連續正整數立方和公式反推數列通項的數學歸納法問題

==問題== 

設${a_n}$是一個正實數所構成的無窮數列，且滿足

$$\sum_{i=1}^{n} a_i^3 = \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2, n\ge 1.$$

是否此數列為$a_n = n$？

[許志農，《算術講義》，第4章  數學歸納法  習題4.4]

==解答==

首先要計算數列的前幾項。

當$n = 1$時，根據數列所滿足的條件有$a_1^3 = (a_1)^2$，解得$a_1 = 1$。

當$n = 2$時，根據數列所滿足的條件有$1^3 + a_2^3 = (1 + a_2)^2$，解得$a_2 = 2$。

當$n = 3$時，根據數列所滿足的條件有$1^3 +2^3 +a_3^3 = (1 + 2 + a_3)^2$，解得$a_3 = 3$。

從以上的計算，猜測$a_n = n$。

假定$a_i = i$對$i =1, 2, \cdots, n$都成立，亦即有$a_1 = 1, a_2 = 2, \cdots, a_n = n$。

當$n+1$時，根據數列所滿足的條件有

$$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 + a_{n+1}^3 = \left( 1 + 2 + \cdots + n + a_{n+1} \right)^2,$$

其中$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$，而$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$，代入後得

$$\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + a_{n+1}^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} + a_{n+1} \right)^2,$$

整理得

$$a_{n+1}^3 - n(n+1)a_{n+1} - a_{n+1}^2 = 0.$$

注意$a_{n+1} > 0$，所以上式可約去$a_{n+1}$，得

$$a_{n+1}^2 - a_{n+1} - n(n+1) = 0.$$

因式分解有

$$\left( a_{n+1} + n \right)\left( a_{n+1} - (n+1) \right) = 0.$$

於是$a_{n+1} = n+1$（捨去負根）。因此由數學歸納法證得$a_n = n$。

（解答終了）