Apostol Linear Algebra Exercise 0.26.8

問題

令$f(x) = \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t$，其中$g$是一個給定的在任意點都可微的函數。

(a) 證明$f'(x) = g(x) - \int_{0}^{x} g(t) \sin (x-t) \, {\rm d}t$。
[提示：$\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$。]

(b) 求滿足$f''(x) + f(x) = a g'(x) + b g(x)$的常數$a$和$b$。

解答

(a) 根據提示，首先對被積函數$g(t) \cos (x-t)$展開，如下，

\begin{eqnarray*} f(x) &=& \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t \\ &=& \int_{0}^{x} g(t) (\cos x \cos t + \sin x \sin t) \, {\rm d}t \\ &=& \cos x \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \sin x \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t. \end{eqnarray*}

於是

\begin{eqnarray*} f'(x) &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} f(x) \\ &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \left[ \cos x \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \sin x \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t \right] \\ &=& -\sin x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \cos x \cdot g(x) \cos x + \cos x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t + \sin x \cdot g(x) \sin x \\ &=& g(x) \left( \cos^2 x + \sin^2 x \right) - \int_{0}^{x} g(t) (\sin x \cos t - \cos x \sin t) \, {\rm d}t \\ &=& g(x) - \int_{0}^{x} g(t) \sin (x-t) \, {\rm d}t. \end{eqnarray*}

(b) 首先計算$f''(x)$。

\begin{eqnarray*} f''(x) &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} f'(x) \\ &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \left[ -\sin x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \cos x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t + g(x) \right] \\ &=& - \cos x \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t - \sin x \cdot g(x) \cos x - \sin x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t + \cos x g(x) \sin x + g'(x) \\ &=& g'(x) - \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t.  \end{eqnarray*}
於是
$$f''(x) + f(x) = \left[ g'(x) - \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t \right] + \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t = g'(x).$$
所以$a=1, b-0$。

106，指考，數學甲，單選4

==問題==

已知一實係數三次多項式$f(x)$在$x=1$有極大值$3$，且圖形$y = f(x)$在$\left( 4, f(4) \right)$之切線方程式為$y-f(4)+5(x-4)=0$，試問$\displaystyle \int_{1}^{4} f''(x) {\rm d} x$之值為下列哪一個選項？
(1) $-5$
(2) $-3$
(3) $0$
(4) $3$
(5) $5$

[106，指考，數學甲，單選4]

==解答==

「$f(x)$在$x=1$有極大值$3$」$\Rightarrow$ (i) $f(1) = 3$；(ii) $f'(1)=0$。

「圖形$y = f(x)$在$\left( 4, f(4) \right)$之切線方程式為$y-f(4)+5(x-4)=0$」，與點斜式$y - y_0 = f'(x_0) (x - x_0)$相比較，可知$f'(4) = -5$。

所求$\displaystyle \int_{1}^{4} f''(x) {\rm d} x = \left[ f'(x) \right]_{1}^{4} = f'(4) - f'(1) = -5 - 0 = -5$，選(1)。

(解答結束)