這篇只是教學材料。
==問題==
甲、乙、丙、丁、戊五位同學每週上課時數(x)與第一次段考英文成績(y)的統計如下表。將原始資料分別標準化,即令X=x−μxσx,Y=y−μyσy,而Y對X的回歸直線為Y=aX+b,試求數對(a,b)。
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | 戊 | |
---|---|---|---|---|---|
每週上網時數x(小時) | 1 | 4 | 7 | 10 | 13 |
段考英文成績y(分) | 78 | 60 | 69 | 51 | 42 |
==解答==
首先計算兩個統計變量x,y個別的平均數與標準差。
μx=15(1+4+7+10+13)=7.
(請注意x的值呈現等差數列的形式)
μy=15(78+60+69+51+42)=60.
於是
x−μx:−6,−3,0,3,6,
y−μy:18,0,9,−9,−18.
那麼
σx=√15[(−6)2+(−3)2+02+32+62]=3√2,
σy=√15[182+02+92+(−9)2+(−18)2]=9√2.
然後計算共變異數與相關係數:
Covxy=15[(−6)⋅18+(−3)⋅0+0⋅9+3⋅(−9)+6⋅(−8)]=−2435.
rxy=Covxyσx⋅σy=−910.
最後就可求出y對x的迴歸直線,公式為y−μyσy=r⋅x−μxσx,代入以上計算的數值,得
y−609√2=−910⋅x−73√2.
而標準化為X=x−μxσx=x−73√2,Y=y−μyσy=y−609√2,於是就有
Y=−910⋅X,
因此a=−910,b=0。
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