藥師輪值排班問題

==問題== 

航獵藥局有三名藥師，週一到週五每天均需安排兩名藥師負責發放口罩，若每名藥師最多輪值四天，則這五天藥師們有多少種輪值的方式。

[109，第一學期，台北區第一次學科能力測驗模擬考]

==解答==

假定藥師為$A, B, C$，出席天數各為$a, b, c$，再根據條件「最多輪值四天」，以大者為優先來列出，可得到$(a, b, c) = (4, 4, 2), \underbrace{(4, 2, 4), (2, 4, 4)}_{(4, 4, 2)輪列}, (4, 3, 3), \underbrace{(3, 4, 3), (3, 3, 4)}_{(4, 3, 3)輪列}$。

先以$(4, 4, 2)$做討論。首先$A$從5天中選擇4天輪值。接著換$B$選輪值日，但注意到$B$必定要在$A$沒上班的那一日去上班，所以$B$的自由選擇只有從4天中選擇3天。最後是$C$只能從剩下的日子照單全收。因此排班的方法數為

$${5 \choose 4} \times {1 \choose 1} \times {4 \choose 3} \times {2 \choose 2} = 20.$$

其他的$(4, 2, 4)$與$(2, 4, 4)$討論方式亦然，也都是20種。

再以$(4, 3, 3)$做討論。首先$A$從5天中選擇4天輪值。接著換$B$選輪值日，但注意到$B$必定要在$A$沒上班的那些日子去上班，所以$B$的自由選擇只有從4天中選擇2天。最後是$C$只能從剩下的日子照單全收。因此排班的方法數為

$${5 \choose 4} \times {1 \choose 1} \times {4 \choose 2} \times {3 \choose 3} = 30.$$

其他的$(3, 4, 3)$與$(3, 3, 4)$討論方式亦然，也都是30種。

因此本題的排班方法數為$20 \times 3 + 30 \times 3 = 150$種。

（解答終了）