矩陣乘法的結合律

1. 設定與目標

考慮數域$K$。假設我們有三個矩陣 $A, B, C$，其維度分別為：

• $A \in M_{m \times n}(K)$
• $B \in M_{n \times p}(K)$
• $C \in M_{p \times q}(K)$

我們的目標是證明 $(AB)C = A(BC)$。為此，我們只需證明兩邊矩陣對應的第 $(i, j)$ 個元（entry）完全相等。

2. 左式展開：$(AB)C$

首先處理左邊的運算。令 $D = AB$，根據矩陣乘法定義，其第 $(i, t)$ 個元為：

$$d_{it} = \sum_{s=1}^{n} a_{is}b_{st} \quad (1 \le i \le m, 1 \le t \le p)$$

接著令 $E = (AB)C = DC$，則 $E$ 的第 $(i, j)$ 個元 $e_{ij}$ 為：

$$e_{ij} = \sum_{t=1}^{p} d_{it}c_{tj}$$

將 $d_{it}$ 的式子代入，利用分配律將 $c_{tj}$ 移入和號內：

$$e_{ij} = \sum_{t=1}^{p} \left( \sum_{s=1}^{n} a_{is}b_{st} \right) c_{tj} = \sum_{t=1}^{p} \sum_{s=1}^{n} a_{is}b_{st}c_{tj}$$

3. 右式展開：$A(BC)$

現在處理右邊。令 $F = BC$，其第 $(s, j)$ 個元為：

$$f_{sj} = \sum_{t=1}^{p} b_{st}c_{tj} \quad (1 \le s \le n, 1 \le j \le q)$$

接著令 $G = A(BC) = AF$，其第 $(i, j)$ 個元 $g_{ij}$ 為：

$$g_{ij} = \sum_{s=1}^{n} a_{is}f_{sj} = \sum_{s=1}^{n} a_{is} \left( \sum_{t=1}^{p} b_{st}c_{tj} \right)$$

同樣利用分配律展開：

$$g_{ij} = \sum_{s=1}^{n} \sum_{t=1}^{p} a_{is}b_{st}c_{tj}$$

4. 結論

觀察 $e_{ij}$ 與 $g_{ij}$ 的最終表達式：

• $e_{ij} = \sum_{t=1}^{p} \sum_{s=1}^{n} a_{is}b_{st}c_{tj}$
• $g_{ij} = \sum_{s=1}^{n} \sum_{t=1}^{p} a_{is}b_{st}c_{tj}$

由於有限項數的加法滿足交換律與結合律，雙重和號的求和順序可以互換。因此，$e_{ij} = g_{ij}$，這代表 $G = E$，即：

$$A(BC) = (AB)C$$

（證明終了）

110年學測試辦考試，數學非選擇題，平面線性變換的問題

==問題== 

以$T$表由$\begin{bmatrix} a&-b \\ b&a \end{bmatrix}$定義的平面線性變換，其中$a$、$b$為實數。試回答下列問題。

18. 若$T$將點$(0, 1)$映射到直線$y = 5x+13$上一點，試問下列哪一選項是正確的？（單選題，3分）

       (1) $a-5b=13$

       (2) $a+5b=13$

       (3) $5a-b=13$

       (4) $5a+b=13$

       (5) $-5a+b=13$

19. 若$T$將直線$y = x+1$上的點都映射到直線$y = 5x+13$上，試求$a$、$b$。（非選擇題，6分）

20. （承19題）設$P, Q$為平面上兩相異點，令$P'=T(P)$、$Q'=T(Q)$，試說明$\frac{\overline{P'Q'}}{\overline{PQ}}$為定值，並求此值。（非選擇題，6分）

==解答==

18. $\begin{bmatrix} a&-b \\ b&a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -b \\ a \end{bmatrix}$，所以將$x = -b, y=a$代入直線方程式$y = 5x+13$，得$a=5(-b)+13$，整理有$a+5b=13$，選(2)。

