一道有理函數極限問題

==問題==

若整係數多項式函數$f(x) = x^3 + (2a - 1)x^2 + bx + c$滿足$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} \frac{f(x)}{x^3 + 1} = \frac{1}{3}$，且方程式$f(x) = 0$有虛根。試求出a, b, c之值。

==解答==

($1^\circ$)

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1} \frac{f(x)}{x^3 + 1} \cdot (x^3 + 1) = \lim_{x \rightarrow -1} \frac{f(x)}{x^3 + 1} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} (x^3 + 1) = \frac{1}{3} \cdot 0 = 0$.

($2^\circ$)

由於$f(x)$是多項式函數，在實數集$\mathbb{R}$上連續，所以$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x) = f(-1)$，也就是可以直接將極限點代入函數，就得到極限值。因此$f(-1) = 0$，亦即有$(-1)^3 + (2a - 1)(-1)^2 + b(-1) + c = 0$，得$2a - b + c - 2 = 0$。

($3^\circ$)

利用綜合除法，可將$f(x)$展為$x + 1$的多項式（或是：以$-1$為中心的Taylor展開式）：
$$f(x) = 1(x + 1)^3 + (2a - 4)(x + 1)^2 + (-4a + b + 5)(x + 1) + (2a - b + c -2).$$ 其中常數項$2a - b + c - 2$已計算出為零了，所以$f(x)$在$x = -1$的Taylor展開式變為
$$f(x) = 1(x + 1)^3 + (2a - 4)(x + 1)^2 + (-4a + b + 5)(x + 1).$$ 接著左右同除以$x^3 + 1$，得
$$\frac{f(x)}{x^3 + 1} = \frac{(x+1)^3}{x^3 + 1} + \frac{(2a - 4)(x + 1)^2}{x^3 + 1} + \frac{(-4a + b + 5)(x + 1)}{x^3 + 1}.$$ 由於$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$，所以
$$\frac{f(x)}{x^3 + 1} = \frac{(x+1)^2}{x^2 - x + 1} + \frac{(2a - 4)(x + 1)}{x^2 - x + 1} + \frac{-4a + b + 5}{x^2 - x + 1}.$$ 當$x \rightarrow -1$時，上式右端中的$\frac{(x+1)^2}{x^2 - x + 1}$與$\frac{(2a - 4)(x + 1)}{x^2 - x + 1}$皆趨於零，而$\frac{-4a + b + 5}{x^2 - x + 1}$趨近於$\frac{-4a + b + 5}{3}$。所以得到
$$\frac{1}{3} = \frac{-4a + b + 5}{3}.$$ 故$-4a + b + 5 = 1$。

($4^\circ$)

由$\left\{ \begin{eqnarray*} 2a - b + c - 2 = 0 \\ -4a + b + 5 = 1 \end{eqnarray*} \right.$得$b = 4a - 4, c = 2a - 2$，所以可將$f(x)$改寫為
$$f(x) = x^3 + (2a - 1)x^2 + (4a - 4)x + (2a - 2).$$ 又我們已知$f(-1) = 0$，所以$f(x)$必有因式$x + 1$，因此可利用綜合除法將$f(x)$因式分解為
$$f(x) = (x + 1)[x^2 + (2a - 2)x + (2a - 2)].$$ 代數基本定理告訴我們，n次複係數多項方程式$F(x) = 0$必有n個複數根。因為$f(x)$是3次式，所以方程式$f(x) = 0$有3個根。再者，實係數多項方程式若有虛根，則虛根必共軛成對，故根據題目條件「方程式$f(x) = 0$有虛根」可知，方程式$f(x) = 0$僅有1個實根。前頭已計算出$f(-1) = 0$，因此方程式$f(x) = 0$的實根就只有$-1$。從而在$f(x)$的分解式中，因式$x^2 + (2a - 2)x + (2a - 2)$沒有實根，於是判別式必$<0$，得
$$(2a - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a - 2) < 0.$$ 解出$1 < a < 3$。因a是整數，所以$a = 2$，然後$b = 4, c = 2$。

單變數函數的導函數的定義與例子

導函數的定義

設$(a, b) \subseteq \mathbb{R}$。

若$\forall x \in (a, b)$，$f$在$x$皆可導，則稱$f$在$(a, b)$上可導。此時得一函數(映射)

$$f': (a, b) \rightarrow \mathbb{R}, f': x \mapsto f'(x).$$

此函數稱為$f$在$(a, b)$上的導函數(derivative)。

導函數的例子

例1. 常數函數的導函數。

設$c \in \mathbb{R}$是一個常數，$f_1 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_1 (x) = c$。$\forall x \in (-\infty, +\infty)$有$f_1' (x) = 0$，$f_1$在$(-\infty, +\infty)$上可導，所以$f_1$在$(-\infty, +\infty)$的導函數為$f_1' (x) = 0$。

