紅色球先取完的機率

昔から言うではありませんか。微分のことは微分でせよと

（漢譯：不是早就說過了嗎？有關微分的事用微分來做吧！）

高木貞治(1875-1960) 

=題目=

袋中有15球，6紅5黑4白，今天從中一次拿一顆球，取完不放回，取完為止。試問，紅球最先被拿完的機率為多少？

=答案=

\( \frac{14}{55} \)

=解析=

由於是依序取球，且取後不放回，並取完為止，所以樣本空間\( S \)之結構為排列。計算樣本空間\( S \)中所包含的樣本點個數：

\[ n(S) = \frac{15!}{6! 5! 4!} = 630630. \]

接著思考所謂紅球先被取完的意思，在此情況之下，最後一球必為黑球或是白球。

假定最後一顆球為黑球，那麼全部6顆紅球必然會出現在最後一顆白球之前。更具體來說，我們可以假設在第5顆黑球與第4顆白球之間有\( x \)顆黑球，然後在第4顆白球之前有6顆紅球、3顆白球以及\( 4 - x \)顆黑球，其中\( x \in \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} \)。亦即形如

6顆紅球、3顆白球、\( 4-x \)顆黑球  ｜  第4顆白球  ｜   \( x \)顆黑球  ｜  第5顆黑球

球的個數確認後，接著來計算排列數，於是這樣一共有

\[ \frac{13!}{6!3!4!} + \frac{12!}{6!3!3!} + \frac{11!}{6!3!2!} + \frac{10!}{6!3!1!} + \frac{9!}{6!3!} = 84084.  \]

接著再假定最後一顆球為白球，那麼全部6顆紅球必然會出現在最後一顆黑球之前。更具體來說，我們可以假設在第4顆白球與第5顆黑球之間有\( y \)顆黑球，然後在第5顆黑球之前有6顆紅球、4顆黑球以及\( 3 - y \)顆黑球，其中\( y \in \{ 0, 1, 2, 3 \} \)。亦即形如

6顆紅球、4顆黑球、\( 3-y \)顆白球  ｜  第5顆黑球  ｜   \( y \)顆白球  ｜  第4顆白球

球的個數確認後，接著來計算排列數，於是這樣一共有

\[ \frac{13!}{6!4!3!} + \frac{12!}{6!4!2!} + \frac{11!}{6!4!1!} + \frac{10!}{6!4!} = 76440.  \]

綜合以上計算結果，可知紅球先取完的機率為

\[ P = \frac{84084 + 76440}{630630} = \frac{14}{55}. \]

=附註=

本題是在臉書高中數學討論區見到的。蘭陽女中陳敏晧老師也曾在《HPM通訊》第十七卷第十期撰文〈如何計算紅球先取完的機率？〉討論。臉書網友的討論間或有謬誤，而陳老師的文章又稍嫌抽象。我在這邊給出一個直接的方法來處理，效果如何，尚待讀者先進批評指教。

106，指考，數學甲，單選1

==問題==

從所有二位正整數中隨機選取一個數，設$p$是其十位數字小於個位數字的機率。關於$p$值的範圍，試選出正確的選項。
(1) 0.22 $\leq p \leq$ 0.33
(2) 0.33 $\leq p \leq$ 0.44
(3) 0.44 $\leq p \leq$ 0.55
(4) 0.55 $\leq p \leq$ 0.66
(5) 0.66 $\leq p \leq$ 0.77

[106，指考，數學甲，單選1]

==解答==

命樣本空間$\Omega = \left\{ \text{所有二位正整數} \right\}$，則$\Omega = \left\{ 10, 11, \cdots, 99 \right\}$，且$n(\Omega) = 90$。

再設事件$A = \left\{ \text{十位數字小於個位數字的二位正整數} \right\}$，則
\begin{eqnarray*}
A
&=& \left\{ 12, 13, \cdots, 89 \right\} \\
&=& \left\{ 12, \cdots, 19 \right\} \sqcup \left\{ 23, \cdots, 29 \right\} \sqcup \cdots \sqcup \left\{ 89 \right\}.
\end{eqnarray*}
(此地符號「$\sqcup$」意為兩互斥集合之聯集)所以
$$
n(A) = 8 + 7 + \cdots + 1 = \frac{(8+1) \cdot 8}{2} = 36.
$$

題目所求$p = P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{36}{90} = \frac{2}{5} = 0.4$，故選(2)。

(解答結束)

107，學測，數學，單選3

==問題==

某公司規定員工可在一星期（七天）當中選擇兩天休假。若甲、乙兩人隨機選擇休假日且兩人的選擇互不相關，試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何？

(1) $\frac{1}{3}$    (2) $\frac{8}{21}$    (3) $\frac{3}{7}$    (4) $\frac{10}{21}$    (5) $\frac{11}{21}$

[107，學測，數學，單選3]

==解答==

命樣本空間$\Omega = \left\{ \left( \text{甲的休假日}, \text{乙的休假日} \right) \right\}$，將甲的休假日記為$ab$，當中$1 \leq a < b \leq 7$。乙也用類似的記法。於是$\Omega = \left\{ (ab, cd) | 1 \leq a < b \leq 7, 1 \leq c < d \leq 7 \right\}$，從而$n \left( \Omega \right) = {7 \choose 2} \times {7 \choose 2}$。

再設事件$A = \text{兩人在同一天休假}$。以集合來寫，即是$A = \left\{ (ab, cd) \in \Omega | \left\{a, b\right\} \cap \left\{c, d\right\} \neq \phi \right\}$。

如果要直接計算$n(A)$，並不好計算。因為要考慮幾種情況，例如兩人的休假日有可能兩天完全相同，也有可能只有一天相同。而若只有一天相同，則必須考慮比較複雜的分布情況。

基於這樣的理由，我們改為計算$n(A^c)$。

事件$A^c = \left\{ (ab, cd) \in \Omega | \left\{a, b\right\} \cap \left\{c, d\right\} = \phi \right\}$。我們先決定甲的休假日$ab$，然後再決定乙的休假日$cd$。在決定甲休假日$ab$時，可以從$1$到$7$中這$7$個數字任選出$2$個，因此有${7 \choose 2}$種選法。接著決定乙的休假日，由於必須滿足$\left\{ a, b \right\} \cap \left\{ c, d \right\} = \phi$，因此乙只能從$1$到$7$中剔除$a$與$b$後剩下的$5$天來選出$2$天，故有${5 \choose 2}$種選法。總結而論，$n(A^c) = {7 \choose 2} \times {5 \choose 2}$。

所以
\begin{eqnarray*}
P(A) &=& 1 - P(A^c) \\
&=& 1 - \frac{{7 \choose 2} \times {5 \choose 2}}{{7 \choose 2} \times {7 \choose 2}}\\
&=& 1 - \frac{10}{21} \\
&=& \frac{11}{21}
\end{eqnarray*}
答案選(5)。

(解答結束)

==評註==

幹嘛要用集合符號來寫？

搞這麼複雜，似乎在脫褲子放屁。

不！

一旦有辦法寫出集合，基本上就算是相當了解其中的結構，從而運算上可以避免「漏算」或是「重複」的情況。

所以我覺得，處理組合學問題，若能寫出集合就應該盡量寫出集合。