19. 再取直線$y = x+1$上另一點$(-1, 0)$，於是可經$T$變換為點$(-a, -b)$。根據題意，點$(-a, -b)$也會在直線$y = 5x+13$上，所以代入得$5a-b=13$。因此與18題的$a+5b=13$一起，可解得$a = 3, b = 2$。

20. 根據19題的結果，題目的矩陣為$\begin{bmatrix} 3&-2 \\ 2&3 \end{bmatrix}$，可將之改寫為$\sqrt{13} \begin{bmatrix} \frac{3}{\sqrt{13}}&\frac{-2}{\sqrt{13}} \\ \frac{2}{\sqrt{13}}&\frac{3}{\sqrt{13}} \end{bmatrix}$，這意味著變換$T$的幾何意義為：以原點$O$為中心，先旋轉角度$\theta$，然後再伸縮$\sqrt{13}$倍，其中角度$\theta$滿足$\left\{ \begin{array}{l} \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{13}} \\ \sin \theta = \frac{2}{\sqrt{13}} \end{array} \right.$，如下圖所示：

因此如果設$\overline{PQ}$的長度為$l$，起先旋轉不會改變其長度，但接下來會伸縮$\sqrt{13}$倍，從而$\overline{P'Q'}$的長度為$\sqrt{13}\cdot l$，得$\frac{\overline{P'Q'}}{\overline{PQ}} = \sqrt{13}$。

（解答終了）

2階Hermite矩陣的形式

==共軛矩陣的定義==

設${\rm A} = \left[ \begin{array}{cccc} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1n} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ z_{m1} & z_{m2} & \cdots & z_{mn} \end{array} \right] \in \mathbb{C}^{m \times n}$。定義${\rm A}$的共軛矩陣為${\rm A}^*$，
$${\rm A}^* = \left[ \begin{array}{cccc} \bar{z_{11}} & \bar{z_{12}} & \cdots & \bar{z_{1n}} \\ \bar{z_{21}} & \bar{z_{22}} & \cdots & \bar{z_{2n}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \bar{z_{m1}} & \bar{z_{m2}} & \cdots & \bar{z_{mn}} \end{array} \right].$$

例子：${\rm A} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1-2i \\ 1+2i & -5 \end{array} \right]$，則${\rm A}^* = \left[ \begin{array}{cc} \bar{1} & \overline{1-2i} \\ \overline{1+2i} & \overline{-5} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1+2i \\ 1-2i & -5 \end{array} \right]$。

==Hermite共軛矩陣的定義==

設${\rm A}$為n階方陣，${\rm A} = \left[ \begin{array}{cccc} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1n} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ z_{n1} & z_{n2} & \cdots & z_{nn} \end{array} \right] \in \mathbb{C}^{n \times n}$。定義${\rm A}$的Hermite共軛為${\rm A}^{\dagger}$，

$${\rm A}^{\dagger} = \left( {\rm A}^* \right)^{\rm T} = \left( \left[ \begin{array}{cccc} \bar{z_{11}} & \bar{z_{12}} & \cdots & \bar{z_{1n}} \\ \bar{z_{21}} & \bar{z_{22}} & \cdots & \bar{z_{2n}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \bar{z_{n1}} & \bar{z_{n2}} & \cdots & \bar{z_{nn}} \end{array} \right] \right)^{\rm T} = \left[ \begin{array}{cccc} \bar{z_{11}} & \bar{z_{21}} & \cdots & \bar{z_{n1}} \\ \bar{z_{12}} & \bar{z_{22}} & \cdots & \bar{z_{n2}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \bar{z_{1n}} & \bar{z_{2n}} & \cdots & \bar{z_{nn}} \end{array} \right].$$

