和的立方公式(二項式定理n=3的情況)、差的立方公式

定理：若$a, b$皆為複數，則

$$
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.
$$

[證一]：直接從左式展開，

\begin{eqnarray*}
(a+b)^3
&=& (a+b)^2 (a+b) \\
&=& (a^2 + 2ab + b^2) (a+b) \\
&=& a^3 + 2a^2b + ab^2 \\
& & +a^2b +2ab^2 + b^3 \\
&=& a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\end{eqnarray*}

[證二]：組合論證法。因為

$$
(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b),
$$
共有3個括號，每個括號裏頭有2種選擇，選$a$或選$b$，於是可以知道，選擇出來的乘積可能有
$$
aaa, aab, abb, bbb
$$
這4種可能情況。($aaa$代表3個括號中都選$a$；$aab$代表3個括號中有2個選$a$、1個選$b$，不考慮順序)

那麼我們要問，有多少種製造$aaa$的方式呢？有多少種製造$aab$的方式呢？...

在選擇過程中，我們只要確定要選那些括號來選$a$就行，剩下的括號直接默認要選$b$。

對於$aaa$，共有${3 \choose 3} = 1$種方式。

對於$aab$，共有${3 \choose 2} = 3$種方式。

對於$abb$，共有${3 \choose 1} = 3$種方式。

對於$bbb$，共有${3 \choose 0} = 1$種方式。

因此整個選擇過程結束後，我們可以得到1個$aaa$(即$a^3$)、3個$aab$(即$a^2b$)、3個$abb$(即$ab^2$)、以及1個$bbb$(即$b^3$)。

所以$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$。

(證明結束)

附註：差的立方公式：若$a, b$皆為複數，則

$$
(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.
$$

[證]：命$A=a, B=-b$，則$(a-b)^3=[a+(-b)]^3=(A+B)^3$，利用和的立方公式，得

\begin{eqnarray*}
(a-b)^3
&=& (A+B)^3 \\
&=& A^3 + 3A^2B +3AB^2 + B^3 \\
&=& a^3 +3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 \\
&=& a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
\end{eqnarray*}

(證明結束)

三元三次輪換式

定理：若$x, y, z$皆為複數，則恆有

$$
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)\left( x^2 +y^2 + z^2 - xy - yz - zx \right).
$$

[證一]：直接對右端展開。

\begin{eqnarray*}
(x+y+z) \left( x^2 +y^2 + z^2 - xy - yz - zx \right)
&=& x^3 +xy^2 +xz^2 - x^2y -xyz - zx^2 \\
& & +x^2y + y^3 + yz^2 - xy^2 - y^2z - xyz \\
& & +x^2z + y^2z + z^3 -xyz - yz^2 -xz^2 \\
&=& x^3 + y^3 +z^3 - 3xyz

\end{eqnarray*}

[證二]：使用和的立方公式[$(p+q)^3 = p^3 = 3p^2q + 3pq^2 + q^3$]與立方和公式[$p^3 + q^3 = (p+q)(p^2 -pq + q^2)$]。從左端出發

\begin{eqnarray*}
x^3 + y^3 +z^3 - 3xyz
&=& (x^3 + y^3) + z^3 -3xyz \\
&=& (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - 3x^2y - 3xy^2 + z^3 - 3xyz \\
&=& (x+y)^3 + z^3 - 3xy(x+y) - 3xyz \\
&=& [(x+y) + z] [(x+y)^2 - (x+y)z + z^2] - 3xy[(x+y) +z] \\
&=& (x+y+z)(x^2 + 2xy + y^2 - zx - yz + z^2) -3xy(x+y+z) \\
&=& (x+y+z)[(x^2 + 2xy + y^2 - zx - yz + z^2) - 3xy] \\
&=& (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
\end{eqnarray*}

(證明結束)

附註：

1. 楊維哲：「這幾乎是關於三元的需要熟悉的唯一的公式！」(湖濱高中數學講義之二—代數，五南出版，第18頁)

2. 為什麼要考慮這樣的因式分解呢？楊維哲在其書中沒有給出答案，而我所能想到的唯一一個答案是此因式分解可用於三元算幾不等式的證明之中，所以有一點必要性去研究這個式子。此外，如果直接從左端出發，大概也可以視為讓學生練習和的立方公式與立方和公式的一個好機會。

3. 因式分解嘛，當然我們可以假定所考慮的數系是隨便一個具么可換環(commutative ring)，不用像我上頭寫的「皆為複數」。但是其實把條件推的那麼極端，我看不出來有什麼好處，至少在高中教學面是毫無意義的。(上課時可以隨口亂啼，讓學生產生莫名其妙的崇拜)

警告：

如果令$c=0$，那麼本來的三元三次輪換式$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$會變為
$$
a^3+b^3+0^3=(a+b+0)(a^2+b^2+0^2-ab-b \times 0 -0 \times a),
$$
也就是立方和公式
$$
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).
$$
你要注意立方和公式根本是三元三次輪換式的特例！