例2. 線型/一次函數的導函數。

設$m, k \in \mathbb{R}, m \neq 0$，$f_2 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_2 (x) = mx+k$。$\forall x \in (-\infty, +\infty)$有$f_2' (x) = m$，$f_2$在$(-\infty, +\infty)$上可導，所以$f_2$在$(-\infty, +\infty)$的導函數為$f_2' (x) = m$。

例3. 二次函數的導函數。

設$a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0$，$f_3 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_3 (x) = ax^2 + bx +c$。$\forall x \in (-\infty, +\infty)$有$f_3' (x) = 2ax+b$，$f_3$在$(-\infty, +\infty)$上可導，所以$f_3$在$(-\infty, +\infty)$的導函數為$f_3' (x) = 2ax+b$。

例4. $n$次方函數的導函數。

設$n \in \mathbb{N}$，$f_4 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_4 (x) = x^n$。$\forall x \in (-\infty, +\infty)$有$f_4' (x) = nx^{n-1}$，$f_4$在$(-\infty, +\infty)$上可導，所以$f_4$在$(-\infty, +\infty)$的導函數為$f_4' (x) = nx^{n-1}$。

例5. 倒數函數的導函數。

設$f_5 : (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_5 (x) = \frac{1}{x}$。$\forall x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$有$f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}$，$f_5$在$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$上可導，所以$f_5$在$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$的導函數為$f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}$。

例6. 平方根函數的導函數。

設$f_6 : [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_6 (x) = \sqrt{x}$。$\forall x \in (0, +\infty)$有$f_6' (x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$，$f_6$在$(0, +\infty)$上可導(注意這裡可導的區間是開區間！)，所以$f_6$在$(0, +\infty)$的導函數為$f_6' (x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。

單變數函數可導必連續

==定理==(可導必連續)

設$(a, b) \subseteq \mathbb{R}, f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}, c \in (a, b)$。

若$f$在$c$可導，則$f$在$c$連續。

==證明==

$f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$且$c \in (a, b) \Rightarrow f$在$c$有定義，函數值為$f(c)$。

$f$在$c$可導$\Rightarrow \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}$存在，此極限值即為$f$在$c$的導數$f'(c)$。

注意$\lim \limits_{h \rightarrow 0} h = 0$且$\lim \limits_{h \rightarrow 0} f(c) = f(c)$。

根據極限論的四則運算，我們有
\begin{align}
\lim \limits_{h \rightarrow 0} f(c+h)
&= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \left[ \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \times h + f(c) \right] \notag \\
&= \left[ \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \right] \times \left[ \lim \limits_{h \rightarrow 0} h \right] + \left[ \lim \limits_{h \rightarrow 0} f(c) \right] \notag \\
&= f'(c) \times 0 + f(c) \notag \\
&= f(c). \notag
\end{align}
考慮代換$x = c+h$，則$h = x - c$，而$h \rightarrow 0$變為$x - c \rightarrow 0$，也就有$x \rightarrow c$。所以上面推導所得的
$$\lim_{h \rightarrow 0} f(c+h) = f(c)$$
可改寫為
$$\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c).$$
換句話說，我們推得「極限值等於函數值」，這意味著$f$在$c$連續。

(證明終了)

==注意==

這個定理告訴我們「可導必連續」，但反之未必成立，亦即「連續不一定可導」。

例. 絕對值函數$f: (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = |x|$，$f$在$(-\infty, +\infty)$上連續，但在$0$不可導。

單變數函數可導的定義與例子

設$(a, b) \subseteq \mathbb{R}$，$f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$是一個函數(映射)，$c \in (a, b)$，也就是說$c$為開區間$(a, b)$內部的一個點。

函數$f$在$c$點當然有定義，函數值記為$f(c)$。

導數/可導的定義

若極限$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}$存在，則稱函數$f$在$x = c$處「可導(differentiable)」，而極限值記為$f'(c)$，稱為$f$在$c$的導數(derivative)。換句話說，我們可形式地定義導數$f'(c)$為

$$f'(c) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}.$$
其中極限式裡的分式$\frac{f(c+h) - f(c)}{h}$稱為$f$在$c$的牛頓商(Newton quotient)或是差商(difference quotient)。(這裡「形式地」意味著我們只著重上面定義式子所表現的形式，至於右方那個極限式是否有極限並非最優先考慮的事。)