例子：${\rm A} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1-2i \\ 1+2i & -5 \end{array} \right]$，則${\rm A}^{\dagger} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1+2i \\ 1-2i & -5 \end{array} \right]^{\rm T} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1-2i \\ 1+2i & -5 \end{array} \right]$。

==Hermite矩陣(Hermitian matrix)的定義==

設${\rm A}$為n階複方陣。若${\rm A}$滿足

$${\rm A}^{\dagger} = {\rm A},$$

則稱${\rm A}$為Hermite矩陣(Hermitian matrix)。

例子：${\rm A} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1-2i \\ 1+2i & -5 \end{array} \right]$是Hermite矩陣。

==2階Hermite矩陣的形式==

設${\rm A} = \left[ \begin{array}{cc} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{array} \right]$，其中$z_{11}, z_{12}, z_{21}, z_{22} \in \mathbb{C}$。

若${\rm A}$為Hermite矩陣，則意味著${\rm A}$滿足
$${\rm A}^{\dagger} = {\rm A}.$$
其中${\rm A}^{\dagger} = \left( \left[ \begin{array}{cc} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{array} \right]^* \right)^{\rm T} = \left( \left[ \begin{array}{cc} \bar{z_{11}} & \bar{z_{12}} \\ \bar{z_{21}} & \bar{z_{22}} \end{array} \right] \right)^{\rm T} = \left[ \begin{array}{cc} \bar{z_{11}} & \bar{z_{21}} \\ \bar{z_{12}} & \bar{z_{22}} \end{array} \right]$，於是有
$$\left[ \begin{array}{cc} \bar{z_{11}} & \bar{z_{21}} \\ \bar{z_{12}} & \bar{z_{22}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{array} \right].$$
從而得到
$$\bar{z_{11}} = z_{11}, \bar{z_{21}} = z_{12}, \bar{z_{12}} = z_{21}, \bar{z_{22}} = z_{22}.$$
所以$z_{11}, z_{22}$皆為實數，而$z_{12}$與$z_{21}$互為共軛複數(因此實部相同)。

總結上述，我們可以得到：${\rm A} = \left[ \begin{array}{cc} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{array} \right]$為Hermite矩陣，若且唯若${\rm A}$形如
$${\rm A} = \left[ \begin{array}{cc} a & p+qi \\ p-qi & b \end{array} \right], a, b, p, q \in \mathbb{R}.$$
(主對角線元素為實數，副對角線元素為共軛複數對)

(證明終了)

和達三樹《物理用數學》習題2.3.3，Pauli矩陣

==問題==

令$\sigma_1 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right], \sigma_2 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right], \sigma_3 = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right]$，求證：
(i) $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$為Hermite矩陣。
(ii) $\sigma_1 \sigma_1 = I, \sigma_2 \sigma_2 = I, \sigma_3 \sigma_3 = I$。
(iii) $\sigma_1 \sigma_2 = i \sigma_3, \sigma_2 \sigma_3 = i \sigma_1, \sigma_3 \sigma_1 = i \sigma_2$。
$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$稱為Pauli矩陣。

==解答==

(i) 首先確認2階Hermite矩陣的形式。

設${\rm A} = \left[ \begin{array}{cc} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{array} \right]$，其中$z_{11}, z_{12}, z_{21}, z_{22} \in \mathbb{C}$。

若${\rm A}$為Hermite矩陣，則意味著${\rm A}$滿足
$${\rm A}^{\dagger} = {\rm A}.$$
其中${\rm A}^{\dagger} = \left( \left[ \begin{array}{cc} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{array} \right]^* \right)^{\rm T} = \left( \left[ \begin{array}{cc} \bar{z_{11}} & \bar{z_{12}} \\ \bar{z_{21}} & \bar{z_{22}} \end{array} \right] \right)^{\rm T} = \left[ \begin{array}{cc} \bar{z_{11}} & \bar{z_{21}} \\ \bar{z_{12}} & \bar{z_{22}} \end{array} \right]$，於是有
$$\left[ \begin{array}{cc} \bar{z_{11}} & \bar{z_{21}} \\ \bar{z_{12}} & \bar{z_{22}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{array} \right].$$
從而得到
$$\bar{z_{11}} = z_{11}, \bar{z_{21}} = z_{12}, \bar{z_{12}} = z_{21}, \bar{z_{22}} = z_{22}.$$
所以$z_{11}, z_{22}$皆為實數，而$z_{12}$與$z_{21}$互為共軛複數(因此實部相同)。

