106，指考，數學甲，單選2

==問題==

設$a = \sqrt[3]{10}$。關於$a^5$的範圍， 試選出正確的選項。
(1) 25 $\leq a^5 <$ 30
(2) 30 $\leq a^5 <$ 35
(3) 35 $\leq a^5 <$ 40
(4) 40 $\leq a^5 <$ 45
(5) 45 $\leq a^5 <$ 50

[106，指考，數學甲，單選2]

==解答==

$a = \sqrt[3]{10} \Rightarrow a^3 = 10$。

$8 < a^3 < 27 \Rightarrow 2 < a < 3$。

$a = 2 + d, d \in (0, 1)$。
\begin{eqnarray*}
a^3 = 10
&\Rightarrow& (2 + d)^3 = 10 \\
&\Rightarrow& 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot d + 3 \cdot 2 \cdot d^2 + d^3 = 10 \\
&\Rightarrow& 8 + 12d + 6d^2 + d^3 = 10 \\
&\Rightarrow& 8+12d \approx 10 \\
&\Rightarrow& d \approx \frac{1}{6} \approx 0.16 \quad [\text{略為高估}] \\
&\Rightarrow& a \approx 2.16
\end{eqnarray*}
$a^5 = a^3 \cdot  a^2 = 10 \cdot a^2 \approx 10 \cdot (2.16)^2 = 10 \cdot 4.6656 = 46.656$。

選(5)。

(解答結束)

三元算幾不等式的代數證明

定理：若$x, y, z$皆為非負實數，則恆有
$$
\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}.
$$

[證]：令$\sqrt[3]{x}=a, \sqrt[3]{y}=b, \sqrt[3]{z}=c$，則$x=a^3, y=b^3, z=c^3$。考慮$\frac{x+y+z}{3} - \sqrt[3]{xyz}$，利用「三元三次輪換式」，則
\begin{eqnarray*}
\frac{x+y+z}{3} - \sqrt[3]{xyz}
&=& \frac{1}{3} \left( x+y+z - 3 \sqrt[3]{xyz} \right) \\
&=& \frac{1}{3} \left( \sqrt[3]{x}^3 + \sqrt[3]{y}^3 + \sqrt[3]{z}^3 - 3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{z} \right) \\
&=& \frac{1}{3} \left( a^3 + b^3 +c^3 - 3abc \right) \\
&=& \frac{1}{3} (a+b+c)\left( a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \right) \\
&=& \frac{1}{3} (a+b+c) \frac{1}{2} \left( 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \right) \\
&=& \frac{1}{6} (a+b+c) \left[ (a^2 -2ab + b^2) + (b^2 -2bc +c^2) + (c^2 -2ca +a^2) \right] \\
&=& \frac{1}{6} (a+b+c) \left[ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right] \\
&\geq& 0
\end{eqnarray*}
得$\frac{x+y+z}{3} - \sqrt[3]{xyz} \geq  0$，即$\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}$。

(證明結束)