代號的代換

$f$在$x = c$可導$\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}$存在，導數值$=f'(c)$。

$f$在$x = d$可導$\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(d+h) - f(d)}{h}$存在，導數值$=f'(d)$。

$f$在$x = e$可導$\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(e+h) - f(e)}{h}$存在，導數值$=f'(e)$。

$f$在$x = x_0$可導$\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$存在，導數值$=f'(x_0)$。

$f$在$x = t_1$可導$\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(t_1+h) - f(t_1)}{h}$存在，導數值$=f'(t_1)$。

$f$在$x = {\text{火星}}$可導$\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f({\text{火星}}+h) - f({\text{火星}})}{h}$        存在，導數值$=f'(\text{火星})$。

$F$在$x = x_0$可導$\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x_0+h) - F(x_0)}{h}$存在，導數值$=F'(x_0)$。

$g$在$x = x_0$可導$\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x_0+h) - g(x_0)}{h}$存在，導數值$=g'(x_0)$。

為何導數要叫做導數？「導」的涵義為何？

這個問題會另文討論，讀者就先暫時接受這樣算出來的東西稱作「導數」。

例子

例1. 常數函數

設$c \in \mathbb{R}, f_1 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$，$f_1 (x) = c$。

我們稱函數$f_1$是「常數函數(constant function)」，因為$f_1$總是將任何一個$x$對應到固定值$c$。(說文解字：「常」這個字具有「恆定」的意思，所以才用「常」。)

任取$x \in \mathbb{R}$，計算導數定義的極限式
\begin{align}
 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_1 (x+h) - f_1(x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{c - c}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{0}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} 0 \notag \\
&= 0. \notag
\end{align}
以上的計算告訴我們常數函數$f_1 (x) = c$在任何一處都可導，且導數值為$0$。換句話說，我們有
$$\forall x \in \mathbb{R}, f_1' (x) = 0.$$

例2. 線型函數/一次函數(linear function)

設$m, k \in \mathbb{R}, m \neq 0, f_2: (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_2 (x) = mx + k$。

我們稱函數$f_2$為「線型函數」或「一次函數」。(說文解字：「線型」的意思是因為這個函數的圖形畫出來就像是一條直線；「一次」的意思是指自變數$x$的次數為$1$次。注意「線型」與「線性」不大一樣，寫的時候別混淆了。)

任取$x \in \mathbb{R}$，計算導數定義的極限式
\begin{align}
 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_2 (x+h) - f_2(x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{[m(x+h) + k] - (mx + k)}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{mh}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} m \notag \\
&= m. \notag
\end{align}
以上的計算告訴我們線型函數$f_2$在任何一處都可導，且導數值為$m$。換句話說，我們有
$$\forall x \in \mathbb{R}, f_2' (x) = m.$$

例3. 二次函數(quadratic function)

設$a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0, f_3 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_3 (x) = ax^2 + bx + c$。

我們稱函數$f_3$為「二次函數(quadratic function)」。(說文解字：「二次」的意思是指自變數$x$的次數為$2$次。)

任取$x \in \mathbb{R}$，計算導數定義的極限式
\begin{align}
 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_3 (x+h) - f_3 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{[a(x+h)^2 + b(x+h) + c] - (ax^2 + bx + c)}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ax^2 + 2axh + ah^2 + bx + bh + c - ax^2 - bx - c}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2axh + ah^2 + bh}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h(2ax + ah + b)}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} (2ax + ah + b) \notag \\
&= 2ax + a \times 0 + b \notag \\
&= 2ax + b. \notag
\end{align}
以上的計算告訴我們二次函數$f_3 (x) = ax^2 + bx + c$在任何一處都可導，且導數值為$2ax + b$。換句話說，我們有
$$\forall x \in \mathbb{R}, f_3' (x) = 2ax + b.$$

例4. $x$的$n$次方

設$n \in \mathbb{N}, f_4 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_4 (x) = x^n$。