總結上述，我們可以得到：${\rm A} = \left[ \begin{array}{cc} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{array} \right]$為Hermite矩陣，若且唯若${\rm A}$形如
$${\rm A} = \left[ \begin{array}{cc} a & p+qi \\ p-qi & b \end{array} \right], a, b, p, q \in \mathbb{R}.$$
(主對角線元素為實數，副對角線元素為共軛複數對)

現在回頭來判定Pauli矩陣是否為Hermite矩陣。

顯然$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$都是Hermite矩陣。

(ii) 直接計算。

$\sigma_1 \sigma_1 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] = I.$

注意對矩陣$\left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right]$左乘$\sigma_1 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right]$的效果相當於「交換1st row與2nd row」，因此可以利用此性質立刻寫出$\sigma_1 \sigma_1$的乘積。

$\sigma_2 \sigma_2 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right] = i \left[ \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right] = i \left[ \begin{array}{cc} -i & 0 \\ 0 & -i \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} -i^2 & 0 \\ 0 & -i^2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] = I.$

這裡一樣使用了基本矩陣(Elementary matrix)的性質。對矩陣$\left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right]$左乘$\left[ \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right]$的效果相當於「先將2nd row的元素添上負號後，再與1st row交換」。

$\sigma_3 \sigma_3 = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -0 & -(-1) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] = I.$

這裡一樣使用了基本矩陣(Elementary matrix)的性質。對矩陣$\left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right]$左乘$\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right]$的效果相當於「將2nd row的元素添上負號」。

(iii) 與(ii)相同，直接計算，但一樣使用基本矩陣的性質來化簡計算量。

$\sigma_1 \sigma_2 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} i & 0 \\ 0 & -i \end{array} \right] = i \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] = i \sigma_3$。

$\sigma_2 \sigma_3 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] = i \left[ \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] = i \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] = i \sigma_1$。

$\sigma_3 \sigma_1 = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 0 & -i^2 \\ i^2 & 0 \end{array} \right] = i \left[ \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right] = i \sigma_2$。

(解答結束)

==附註==

維基百科關於Pauli矩陣的介紹：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%A1%E5%88%A9%E7%9F%A9%E9%99%A3

[翻譯]Arthur Cayley，矩陣理論紀要(A Memoir on the Theory of Matrices)，part: 7

1. For conciseness, the matrix written down at full length will in general be of the order 3, but it is to be understood that the definitions, reasonings, and conclusions apply to matrices of any degree whatever. And when two or more matrices are spoken of in connexion with each other, it is always implied (unless the contrary is expressed) that the matrices are of the same order.

1. 為簡明起見，所有完整寫出的矩陣均以3階為限。但請注意，所有定義、論證以及結論，完全適用於任意階數的矩陣。另外，在論及相關聯的兩個或更多矩陣之際，我們總是假定這些矩陣的大小是相同的(除非特別聲明例外)。

[翻譯]Arthur Cayley，矩陣理論紀要(A Memoir on the Theory of Matrices)，part: 6

One of the application of the theorem is the finding of the general expression of the matrices which are convertible with a given matrix. The theory of rectangular matrices appears much less important than that of square matrices, and I have not entered into it  further than by showing some of the notions applicable to these may be extended to rectangle matrices.

