連續奇數和為完全平方數的數學歸納法證明

 這篇只是教學材料，沒啥新內容。

==問題==

對於任意正整數n，利用數學歸納法證明

$$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2.$$

==講解==

首先，要證明的等式分為左式與右式。其中左式為$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1)$，而右式為$n^2$。我們要證明的是，無論n代入哪一個正整數，左式的值永遠都要等於右式的值。

數學歸納法的第一步，就是「代入起始值」。以現在這題來說，由於我們要證明的是「對任意正整數n」，也就是所有正整數$1, 2, 3, \cdots$，那麼n就必須從1開始代入。

$n = 1$時，左式為$1$，而右式為$1^2 = 1$，顯然左式等於右式，所以我們會說「$n = 1$時，所要證明的敘述成立」。

接下來是數學歸納法的第二步，稱為「建立歸納假設 (Inductive Hypothesis)」。簡單來說，在高中的一般題目的範疇，就是假設「$n = k$時，要證明的敘述成立」。所以說，我們現在假定了$1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1)$確實會與$k^2$相等！

$$1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) = k^2.$$

然後是數學歸納法的第三步，「從歸納假設導出下一階段也正確」。剛才是在$n = k$時建立了歸納假設「$1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) = k^2$」，現在要從這條等式出發，去推導出下一階段$n = k+1$的情形也會正確。具體步驟如下：

$$\begin{eqnarray*}  左式 &=& 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1) + [2(k+1) - 1] \quad [左式的定義] \\ &=& k^2 +  [2(k+1) - 1] \quad [歸納假設] \\ &=& k^2 + 2k + 1 \quad [展開] \\ &=& (k + 1)^2 \quad [乘法公式] \\ &=& 右式. \end{eqnarray*}$$

這意味著「$n = k + 1$時，所要證明的敘述成立」。

最後我們要再寫上「由數學歸納法得證」，這樣就完成了本題的數學歸納法的證明。

==解答==

$n = 1$時，左式為$1$，而右式為$1^2 = 1$，左式等於右式，所要證明的敘述成立。

設$n = k$時，要證明的敘述成立，即$1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) = k^2$。

$n = k+1$時，

$$\begin{eqnarray*}  左式 &=& 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1) + [2(k+1) - 1] \quad [左式的定義] \\ &=& k^2 +  [2(k+1) - 1] \quad [歸納假設] \\ &=& k^2 + 2k + 1 \quad [展開] \\ &=& (k + 1)^2 \quad [乘法公式] \\ &=& 右式. \end{eqnarray*}$$

$n = k + 1$時，敘述成立。故由數學歸納法得證。

==數學歸納法的結構==

數學歸納法證明，基本上可以分為三個部分：代入起始值、建立歸納假設、從歸納假設導出下一階段也正確。現在讓我們思考一個問題：

你現在走出門，遇到第1個紅綠燈是亮綠燈。然後，上帝降臨你一個神力，一旦你遇到綠燈後，那麼下一個紅綠燈也會亮綠燈。請問你一路上會不會遇到紅燈？

這問題太簡單了，當然是一路綠燈，不可能遇到紅燈！為什麼呢？因為「遇到第1個紅綠燈是亮綠燈」，保證了你的旅程從綠燈開始。接著「一旦你遇到綠燈後，那麼下一個紅綠燈也會亮綠燈」表示，

有第1個綠燈就會有第2個綠燈，

有第2個綠燈就會有第3個綠燈，

...

有第k個綠燈就會有第$k + 1$個綠燈，

...

那當然一路都是綠燈！

但是這與數學歸納法有什麼關係？

謎底揭曉：

代入起始值＝遇到第1個紅綠燈是亮綠燈

建立歸納假設＝一旦你遇到綠燈

從歸納假設導出下一階段也正確＝下一個紅綠燈也會亮綠燈

這樣是不是更能理解數學歸納法的證明步驟呢？希望這樣的比喻能幫助大家更瞭解。