任取$x \in \mathbb{R}$，計算導數定義的極限式
\begin{align}
 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_4 (x+h) - f_4 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}h^k - x^n}{h} \quad [{\text{二項式定理}}] \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[ x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n \right] - x^n }{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h \left[ nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1} \right]}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \left[ nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1} \right] \notag \\
&= nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2} \times 0 + \cdots + 0^{n-1}\notag \\
&= nx^{n-1}. \notag
\end{align}
以上的計算告訴我們函數$f_4 (x) = x^n$在任何一處都可導，且導數值為$nx^{n-1}$。換句話說，我們有
$$\forall x \in \mathbb{R}, f_4' (x) = nx^{n-1}.$$

例5. $x$分之一

設$f_5 : (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_5 (x) = \frac{1}{x}$。

任取$x \in (0, +\infty)$，計算導數定義的極限式
\begin{align}
 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_5 (x+h) - f_5 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \notag \\
&=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left( \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} \right) \cdot (x+h)x}{h \cdot (x+h)x} \notag \\
&=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x - (x+h)}{hx(x+h)} \notag \\
&=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{hx(x+h)} \notag \\
&=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)} \notag \\
&=  \frac{-1}{x(x+0)} \notag \\
&=  \frac{-1}{x^2} \notag
\end{align}
以上的計算告訴我們函數$f_5 (x) = \frac{1}{x}$在$(0, +\infty)$中任何一處都可導，且導數值為$\frac{-1}{x^2}$。換句話說，我們有
$$\forall x \in (0, +\infty), f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}.$$

再任取$x \in (-\infty, 0)$，計算導數定義的極限式
\begin{align}
 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_5 (x+h) - f_5 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \notag \\
&=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left( \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} \right) \cdot (x+h)x}{h \cdot (x+h)x} \notag \\
&=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x - (x+h)}{hx(x+h)} \notag \\
&=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{hx(x+h)} \notag \\
&=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)} \notag \\
&=  \frac{-1}{x(x+0)} \notag \\
&=  \frac{-1}{x^2} \notag
\end{align}
以上的計算告訴我們函數$f_5 (x) = \frac{1}{x}$在$(-\infty, 0)$中任何一處都可導，且導數值為$\frac{-1}{x^2}$。換句話說，我們有
$$\forall x \in (-\infty, 0), f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}.$$

所以不論$x$是在$(0, +\infty)$還是$(-\infty, 0)$，$f_5 (x) = \frac{1}{x}$都可導，且導數值為$\frac{-1}{x^2}$。換句話說，我們有

$$\forall x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty), f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}.$$

例6. 根號$x$

設$f_6 : [0, +\infty), f_6 (x) = \sqrt{x}$。

回顧導數的定義，要取導數的點必須在開區間中，所以我們取$x \in (0, +\infty)$，計算導數定義的極限式
\begin{align}
 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_6 (x+h) - f_6 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{\color{red}{\sqrt{x+h}^2 - \sqrt{x}^2}} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{\left( \sqrt{x+h} - \sqrt{x} \right)\left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right)} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \notag \\
&= \frac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}} \notag \\
&= \frac{1}{2\sqrt{x}} \notag
\end{align}
以上的計算告訴我們函數$f_6 (x) = \sqrt{x}$在$(0, +\infty)$中任何一處都可導，且導數值為$\frac{1}{2\sqrt{x}}$。換句話說，我們有
$$\forall x \in \mathbb{R}, f_6' (x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

統整

我們略為統整以上討論的結果：

1. 常數函數$f_1 (x) = c$在$\mathbb{R}$上處處有定義，在$\mathbb{R}$上任一點都可導。對於任意$x \in \mathbb{R}$，有$f_1' (x) = 0$。
2. 一次函數$f_2 (x) = mx + k$在$\mathbb{R}$上處處有定義，在$\mathbb{R}$上任一點都可導。對於任意$x \in \mathbb{R}$，有$f_2' (x) = m$。
3. 二次函數$f_3 (x) = ax^2 + bx + c$在$\mathbb{R}$上處處有定義，在$\mathbb{R}$上任一點都可導。對於任意$x \in \mathbb{R}$，有$f_3' (x) = 2ax$。
4. $n$次方函數$f_4 (x) = x^n$在$\mathbb{R}$上處處有定義，在$\mathbb{R}$上任一點都可導。對於任意$x \in \mathbb{R}$，有$f_4' (x) = nx^{n-1}$。
5. 倒數函數$f_5 (x) = \frac{1}{x}$定義於$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，在其中任一點都可導。對於任意$x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，有$f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}$。
6. 平方根函數$f_6 (x) = \sqrt{x}$定義於$[0, +\infty)$，在$(0, +\infty)$上任一點都可導。對於任意$x \in (0, +\infty)$，有$f_6' (x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。

