已知集合差集關係，求參數$a$值

=題目= 

已知 $a$ 為整數， $A = \{ 5, 7, a^2+4a+7 \}, B = \{ 7, 3, 2 \}$，且 $A - B = \{ 5 \}$，試求實數 $a$ 的值。

=答案=

$a = 0, -4, -2$

=詳解=

由於集合的寫法允許元素重複出現，所以集合 $A$ 雖然寫成$\{ 5, 7, a^2 + 4a + 7 \}$看起來是3個元素，但可能重複，也就是說，帶有未知數 $a$ 的式子 $a^2 + 4a + 7$ 可能是5，也可能是7，也可能不是5也不是7。

所以我們分成以下3種情形進行討論。

情形1：$a^2 + 4a +7 = 5$

此時有 $a^2 + 4a + 4 = 2$，因式分解得 $(a + 2)^2 = 2$，解出 $a = -2 \pm \sqrt{2}$。但這與題目條件「已知 $a$ 為整數」矛盾，因為無論是 $-2 + \sqrt{2}$ 還是 $-2 - \sqrt{2}$都不是整數。所以此情形不成立。

情形2：$a^2 + 4a +7 = 7$

此時有 $a^2 + 4a = 0$，因式分解得 $a(a + 4) = 0$，解出 $a = 0, -4$。

接著再細分2個子情形繼續討論。

    情形2.1：$a = 0$

    此時 $A = \{ 5, 7, 7 \} = \{ 5, 7 \}$，然後 $A \cap B = {7}$，確實有 $A - B = \{ 5 \}$，滿足題目條件。

    情形2.2：$a = -4$

    此時 $A = \{ 5, 7, 7 \} = \{ 5, 7 \}$，然後 $A \cap B = {7}$，確實有 $A - B = \{ 5 \}$，滿足題目條件。

情形3：$a^2 + 4a +7 \ne 5$，且$\ne 7$

此時集合 $A$ 確實有3個元素。因為 $A - B = \{ 5 \}$，所以表示 $A$ 中的3個元素中，除了5之外，另外2個元素必然也是 $B$ 的元素。所以 $a^2 + 4a + 7 \in B$。

此時又要再細分2個子情形繼續討論。

    情形3.1：$a^2 + 4a + 7 = 3$

    此時有 $a^2 + 4a +4 = 0$，因式分解得 $(a + 2)^2 = 0$，解出 $a = -2$。

    情形3.2：$a^2 + 4a + 7 = 2$

    此時有 $a^2 + 4a + 4 = -1$，因式分解得 $(a + 2)^2 = -1$，此方程式無解。

綜上所述，$a = 0, -4, -2$

三角函數疊合反推發生極值區間範圍的決定參數

==問題==

已知函數$y = f(x) = \sqrt{3} \sin \alpha x + \cos \alpha x$（$\alpha > 0$）的圖形在$- \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{3}$的範圍下，恰有一個最大值點與最小值點，則實數$\alpha$的範圍為何？

==解答==

首先對函數進行疊合，

$$y = f(x) = \sqrt{3} \sin \alpha x + \cos \alpha x = 2 \sin \left( \alpha x + \frac{\pi}{6} \right).$$

由$- \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{3}$得$\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha \pi}{4} \le \alpha x + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}$。令$\theta = \alpha x + \frac{\pi}{6}$，故原本的函數$f(x)$變為$g(\theta) = 2 \sin \theta$，其中$\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha \pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}$，且$g(\theta)$在$\left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha \pi}{4},  \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}\right]$中恰有一個最大值與最小值點。

關於$\theta$之範圍，可看成是以$\frac{\pi}{6}$為出發點，向左延伸$\frac{\alpha \pi}{4}$、向右延伸$\frac{\alpha \pi}{3}$。左右延伸量的長度比為$\frac{\alpha \pi}{4} : \frac{\alpha \pi}{3} = 3: 4$。注意向右延伸的長度比較長！

由上圖可知，在$\alpha$充分小時，$y = g(\theta)$在$\left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha \pi}{4},  \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}\right]$是嚴格遞增的。我們逐步增加$\alpha$的大小，在區間右端點達到$\frac{3\pi}{2}$時，$\alpha = 4$，這時區間左端點為$- \frac{5\pi}{6}$，但$g(\theta)$會在$\left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha \pi}{4},  \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}\right]$發生2次最小值，與題目條件矛盾。因此右端點$\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}$必須$< \frac{3\pi}{2}$，也就是有

$$\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3} < \frac{3\pi}{2},$$

得$\alpha < 4$。

綜上所述，本題答案為$0 < \alpha < 4$。