -5|\overrightarrow{u}|^2 < 0.$$

內積小於零，意味著兩向量夾角為鈍角。所以(D)錯誤。

(E) 分別計算長度：

$$|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = \sqrt{(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + |\overrightarrow{v}|^2} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 - 2|\overrightarrow{u}|^2 + 4|\overrightarrow{u}|^2} = \sqrt{3}|\overrightarrow{u}|.$$

$$|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}| = \sqrt{(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 - 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + |\overrightarrow{v}|^2} = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + 2|\overrightarrow{u}|^2 + 4|\overrightarrow{u}|^2} = \sqrt{7}|\overrightarrow{u}|.$$

所以$|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}| > |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|$。故(E)錯誤。

106，指考，數學甲，單選4

==問題==

已知一實係數三次多項式$f(x)$在$x=1$有極大值$3$，且圖形$y = f(x)$在$\left( 4, f(4) \right)$之切線方程式為$y-f(4)+5(x-4)=0$，試問$\displaystyle \int_{1}^{4} f''(x) {\rm d} x$之值為下列哪一個選項？
(1) $-5$
(2) $-3$
(3) $0$
(4) $3$
(5) $5$

[106，指考，數學甲，單選4]

==解答==

「$f(x)$在$x=1$有極大值$3$」$\Rightarrow$ (i) $f(1) = 3$；(ii) $f'(1)=0$。

「圖形$y = f(x)$在$\left( 4, f(4) \right)$之切線方程式為$y-f(4)+5(x-4)=0$」，與點斜式$y - y_0 = f'(x_0) (x - x_0)$相比較，可知$f'(4) = -5$。

所求$\displaystyle \int_{1}^{4} f''(x) {\rm d} x = \left[ f'(x) \right]_{1}^{4} = f'(4) - f'(1) = -5 - 0 = -5$，選(1)。

(解答結束)

106，指考，數學甲，單選3

==問題==

試問在$0 \leq x \leq 2\pi$的範圍中，$y = 3 \sin x$的函數圖形與$y = 2 \sin 2x$的函數圖形有幾個交點？
(1) 2個交點
(2) 3個交點
(3) 4個交點
(4) 5個交點
(5) 6個交點

[106，指考，數學甲，單選3]

==解答==

本題相當於計算方程式$3 \sin x = 2 \sin 2x$在$0 \leq x \leq 2\pi$的範圍中有多少個根。
\begin{eqnarray*}
3 \sin x &=& 2 \sin 2x \\
3 \sin x &=& 2 \cdot 2 \sin x \cos x \quad [2\text{倍角公式}] \\
3 \sin x &=& 4 \sin x \cos x \\
3 \sin x - 4 \sin x \cos x&=& 0 \\
\sin x (3 - 4 \cos x) &=& 0 \\
\Rightarrow \sin x = 0 \text{或} \cos x = \frac{3}{4}.
\end{eqnarray*}
若$\sin x = 0$，則$x = 0, \pi, 2\pi$。

若$\cos x = \frac{3}{4}$，則$x = \arccos \frac{3}{4}, 2\pi - \arccos \frac{3}{4}$。(註：此地設定反餘弦函數$\arccos : [-1, 1] \rightarrow [0, \pi]$)

方程式在$[0, 2 \pi]$共$5$解所以有$5$個交點，選(4)。

(解答結束)

106，指考，數學甲，單選2

==問題==

設$a = \sqrt[3]{10}$。關於$a^5$的範圍， 試選出正確的選項。
(1) 25 $\leq a^5 <$ 30
(2) 30 $\leq a^5 <$ 35
(3) 35 $\leq a^5 <$ 40
(4) 40 $\leq a^5 <$ 45
(5) 45 $\leq a^5 <$ 50

[106，指考，數學甲，單選2]

==解答==

$a = \sqrt[3]{10} \Rightarrow a^3 = 10$。

$8 < a^3 < 27 \Rightarrow 2 < a < 3$。

$a = 2 + d, d \in (0, 1)$。
\begin{eqnarray*}
a^3 = 10
&\Rightarrow& (2 + d)^3 = 10 \\
&\Rightarrow& 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot d + 3 \cdot 2 \cdot d^2 + d^3 = 10 \\
&\Rightarrow& 8 + 12d + 6d^2 + d^3 = 10 \\
&\Rightarrow& 8+12d \approx 10 \\
&\Rightarrow& d \approx \frac{1}{6} \approx 0.16 \quad [\text{略為高估}] \\
&\Rightarrow& a \approx 2.16
\end{eqnarray*}
$a^5 = a^3 \cdot  a^2 = 10 \cdot a^2 \approx 10 \cdot (2.16)^2 = 10 \cdot 4.6656 = 46.656$。

選(5)。

(解答結束)

106，指考，數學甲，單選1

==問題==

從所有二位正整數中隨機選取一個數，設$p$是其十位數字小於個位數字的機率。關於$p$值的範圍，試選出正確的選項。
(1) 0.22 $\leq p \leq$ 0.33
(2) 0.33 $\leq p \leq$ 0.44
(3) 0.44 $\leq p \leq$ 0.55
(4) 0.55 $\leq p \leq$ 0.66
(5) 0.66 $\leq p \leq$ 0.77

[106，指考，數學甲，單選1]

==解答==

命樣本空間$\Omega = \left\{ \text{所有二位正整數} \right\}$，則$\Omega = \left\{ 10, 11, \cdots, 99 \right\}$，且$n(\Omega) = 90$。

再設事件$A = \left\{ \text{十位數字小於個位數字的二位正整數} \right\}$，則
\begin{eqnarray*}
A
&=& \left\{ 12, 13, \cdots, 89 \right\} \\
&=& \left\{ 12, \cdots, 19 \right\} \sqcup \left\{ 23, \cdots, 29 \right\} \sqcup \cdots \sqcup \left\{ 89 \right\}.
\end{eqnarray*}
(此地符號「$\sqcup$」意為兩互斥集合之聯集)所以
$$
n(A) = 8 + 7 + \cdots + 1 = \frac{(8+1) \cdot 8}{2} = 36.
$$

題目所求$p = P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{36}{90} = \frac{2}{5} = 0.4$，故選(2)。

(解答結束)