導數的另稱

導數有很多別稱，以下列出這些名稱，以及使用那些名稱的教材或數學家。

1. 流數(fluxion)：牛頓。目前沒人使用。
2. 紀數：熊慶來《高等算學引論》(民國初年清華大學算學系分析教材)。目前沒人使用。
3. 微商：華羅庚《高等數學引論》、鄧東皋《數學分析簡明教程》、龔昇《簡明微積分》、中國科學技術大學高等數學教研室《高等數學導論》。
4. 微分係數：小平邦彥《解析入門》、Hardy《純數學教程(Course of Pure Mathematics)》。

這些名稱的由來將會另文討論。

導數$\neq$微分

請讀者注意一點，絕對不可將「導數」稱作「微分」！

導數$\neq$微分

導數$\neq$微分

導數$\neq$微分

之所以不同的理由有幾個。數學上來說，導數是差商的極限，但是微分直觀來說是「微增量」；幾何來說，導數是切線斜率，微分是切線上的點的高度改變量；物理來說，導數是速度，而微分是位移。

以例5的倒數函數$f_5 (x) = \frac{1}{x}$來說，對於任意$x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，其導數為$\frac{-1}{x^2}$。但是不可說「$\frac{1}{x}$的微分是$\frac{-1}{x^2}$」。

微分的詳細介紹將於另文討論。

105，指考，數學甲，多選7

==問題==

在實數線上，動點A從原點開始往正向移動，動點B從8的位置開始往負向移動。兩個動點每一秒移動一次，已知第一秒A、B移動的距離分別為1、4，且A、B每次移動的距離分別為其前一次移動距離的$\frac{1}{2}$倍、$\frac{1}{3}$倍。令$c_n$為第$n$秒時A、B的中點位置。請選出正確選項。
(1) $c_1 = \frac{5}{2}$
(2) $c_2 > c_1$
(3) 數列$\left< c_{n+1} - c_n \right>$是一個等比數列
(4) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 2$
(5) $c_{1000} > 2$

[105，指考，數學甲，多選7]

==解答==

假定第$n$秒時，點A的位置為$a_n$，點B的位置為$b_n$。

於是$a_1 = 1, b_1 = 4$。

再假定點A於第$n$秒內的移動量(考慮正負)為$d_n$，點B於第$n$秒內的移動量(考慮正負)為$\delta_n$。

於是$d_1 = 1, \delta_1 = -4$，然後$d_2 = \frac{1}{2}, \delta_2 = -4 \cdot \frac{1}{3}$，因此可推論$d_n = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}, \delta_n = -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}$。

根據題意與假設，可得

$$a_n = a_{n-1} + d_n, b_n = b_{n-1} + \delta_n.$$

代入前述對$d_n$與$\delta_n$的計算，可得

$$a_n = a_{n-1} + \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}, b_n = b_{n-1} -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}.$$

接著，由於
\begin{eqnarray*}
a_2 - a_1 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^1 \\
a_3 - a_2 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^2 \\
  &\vdots&  \\
a_n - a_{n-1} &=& \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}
\end{eqnarray*}
從而
\begin{eqnarray*}
a_n - a_1 &=& \left( \frac{1}{2} \right)^1 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \cdots + \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \\
  &=& \frac{\frac{1}{2} \cdot \left[ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right]}{1 - \frac{1}{2}} \\
  &=& 1 - \frac{1}{2^{n-1}}
\end{eqnarray*}
故
$$a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}.$$

另外一方面，由於
\begin{eqnarray*}
b_2 - b_1 &=& -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^1 \\
b_3 - b_2 &=& -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 \\
  &\vdots&  \\
b_n - b_{n-1} &=& -4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}
\end{eqnarray*}
從而
\begin{eqnarray*}
b_n - b_1 &=& -4 \cdot \left[ \left( \frac{1}{3} \right)^1 + \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \cdots + \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right] \\
  &=& -4 \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \left[ 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right]}{1 - \frac{1}{3}} \\
  &=& -2 + \frac{2}{3^{n-1}}
\end{eqnarray*}
故
$$b_n = 2 + \frac{2}{3^{n-1}}.$$

那麼
$$c_n = \frac{a_n + b_n}{2} = \frac{2 - \frac{1}{2^{n-1}} + 2 + \frac{2}{3^{n-1}}}{2} = 2 - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^{n-1}}.$$