本定理的一項應用是對於任予的一個矩陣導出一條表示式，式中各項均由可逆矩陣所構成。長方形矩陣之理論相較於方陣來說重要性較低，而我也亦未深入探討，例如確認哪些原來適用於方陣的理論可推展至長方形矩陣。

[翻譯]Arthur Cayley，矩陣理論紀要(A Memoir on the Theory of Matrices)，part: 5

The theorem shows that every rational and integral function (or indeed every rational function) of a matrix may be considered as a rational and  integral function, the degree of which is at most equal to that of the matrix, less unity; it even shows that in a sense, the same is true with respect to any algebraical function whatever of a matrix.

此定理告訴我們，對於任一矩陣(方陣)所滿足的有理函數或是整函數(實際上是所有的有理函數)，我們可將之考慮為次數至多為原矩陣階數減一的有理函數或是整函數。在某種程度來說，此定理可應用於任意一個與原來所考慮之矩陣相關聯的代數函數。

=====譯者註記開始=====

本句相當長，其中句尾"less unity"初譯時未能明白意義，於是貼文至ptt英文學習版（《Eng-Class》）請教。網友wohtp提供了相當多幫助，非常感謝。

於此附上在ptt之詢問文全文。

-----ptt請教文開始-----

 作者  pentiumevo (數學系最不靈光的人)                        看板  Eng-Class
 標題  [求譯] 數學論文中的一句話(已解決)
 時間  Sat Nov 12 01:11:19 2016
───────────────────────────────────────

請教各位板友一句話：

The theorem shows that every rational and integral function (or indeed every

rational function) of a matrix may be considered as a rational and  integral

function, the degree of which is at most equal to that of the matrix, less

unity.

其中的專有名詞：

theorem = 定理

rational and integral function = 有理函數與整函數

matrix = 矩陣

degree = 次數

unity （這個不確定，不知道該翻成「單位矩陣」還是數值1）

我試著解讀，是否可以翻譯成

「此定理指出，任一矩陣的有理函數或是整函數（實際上適用於任何有理函數）

都可看做是一個次數至多為原矩陣大小的有理函數或整函數...」

其中最後逗點之後的less unity不知道是什麼意思。

可以解讀為「減一」嗎？

那這樣翻譯的話，是不是就該重新改寫為

「...次數至多為原矩陣尺寸減1的有理函數或整函數...」

還是說我以上的理解完全錯誤呢？

懇請板友指點，謝謝。


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.176.134.70
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Eng-Class/M.1478884285.A.022.html
推 softseaweed: unity是數字1的fancy word，我的話會猜deg(f)>=1.     11/12 05:41
→ softseaweed: google出書卻沒看到theorem本身 蠻難判斷的           11/12 05:41
→ softseaweed: less unity 我會讀成to a lesser extent, unity       11/12 05:42
→ softseaweed: 不然其他解釋都怪怪的 有錯請見諒                    11/12 05:43
→ noonee: 看起來意思跟一樓說的一樣 最起碼是degree = 1             11/12 07:22
→ noonee: 不過我也沒把握                                          11/12 07:23
推 bloedchen: integral是積分，integer才是整數                      11/12 09:06
b大，integral未必只能翻譯成積分，例如抽象代數裡的integral domain，不會有人翻成
「積分域」，而會翻成「整區」或是「整環」。我想此處應該是採「整」意，而非「積分
」，請參考。
※ 編輯: pentiumevo (49.216.247.93), 11/12/2016 09:29:55
推 bloedchen: 喔喔喔！                                             11/12 09:44
推 wohtp: "...less unity" 解作「…減一」無誤                       11/12 21:39
推 wohtp: 例句好難想，試試看保險之類的，賠償金會減去你的部分負擔   11/12 21:44
→ wohtp: ……還真有。請google "less your  copay",包括引號。       11/12 21:45
→ wohtp: 然後就會有好幾頁的這個用法例子                           11/12 21:47
→ wohtp: 另，單位矩陣通常著重的是乘法單位元素的意思               11/12 21:48
→ wohtp: 所以應該會叫identity                                     11/12 21:49
→ wohtp: unity 感覺比較是「整數加法最小單位」這樣                 11/12 21:51
→ wohtp: 當你講實數的一才會說反正都一樣隨便混用                   11/12 21:52
→ gentianpan: 我原也猜減一，但我對逗號有意見，因此不肯定，請數    11/14 20:56
→ gentianpan: 學系的站出來回一下~                                 11/14 20:56
推 wohtp: 這個定理應該是有理函數都可以做無窮級數展開，但是         11/14 23:51
→ wohtp: nilpotent matrix of degree n滿足A^n=0所以級數只有n項     11/14 23:53
→ wohtp: 所以就是n-1沒錯                                          11/14 23:54
→ wohtp: 加個逗號只是句子太長喘口氣                               11/14 23:56

