2023年8月28日 星期一

[106學測,排列組合] 小明午餐計畫安排:牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯

 ==問題==

小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇:牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐:

(甲)每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次;

(乙)連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食。

根據上述原則,小明這五天共有幾種不同的午餐計畫?

(1)52    (2)60    (3)68    (4)76    (5)84

(出處:106,學測數學)

==答案==

(2)

==解析==

首先,因為餐點只有4種,而每天都只能吃1種,然後又每種都至少必須點1次,這表示必然有其中一種餐點選了2次(而其他餐點都被各選1次)。

為了討論方便,我們將4種餐點分別記為$N_1, N_2, R_1, R_2$(麵:Noodle;飯:Rice)。

按照前文所述,當我們只先關心該週餐點構成,先不討論吃的順序,那就有以下4種情況:

(1)$N_1$重複:$N_1, N_1, N_2, R_1, R_2$

(2)$N_2$重複:$N_1, N_2, N_2, R_1, R_2$

(3)$R_1$重複:$N_1, N_2, R_1, R_1, R_2$

(4)$R_2$重複:$N_1, N_2, R_1, R_2, R_2$

接著我們來處理排列的順序。

根據條件(乙)「連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食」,那麼以上的4種情況中,前兩種(麵重複)比較容易處理,我們可以用兩個$R$去把三個$N$給隔開,形如

$$N_\square R_\square N_\square R_\square N_\square$$

(注意現在已經開始考慮順序了!)以情況(1)來說,兩個$R$的下標只能不重複地填入1與2,然後三個$N$的下標就是填入兩個1與一個2,因此方法數為

$$2! \times \frac{3!}{2!1!} = 2 \times 3 = 6.$$

情況(2)討論的方式也相同,只不過在填入三個$N$的下標時改為填入一個1與兩個2。因此方法數同樣也是

$$2! \times \frac{3!}{1!2!} = 2 \times 3 = 6.$$

然後是情況(3)與(4)了。

同樣根據條件(乙),對於情況(3),必須①$N_1, N_2$不相鄰、②$R_1, R_1$不相鄰,這種限制位置的排列問題,依照過去學習經驗,我們應該採用排容原理。設事件$A=\{N_1, N_2\text{不相鄰}\}$、事件$B = \{ R_1, R_1不相鄰 \}$,於是

$$A'=\{N_1, N_2\text{相鄰}\}, B' = \{ R_1, R_1相鄰 \}.$$

注意無論是$n(A'), n(B')$還是$n(A' \cap B')$都很容易計算!使用排容原理與De Morgan定律,我們有

$$\begin{align*}  n(A \cap B) &= n[(A' \cup B')'] \\ &=n(U) - n(A' \cup B') \\ &=\frac{5!}{2!} - [n(A') + n(B') - n(A' \cap B')] \\ &= 60 - \left[\frac{4!}{2!}\times 2! + 4! - 3!\times 2!\right] \\ &= 60 -[24 + 24 - 12] \\ &= 24. \end{align*}$$

情況(4)的討論基本上與情況(3)相仿,只是要把本來的事件$B = \{ R_1, R_1不相鄰 \}$換成事件$C = \{ R_2, R_2不相鄰 \}$,然後計算的方式與數字都會完全相同,因此方法數同樣也是24。

綜上所述,小明安排午餐的方法一共是$6 + 6 + 24 + 24 = 60$種,選(2)。

(解答終了)

2023年8月24日 星期四

[高中解析幾何] 已知三角形兩高方程式與三角形一頂點,求三角形另兩頂點

==問題== 

已知$\Delta ABC$中,兩條高所在直線的方程式為$L_1:2x-3y+1=0$和$L_2:x+y=0$,且頂點$A$為$(1, 2)$,試求$\overline{BC}$所在之直線方程式。

(出處:新竹高中112學年高三數學A學測複習講義)

==答案==

$2x+3y+7=0$

==解析==

設$\Delta ABC$之垂心為$H$,於是$H$即為$L_1$和$L_2$的交點,解聯立方程式得$H=\left(\frac{-1}{5}, \frac{1}{5} \right)$。

由垂心的定義,必然有$\overrightarrow{HB} \perp \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{HC} \perp \overrightarrow{AB}$及$\overrightarrow{HA} \perp \overrightarrow{BC}$。從而可以知道直線$BC$的法向量$\overrightarrow{n}$必與$\overrightarrow{HA} = \left( \frac{6}{5}, \frac{9}{5} \right)$平行,因此可以取$\overrightarrow{n} = (2, 3)$,然後便可假定直線$BC$的方程式為$2x+3y=k$,其中$k$為待定常數。

再根據題目條件,直線$BC$與$L_1, L_2$的兩個交點必然是$B$與$C$,但此時無法確定哪個交點是$B$、哪個交點是$C$。我們暫且將這兩個交點記為$P$與$Q$,然後解出$P = \left( \frac{k-1}{4}, \frac{k+1}{6} \right)$與$Q = (-k, k)$。

由第二段所述的垂直關係,必有$\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{QH}$,由內積為零得方程式

$$\frac{k-5}{4}\cdot \frac{5k-1}{5} + \frac{k-11}{6} \cdot \frac{1-5k}{5} = 0.$$

解得$k = \frac{1}{5}$或$-7$。然而,若$k = \frac{1}{5}$,則$Q = \left( \frac{-1}{5}, \frac{1}{5} \right) = H$,垂心與頂點重合,矛盾!所以$k$只能是$-7$,得直線$BC$的方程式為$2x+3y=-7$。

(解答終了)