$n$次方根函數的連續性

==定理1==

$\forall n \in \mathbb{N}$,
(i) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+} \sqrt[n]{x} = 0$；
(ii) $\displaystyle \forall a \in \mathbb{R}^+, \lim_{x \rightarrow a} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a}$。

==證明==

(i) $\forall \varepsilon > 0$，取$\delta = \varepsilon^n$，則$\forall x \in (0, \delta)$得
$$|\sqrt[n]{x} - 0| = \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{\delta} = \sqrt[n]{\varepsilon^n} = \varepsilon.$$

(ii) $\forall \varepsilon > 0$，取$\delta = \sqrt[n]{a}^{n-1}\varepsilon$，則$\forall x \in (a-\delta, a) \cup (a, a+\delta)$，利用割圓恆等式得
\begin{align*}  |\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a}| &= \frac{|\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a}| \times {\color{red} {|\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{a} + \cdots + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{a}^{n-2} + \sqrt[n]{a}^{n-1}|}}}{\color{red} {|\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{a} + \cdots + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{a}^{n-2} + \sqrt[n]{a}^{n-1}|}} \\ &= \frac{|x - a|}{|\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{a} + \cdots + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{a}^{n-2} + \sqrt[n]{a}^{n-1}|} \\ &= \frac{|x - a|}{\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{a} + \cdots + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{a}^{n-2} + \sqrt[n]{a}^{n-1}} \\ &< \frac{\delta}{\sqrt[n]{a}^{n-1}} \\ &= \frac{\sqrt[n]{a}^{n-1} \varepsilon}{\sqrt[n]{a}^{n-1}} \\ &= \varepsilon.  \end{align*}

(證明終了)

定理1意味著n次方根函數$f(x) = \sqrt[n]{x}, x \ge 0$在非負實數$[0, +\infty)$上是連續的。

高木貞治的《解析概論》§10在證明實數指數的指數律$(a^x)^y = a^{xy}$中用到了「最後一個等式的證明利用$x^r$[r為有理數]的連續性」，不過高木沒有給出此敘述的證明。以下利用定理1的結果說明此敘述是正確的。

==定理2==

有理冪函數(rational power function)$f(x) = x^r, r \in \mathbb{Q}$在正實數$\mathbb{R}^+$上是連續的。

==證明==

假定m, n為正整數。

情形1  r為正有理數，$r = \frac{m}{n}$

此時$f(x) = x^r = x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m} = \sqrt[n]{x}^m = \underbrace{\sqrt[n]{x} \times \sqrt[n]{x} \times \cdots \times \sqrt[n]{x}}_{m {\text{個}}}$。由定理1知$\sqrt[n]{x}$是連續函數。再由「連續函數之四則運算結果仍為連續函數」可知$f(x) = x^r$為連續函數。

情形2  r為負有理數，$r = -\frac{m}{n}$

此時$f(x) = x^r = x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{x^{\frac{m}{n}}}$，其中分母的$x^{\frac{m}{n}}$由情形1可知為連續函數，再根據「連續函數之四則運算結果仍為連續函數」可知$f(x) = x^r$為連續函數。

(證明終了)

[附記]

這種分情形的手法是我學自H. B. Fine（維基百科介紹頁面）的A College Algebra（網際網路資料庫Archive的掃描檔）。

==參考資料==

[1] 高木貞治，解析概論(改訂第3版)，岩波書店。(簡體中譯本：馮速等譯，《高等微積分》，人民郵電出版社)
[2] H. B. Fine, A College Algebra, Ginn and the Company. (繁體中譯本：駱師曾等譯，莊禮深校，《范氏大代數》，世界書局)