=問題=
座標平面上,若$A(2, 3)$與$B(-1, 3)$兩點,並設$O$為原點,令$E$為滿足$\overrightarrow{OP} = a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}$的所有點$P$所形成的區域,其中$-1 \le a \le 1, 0 \le b \le 4$。考慮函數$f(x) = x^2+5$,試問當限定x為區域$E$中的點$P(x, y)$的橫座標時,$f(x)$的最大值為何?
=解答=
首先將$P$的x座標用$a, b$表示出來:
$$\overrightarrow{OP} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right],$$
$$\overrightarrow{OP} = a\overrightarrow{OA} +b\overrightarrow{OB} = a\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right] + b\left[ \begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2a-b \\ 3a+3b \end{array} \right],$$
得
$$x = 2a-b.$$
由$a, b$的限制條件有
$$-2 \le 2a \le 2,$$
與
$$-4 \le -b \le 0.$$
於是
$$-6 \le 2a - b \le 2,$$
即
$$-6 \le x \le 2.$$
所以有
$$0 \le x^2 \le 36.$$
因此
$$5 \le x^2 + 5 \le 41.$$
得最大值為41。
=附註=
本題我本來打算把圖畫出來,但發現容易畫錯,因為4倍的$\overrightarrow{OB}$的數字太大,圖不容易畫。後來決定換個方式,直接考慮代數的方式來處理。而我便叫育嫆別用畫圖的方式做。
沒有留言:
張貼留言