坐標化一直推算不出來的題目？

=題目= 

圓上有四點 $A, B, C, D$，已知兩弦 $\overline{AC} \perp \overline{BD}$，設 $\overline{AB} = 2$，$\overline{CD} = 3$，則此圓面積為 $\underline{\hspace{2cm}}$。

=答案=

$\frac{13}{4} \pi$

=詳解=

設$O = \overline{AC} \cap \overline{BD} = (0, 0)$，$\overrightarrow{AC} = x$軸、$\overrightarrow{BD} = y$軸，$\angle BDC = \theta$，則$A = ( -2 \cos \theta, 0), C = ( 3 \sin \theta, 0), B = (0, -2 \sin \theta), D = ( 0, 3 \sin \theta)$，再設圓心為$K$，則$K = \left( \frac{-2 \cos \theta + 3 \sin \theta}{2}, \frac{-2 \sin \theta + 3 \cos \theta}{2} \right)$，於是$\overrightarrow{KC} = \left( \frac{3 \sin \theta + 2 \cos \theta}{2}, \frac{2 \sin \theta - 3 \cos \theta}{2} \right)$，得到$r = \left| \overrightarrow{KC} \right| = \sqrt{ \left( \frac{3 \sin \theta + 2 \cos \theta}{2} \right)^2 + \left( \frac{2 \sin \theta - 3 \cos \theta}{2} \right)^2 } = \frac{ \sqrt{13} }{2}$，因此圓面積$= \pi \left( \frac{ \sqrt{13} }{2} \right)^2 = \frac{13}{4} \pi$。

=參考文獻=

[1] 歪歪數學，坐標化一直推算不出來的題目 | 麗山高中教甄 | 不停更挑戰 DAY60，YouTube連結

[2] 宇宙數學教室，[107指考數甲，圓] 圓內兩線段互相垂直，求$\overline{CD}$長度

=附註=

朋友連威翔先生告知我有人在歪歪老師的YouTube頻道留言提到我，所以我野人獻曝一下。

正方形內扇形重疊區域面積問題

=題目=

如圖，ABCD 為正方形且邊長為1 公分，以各頂點為圓心，1 公分為半徑做$\frac{1}{4}$弧，試求斜線區域面積。

=答案=

$1+\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}$

=詳解=

首先假設圖中各區域的面積分別為$a, b, c$，如下圖所示。

為了求出$c$的大小，我們可以連接$\overline{OA}$與$\overline{OB}$，然後考慮正三角形$OAB$與扇形$AOD$及扇形$BOC$，將這三個部分從整個正方形$ABCD$中扣掉後，就會得到一塊$c$的面積。如下圖所示。

因此

$$c = 1\times 1  - \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 1^2 - \pi \cdot 1^2 \cdot \frac{30}{360} - \pi \cdot 1^2 \cdot \frac{30}{360} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{6}.$$

另外再看原圖中，可知整個正方形$ABCD$扣除$\frac{1}{4}$圓形$ABD$後，剩下的部分恰好是$2c+b$，也就有

$$2c+b = 1 - \pi \cdot 1^2 \cdot \frac{90}{360} = 1 - \frac{\pi}{4}.$$

因此

$$b = \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) - 2 \cdot \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1.$$

於是

$$a = 1-4b-4c = 1-4 \cdot \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right) - 4\cdot \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{6} \right) = 1 + \frac{\pi}{3} - \sqrt{3}.$$