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2021年1月16日 星期六

107指考數甲的平面向量決定區域的函數最大值問題

=問題= 

座標平面上,若A(2,3)B(1,3)兩點,並設O為原點,令E為滿足OP=aOA+bOB的所有點P所形成的區域,其中1a1,0b4。考慮函數f(x)=x2+5,試問當限定x為區域E中的點P(x,y)的橫座標時,f(x)的最大值為何?

=解答=

首先將Px座標用a,b表示出來:

OP=[xy],

OP=aOA+bOB=a[23]+b[13]=[2ab3a+3b],

x=2ab.

a,b的限制條件有

22a2,

4b0.

於是

62ab2,

6x2.

所以有

0x236.

因此

5x2+541.

得最大值為41。

=附註=

本題我本來打算把圖畫出來,但發現容易畫錯,因為4倍的OB的數字太大,圖不容易畫。後來決定換個方式,直接考慮代數的方式來處理。而我便叫育嫆別用畫圖的方式做。

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