感謝wohtp大指教，非常清楚！
※ 編輯: pentiumevo (114.26.112.244), 11/17/2016 13:57:28

-----ptt請教文結束-----

另外，關於本句，其實在維基百科英文版Cayley-Hamilton theorem條目寫道：

For a general n×n invertible matrix A, i.e., one with nonzero determinant, A⁻¹ can thus be written as an (n − 1)-th order polynomial expression in A

這正是Cayley在文章中要表達的意思。

=====譯者註記結束=====

[翻譯]Arthur Cayley，矩陣理論紀要(A Memoir on the Theory of Matrices)，part: 4

I obtain the remarkable theorem that any matrix whatever satisfies an algebraical equation of its own order, the coefficient of the highest power being unity, and those of the other powers functions of terms of the matrix, the last coefficeint being in fact the determinant; the rule for the formation of this equation may be stated in the following condensed form, which will be intelligible after a perusal of the memoir, viz. the determinant, formed out of the matrix diminished by the matrix considered as a single quantity involving the matrix unity, will be equal to zero.

我發現了一個特別的定理，可以對任何一個矩陣(方陣)求得其代入後會成立的一條代數方程式，此方程式中最高次項的係數為1，其他次數的項的係數概由矩陣的元素所構成，而最後的常數項則是矩陣的行列式；推導出此方程式的方法或可概述如下，將原來所考慮的矩陣減去一個我們視為單變(未知)量的矩陣(與單位矩陣相關)後，計算所得矩陣的行列式，並令其為0。讀者在閱讀完本備忘錄後將會清楚地理解此推導方法。

[翻譯]Arthur Cayley，矩陣理論紀要(A Memoir on the Theory of Matrices)，part: 3

It will be seen that matrices (attending only to those of the same order) comport themselves as single quantities; they may be added, multiplied or compounded together, &c.: the law of the addition of matrices is precisely similar to that for the addition of ordinary algebraical quantities; as regards their multiplication (or composition), there is the peculiarity that matrices are not in general convertible; it is nevertheless possible to form the powers (positive or negative, integral of fractional) of a matrix, and thence to arrive at the notion of a rational and integral function, or generally of any algebraical function, of a matrix.

我們可將矩陣與矩陣視作一般的量(quantity)來計算(限於同尺寸之矩陣)；矩陣與矩陣彼此可相加、相乘，或是複合(compound，同時進行加法與乘法)等等: 矩陣的加法與我們平素所考慮的代數量的加法雷同；而矩陣的乘法(或是所謂的「合成(composition)」)，必須注意到一個特異點是，一般說來，矩陣必非總是可逆的。不過我們仍然可以考慮矩陣的冪(正數或負數、整數或分數)，順藤摸瓜就引入了以矩陣為變量的有理函數或是整函數，甚或任意代數函數。

[翻譯]Arthur Cayley，矩陣理論紀要(A Memoir on the Theory of Matrices)，part: 2

The notion of such a matrix arises naturally from an abbreviated notation for a set of linear equations, viz. the equations
$$
\begin{eqnarray*}
X &=& ax+by+cz,\\
Y &=& a'x+b'y+c'z\\
Z &=& a''x+b''y+c''z
\end{eqnarray*}
$$
may be more simply represented by
$$
\left[
\begin{array}{c}
X \\
Y \\
Z
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a' & b' & c' \\
a'' & b'' & c''
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}
\right]
$$
and the consideration of such a system of equations leads to most of the fundamental notions in the theory of matrices.