以下開始處理各選項。

(1) $c_1 = 2 - \frac{1}{2^1} + \frac{1}{3^{1-1}} = 2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{2}$。正確。

(2) $c_2 = 2 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^{2-1}} = 2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{25}{12} < \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = c_1$。錯誤。

(3) $c_{n-1} - c_n = \left( 2 - \frac{1}{2^{n+1}} + \frac{1}{3^n} \right) - \left( 2 - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^{n-1}} \right) = \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{2}{3^n}$。錯誤。

(4) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 2 - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^{n-1}} \right) = 2 - 0 + 0 = 0$(請注意，$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n} = 0$且$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3^{n-1}} = 0$，故可使用極限的四則運算)。正確。

(5) $c_{1000} = 2 - \frac{1}{2^{1000}} + \frac{1}{3^{999}}$，由於$\log 2^{1000} = 1000 \cdot \log 2 \approx 1000 \cdot 0.301 = 301$，$\log 3^{999} = 999 \cdot \log 3 \approx 999 \cdot 0.4771 = 476.6229$，故$2^{1000}< 3^{999}$，從而$- \frac{1}{2^{1000}} + \frac{1}{3^{999}} = \frac{1}{3^{999}} - \frac{1}{2^{1000}} < 0$，因此$c_{1000} = 2 + \text{負數} < 2$。錯誤。

選(1)、(4)。

(解答結束)

106，指考，數學甲，單選4

==問題==

已知一實係數三次多項式$f(x)$在$x=1$有極大值$3$，且圖形$y = f(x)$在$\left( 4, f(4) \right)$之切線方程式為$y-f(4)+5(x-4)=0$，試問$\displaystyle \int_{1}^{4} f''(x) {\rm d} x$之值為下列哪一個選項？
(1) $-5$
(2) $-3$
(3) $0$
(4) $3$
(5) $5$

[106，指考，數學甲，單選4]

==解答==

「$f(x)$在$x=1$有極大值$3$」$\Rightarrow$ (i) $f(1) = 3$；(ii) $f'(1)=0$。

「圖形$y = f(x)$在$\left( 4, f(4) \right)$之切線方程式為$y-f(4)+5(x-4)=0$」，與點斜式$y - y_0 = f'(x_0) (x - x_0)$相比較，可知$f'(4) = -5$。

所求$\displaystyle \int_{1}^{4} f''(x) {\rm d} x = \left[ f'(x) \right]_{1}^{4} = f'(4) - f'(1) = -5 - 0 = -5$，選(1)。

(解答結束)

106，指考，數學甲，單選3

==問題==

試問在$0 \leq x \leq 2\pi$的範圍中，$y = 3 \sin x$的函數圖形與$y = 2 \sin 2x$的函數圖形有幾個交點？
(1) 2個交點
(2) 3個交點
(3) 4個交點
(4) 5個交點
(5) 6個交點

[106，指考，數學甲，單選3]

==解答==

本題相當於計算方程式$3 \sin x = 2 \sin 2x$在$0 \leq x \leq 2\pi$的範圍中有多少個根。
\begin{eqnarray*}
3 \sin x &=& 2 \sin 2x \\
3 \sin x &=& 2 \cdot 2 \sin x \cos x \quad [2\text{倍角公式}] \\
3 \sin x &=& 4 \sin x \cos x \\
3 \sin x - 4 \sin x \cos x&=& 0 \\
\sin x (3 - 4 \cos x) &=& 0 \\
\Rightarrow \sin x = 0 \text{或} \cos x = \frac{3}{4}.
\end{eqnarray*}
若$\sin x = 0$，則$x = 0, \pi, 2\pi$。

若$\cos x = \frac{3}{4}$，則$x = \arccos \frac{3}{4}, 2\pi - \arccos \frac{3}{4}$。(註：此地設定反餘弦函數$\arccos : [-1, 1] \rightarrow [0, \pi]$)

方程式在$[0, 2 \pi]$共$5$解所以有$5$個交點，選(4)。

(解答結束)

106，指考，數學甲，單選2

==問題==

設$a = \sqrt[3]{10}$。關於$a^5$的範圍， 試選出正確的選項。
(1) 25 $\leq a^5 <$ 30
(2) 30 $\leq a^5 <$ 35
(3) 35 $\leq a^5 <$ 40
(4) 40 $\leq a^5 <$ 45
(5) 45 $\leq a^5 <$ 50

[106，指考，數學甲，單選2]

