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2021年5月10日 星期一

一題迴歸直線的計算

 這篇只是教學材料。

==問題==

甲、乙、丙、丁、戊五位同學每週上課時數(x)與第一次段考英文成績(y)的統計如下表。將原始資料分別標準化,即令X=xμxσx,Y=yμyσy,而YX的回歸直線為Y=aX+b,試求數對(a,b)

每週上網時數x(小時) 1 4 7 10 13
段考英文成績y(分) 78 60 69 51 42

==解答==

首先計算兩個統計變量x,y個別的平均數與標準差。

μx=15(1+4+7+10+13)=7.

(請注意x的值呈現等差數列的形式)

μy=15(78+60+69+51+42)=60.

於是

xμx:6,3,0,3,6,

yμy:18,0,9,9,18.

那麼

σx=15[(6)2+(3)2+02+32+62]=32,

σy=15[182+02+92+(9)2+(18)2]=92.

然後計算共變異數與相關係數:

Covxy=15[(6)18+(3)0+09+3(9)+6(8)]=2435.

rxy=Covxyσxσy=910.

最後就可求出yx的迴歸直線,公式為yμyσy=rxμxσx,代入以上計算的數值,得

y6092=910x732.

而標準化為X=xμxσx=x732,Y=yμyσy=y6092,於是就有

Y=910X,

因此a=910,b=0

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