矩陣的概念係由簡記一組線性方程式自然派生而出，所謂線性方程式，例如
$$
\begin{eqnarray*}
X &=& ax+by+cz,\\
Y &=& a'x+b'y+c'z\\
Z &=& a''x+b''y+c''z
\end{eqnarray*}
$$

可簡記為

$$
\left[
\begin{array}{c}
X \\
Y \\
Z
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a' & b' & c' \\
a'' & b'' & c''
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}
\right]
$$

而關於線性方程組的研究，引領出矩陣理論中最基本的幾個概念。

[翻譯]Arthur Cayley，矩陣理論紀要(A Memoir on the Theory of Matrices)，part: 1

----------說明開始----------

說明：

從今日開始，我會開始著手翻譯偉大的英國數學家Arthur Cayley所撰寫的關於矩陣論的著名論文A Memoir on the Theory of Matrices(矩陣理論紀要)。因為我個人的壞習慣，沒辦法有條理的安排教學工作、研究以及生活，所以無法承諾更新進度。不過這篇論文總共24頁，我想今年現在到十二月底還有兩個月，應該是有希望在2106年完成翻譯。

我的英文程度沒有很好，翻譯也只是出自個人興趣，希望想多了解一下偉大天才的思考邏輯，從而可以稍稍學習一點。如果有任何翻譯問題，還請讀者不吝賜教。

基本上我每次更新都是一小段，中英對照，先英文再中文，部分數學符號會更改為現代通用符號。翻譯行文盡量做到信、達由於英文和中文兩語種之間不存在雙射(bijection)，所以翻譯時實際多採意譯，努力做到行文流暢而不失原意的程度。

----------說明結束----------

----------翻譯開始----------

A Memoir on the Theory of Matrices

By Arthur Cayley, Esq., F.R.S.

Received Decembed 10, 1857,-Read January 14, 1858.

The term matrix might be used in a more general sense, but in the present memoir I consider only square and rectangular matrices, and the term matrix used without qualification is to be understood as meaning a square matrix; in this restricted sense, a set of quantities arranged in the form of a square, e.g.
$$
\left |
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a' & b' & c' \\
a'' & b'' & c'' \\
\end{array}
\right |
$$
is said to be a matrix.

矩陣理論紀要

Arthur Cayley先生, 皇家學會會士 撰

1857年12月10日收稿，1858年1月14日宣讀

「矩陣(Matrix)」一詞應可在更多方面有更加廣泛的運用，然而在本紀要中，我只考慮方陣(square matrices)與長方陣(rectangle matrices)，此外若無特別說明，以下所提及的矩陣應理解為方陣；按此限制，將一組量(quantity)排成正方形格式，例如
$$
\left |
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a' & b' & c' \\
a'' & b'' & c'' \\
\end{array}
\right |
$$

就稱為「矩陣」。

----------翻譯結束----------

----------註記開始----------

「Esq.」是什麼？

查閱劍橋網路辭典(Cambridge Dictionary)，得到如下資訊

原來Esq.其實是Esquire的縮寫，有兩種意思：英式用法大概可以翻譯成「先生」、「閣下」；美式用法大概就是「律師」。

雖然Arthur Cayley曾經擔任過相當長一段時間的律師，但本篇論文發表於1857年，而Cayley是英國人，皇家學會應該不會使用美式用法去敬稱Cayley律師為「Arthur Cayley, Esq」，所以我這裡決定翻譯成「先生」。

----------註記結束----------