==解答==

$a = \sqrt[3]{10} \Rightarrow a^3 = 10$。

$8 < a^3 < 27 \Rightarrow 2 < a < 3$。

$a = 2 + d, d \in (0, 1)$。
\begin{eqnarray*}
a^3 = 10
&\Rightarrow& (2 + d)^3 = 10 \\
&\Rightarrow& 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot d + 3 \cdot 2 \cdot d^2 + d^3 = 10 \\
&\Rightarrow& 8 + 12d + 6d^2 + d^3 = 10 \\
&\Rightarrow& 8+12d \approx 10 \\
&\Rightarrow& d \approx \frac{1}{6} \approx 0.16 \quad [\text{略為高估}] \\
&\Rightarrow& a \approx 2.16
\end{eqnarray*}
$a^5 = a^3 \cdot  a^2 = 10 \cdot a^2 \approx 10 \cdot (2.16)^2 = 10 \cdot 4.6656 = 46.656$。

選(5)。

(解答結束)

106，指考，數學甲，單選1

==問題==

從所有二位正整數中隨機選取一個數，設$p$是其十位數字小於個位數字的機率。關於$p$值的範圍，試選出正確的選項。
(1) 0.22 $\leq p \leq$ 0.33
(2) 0.33 $\leq p \leq$ 0.44
(3) 0.44 $\leq p \leq$ 0.55
(4) 0.55 $\leq p \leq$ 0.66
(5) 0.66 $\leq p \leq$ 0.77

[106，指考，數學甲，單選1]

==解答==

命樣本空間$\Omega = \left\{ \text{所有二位正整數} \right\}$，則$\Omega = \left\{ 10, 11, \cdots, 99 \right\}$，且$n(\Omega) = 90$。

再設事件$A = \left\{ \text{十位數字小於個位數字的二位正整數} \right\}$，則
\begin{eqnarray*}
A
&=& \left\{ 12, 13, \cdots, 89 \right\} \\
&=& \left\{ 12, \cdots, 19 \right\} \sqcup \left\{ 23, \cdots, 29 \right\} \sqcup \cdots \sqcup \left\{ 89 \right\}.
\end{eqnarray*}
(此地符號「$\sqcup$」意為兩互斥集合之聯集)所以
$$
n(A) = 8 + 7 + \cdots + 1 = \frac{(8+1) \cdot 8}{2} = 36.
$$

題目所求$p = P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{36}{90} = \frac{2}{5} = 0.4$，故選(2)。

(解答結束)

樂透，$n$顆球，取$r$顆球，完全沒有連號/有部分連號

近來為準備機率教材，翻閱了張振華先生所著《機率好好玩》[1]。目前讀到第9章，覺得難度不高，每一章都引用了真實新聞報導來討論機率概念，我覺得相當有趣，希望年底可以把整本書消化完畢，把精華部份寫到講義裡，讓學生在學習機率時，不是只面對虛假的人為情境，而認識到真實世界中處處充滿數學問題，尤其機率與每個人的生活具有相當大的關聯性。

若是要批評這本書(前9章)的缺點，我想在於對部分數學公式解釋的不夠清晰，多數只是點到為止，例如在介紹組合數$C^n_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$時，僅僅給一個例子，太薄弱了。對我這樣的行內人來說沒什麼，但對於一般讀者，可能還是讀完例子仍無法體會該公式的內涵。

在第9章，張振華先生介紹了樂透相關機率的計算，其中「所開獎號中，有連號現象(部分連號/完全連號)的機率」一段，張先生雖然在注釋給出了計算公式$P=1-\frac{C^{n-r+1}_r}{C^n_r}$，但卻說推導繁雜，所以就略去推導過程。

我自2016/10/22的晚上開始思考這個公式的由來，一時沒想出來，隔天上班繼續想，仍然沒有頭緒(題外話，雖然我以教數學為業，不過自身的數學屬性似乎偏向幾何方面，組合學一直以來不算相當拿手)。上網查了查資料，看到黃文璋教授發表在《數學傳播》期刊上的文章〈隨機與密碼〉[2]，其中的例題4也談到此公式，然而也沒給出推導。

到了晚上為高三再興模擬考班檢討模擬考的時候，題目之中有一題：

某個數學測驗有10題是非題，若題目敘述正確則寫O；若敘述錯誤則寫X。小明作答完成後發現他的答案中沒有連續2題出現O，請問小明的答案有多少種可能情況？(可能10題都是X) 

其實本題出自於2011年台北區公立高中數學甲模擬考第一次(http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA569.swf)，非選題第1題。解析是考慮小明寫O的個數來分類討論。例如小明完全沒寫O，這樣是1種。小明只寫1個O，那這樣有10種。但接下來的情況比較困難一點點。當小明寫了2個O，此時不能讓這2個O在一起，所以在這2個O之間必須插入至少1個的X。2個O會分出3段空間(假定寫出來的格式為一橫排，由左而右書寫)，我們要拿8個X去填入這3段空間，而且中間的空間至少要填1個X，不難思考這樣的方法數計算應該利用「重複組合」。我們可以假設(由左而右)第1段空間要填入$x_1$個X，第2段空間要填入$x_2$個X，第3段空間要填入$x_3$個X。於是乎就得到方程式
$$
x_1+x_2+x_3=8
$$
但注意其中$x_2 \geq 1$，所以不能直接套用非負整數解個數公式。我們先塞1個X給$x_2$，於是方程式變成
$$
x_1+x_2'+x_3=7
$$
這下就可以直接套用公式了。這個情況(小明寫了2個O，不連續出現)的方法數有$H^3_7=C^{3+7-1}_7=C^9_7=36$種。至於其他情形，想法是類似的，我在此就不一一細談，只再說一句，該題的答案是144種。答案可參考台中一中退休老師賴瑞楓老師的網站：http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/ans/ans110415.swf

那麼這題跟我們原先談的樂透連號機率有什麼關係呢？事實上，我們原先所討論的題目，若是搬到這題，就變成

某個數學測驗有$n$題是非題，若題目敘述正確則寫O；若敘述錯誤則寫X。小明作答完成後發現他的答案中寫了$r$個O，但沒有連續2題出現O，請問小明的答案有多少種可能情況？

這裡，測驗=樂透，$n$題是非題=$n$顆球，$r$題寫O=選$r$顆球，沒有連續2題出現O=沒有連號。那這樣我們就有機會推出「樂透開獎完全不連號的機率」。

$r$顆球排成一橫排，可以製造出$r+1$個空間，我們拿$n-r$個X填入這$r+1$個空間。假設第1個空間填入$x_1$個X，第2個空間填入$x_2$個X，...，第$r+1$個空間填入$x_{r+1}$個X，那麼就得到方程式：
$$
x_1+x_2+\cdots+x_{r+1}=n-r
$$
但注意因為不連號，所以從第2個空間(第1顆球與第2顆球所夾住的空間)到第$r$個空間(第$r-1$顆球與第$r$顆球所夾住的空間)，每個都要填入至少1個X，因此就有$x_1 \geq 0, x_2 \geq 1, \cdots, x_r \geq 1, x_{r+1} \geq 0$。因此為了能使用非負整數解個數公式，我們便先對$x_2$到$x_r$這$r-1$個變數各個先給1，於是方程式變為
\begin{eqnarray*}
&x_1+x_2'+\cdots+x_r'+x_{r+1}&=n-r-(r-1)\\
&x_1+x_2'+\cdots+x_r'+x_{r+1}&=n-2r+1
\end{eqnarray*}
其中$x_1 \geq 0, x_2' \geq 0, \cdots, x_r' \geq 0, x_{r+1} \geq 0$，所以利用非負整數解個數公式得到解數$=H^{r+1}_{n-2r+1}=C^{(r+1)+(n-2r+1)-1}_{n-2r+1}=C^{n-r+1}_{n-2r+1}=C^{n-r+1}_{(n-r+1)-(n-2r+1)}=C^{n-r+1}_{r}$種。

結論是，$n$號選$r$號的樂透，開獎號碼完全不連號的情況共有$C^{n-r+1}_{r}$種；$r$號中有部分號碼連號(包含完全連號)的情況共有$C^n_r-C^{n-r+1}_{r}$種。因此，無論是張振華先生的著作，還是黃文璋教授的文章中的公式，我們都可以推導出來：
$$
P(\text{開獎號碼中有連號})=1-P(\text{開獎號碼完全不連號})=1-\frac{C^{n-r+1}_{r}}{C^n_r}
$$

參考資料：

[1] 張振華，機率好好玩(3版)，2014年，台北：五南
網路書店博客來http://www.books.com.tw/products/0010647152
[2]黃文璋，隨機與密碼，數學傳播，第28卷第2期，pp.1-15
http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d282/28201.pdf
亦可見黃教授在國立高雄大學統計研究所的網頁「追求明牌」
http://www.stat.nuk.edu.tw/prost/lottery/nameplate/nameplate.htm