[高中解析幾何] 已知三角形兩高方程式與三角形一頂點，求三角形另兩頂點

==問題== 

已知$\Delta ABC$中，兩條高所在直線的方程式為$L_1:2x-3y+1=0$和$L_2:x+y=0$，且頂點$A$為$(1, 2)$，試求$\overline{BC}$所在之直線方程式。

（出處：新竹高中112學年高三數學A學測複習講義）

==答案==

$2x+3y+7=0$

==解析==

設$\Delta ABC$之垂心為$H$，於是$H$即為$L_1$和$L_2$的交點，解聯立方程式得$H=\left(\frac{-1}{5}, \frac{1}{5} \right)$。

由垂心的定義，必然有$\overrightarrow{HB} \perp \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{HC} \perp \overrightarrow{AB}$及$\overrightarrow{HA} \perp \overrightarrow{BC}$。從而可以知道直線$BC$的法向量$\overrightarrow{n}$必與$\overrightarrow{HA} = \left( \frac{6}{5}, \frac{9}{5} \right)$平行，因此可以取$\overrightarrow{n} = (2, 3)$，然後便可假定直線$BC$的方程式為$2x+3y=k$，其中$k$為待定常數。

再根據題目條件，直線$BC$與$L_1, L_2$的兩個交點必然是$B$與$C$，但此時無法確定哪個交點是$B$、哪個交點是$C$。我們暫且將這兩個交點記為$P$與$Q$，然後解出$P = \left( \frac{k-1}{4}, \frac{k+1}{6} \right)$與$Q = (-k, k)$。

由第二段所述的垂直關係，必有$\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{QH}$，由內積為零得方程式

$$\frac{k-5}{4}\cdot \frac{5k-1}{5} + \frac{k-11}{6} \cdot \frac{1-5k}{5} = 0.$$

解得$k = \frac{1}{5}$或$-7$。然而，若$k = \frac{1}{5}$，則$Q = \left( \frac{-1}{5}, \frac{1}{5} \right) = H$，垂心與頂點重合，矛盾！所以$k$只能是$-7$，得直線$BC$的方程式為$2x+3y=-7$。

（解答終了）

一道三角形三邊長關係的線性方程組問題

==問題== 

設$a, b, c$為$\Delta ABC$的三邊長，且使方程組$\left\{ \begin{align*} &ax+by=c \\ &bx+cy=a  \end{align*} \right.$有無限多組解，則$\Delta ABC$是何種三角形？

==解答==

由於已知線性方程組為無限多組解，而由二元一次線性方程組的幾何意義可知，此時兩條方程式可視為同一條直線，因此係數與常數之比例相同，亦即有

$$a:b = b:c = c:a,$$

其中依序是$x$係數比例、$y$係數比例與常數比例。將比例式改為分數式，

$$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}.$$

假定比值為$k$，得

$$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} = k.$$

（注意$k$為正數相除的結果，所以$k$必為正數）於是可得

$$a = bk, b= ck, c = ak.$$

注意到這三個關係式中，$a, b, c$各在等號兩邊恰出現1次，所以考慮三數乘積得

$$a\cdot b \cdot c = (bk) \cdot (ck) \cdot (ak),$$

整理得

$$abc = abc \cdot k^3,$$

於是解出$k = 1$，故$a = b= c$，即$\Delta ABC$為正三角形。

（解答終了）

三角形ASA全等判定法則的一則探險故事

198X年，知名考古學家暨探險家印第安那瓊斯博士收到法國神秘富豪阿布拉都·鐵托三世的委任，要到中南美洲的瑪雅羽蛇神廟探險，目標是神祕的羽蛇神之眼。

印第安那瓊斯收到消息後，立刻撥了通電話到台灣，邀請了多年好友，在新竹清華大學數學系做研究的周伯欣一同到中南美洲去探險。

接到印第安那瓊斯的邀請，周伯欣當然義不容辭立刻就答應了。於是兩人便在香港大嶼山機場碰面，一同乘坐國泰航空C863航班，直達位於中南美洲瑪雅遺跡入口的國家---貝里斯。

在經歷重重犯難後，兩人終於進入了羽蛇神廟的最內部。遺跡內部的神龕只能容許一人側身進入，經過討論，印第安那瓊斯博士決定自己進入，請周伯欣在神龕門口守著。然而神龕裏頭有重重機關，若沒有按著正確的路徑進去，那麼四周牆上設置的機關會立刻射出數以萬計的毒箭，同時天花板會立刻崩塌。另外，神龕中鋪設的每一塊石磚，下方都有精密的測重機關。如果踏上去後，只要重量不對，一樣會引發毒箭機關。

在這情況限制下，印地安納博士無法拿著紀錄神龕裡頭正確路徑的「詛咒的陶板」進入神龕。他將「詛咒的陶板」交給了周伯欣，隻身一人，只拿著一支火把便進入神龕了。兩人透過無線電確認路徑。

「伯欣，我現在走進了神龕了，地上有三條『橫』線，長度都不一樣，我該選擇哪一條？」

「OK，印第，我看看。嗯...你選擇中間那一條走。走5塊石磚就好。」

「好，我看到了。」

「小心！你一定要從左邊緩步走到右邊，確認那一條橫線上的每一塊石磚都完全的踩下。千萬不要踩出線外！」

「好...這難不倒我。」

約莫過了三十秒。

「印第，現在狀況如何？」

「我走完那一條線了，每一塊石磚應該都有被踩下。至少我現在還能講話。喔，shit，接著我該如何走？這地上有相當多路徑！Fuck，我好像踩到他媽的什麼機關...一股強風吹了過來，他媽的火把被吹熄了！」

「印第，別慌。我看看。喔！快，拿起你的手槍，往你前方偏左30度的方向開槍，那應該有辦法點燃神廟盡頭的那一排油燈。」

「好，來吧！」

砰的一聲，隨之從神龕裡傳來陣陣回音。

「印第？印第？」

「真有你的，亮了亮了。但是現在我才發現，我所在位置不能再往前了。前頭地上都是荊棘，現在沒時間處理它們。而且，羽蛇神之眼就在那些油燈底下，而油燈有好幾個？」

「你先退回來，慢慢回到橫線一開始的起點位置。油燈有幾個？」

「我看到七個。」

「怪了，『詛咒的陶板』上頭畫著九個！」

「那我他媽的怎麼知道要選哪一個？每個油燈底下都有路徑通過去？該走哪一條？」

「嗯...從左數來第三個！」

「你確定？但是你忘了圖上記載的個數與我看到的不一樣啊！」

「啊，對，差點害死你了！我想想...對，你站回起點了吧？面向前方，走你前方偏右45度的方向，那應該就行了！」

「你真是他媽的聰明！」

「快，印第，外頭的鷹嘴神像沙漏的沙要漏光了，你所剩時間不多了！」

「OK，我要得手了。把繩子拋進來！」

不到十秒鐘，神廟天花板開始震動，似乎就要崩塌下來了。

「印第！」

「抓住！」

周伯欣一把接住印第安那瓊斯博士從神龕裡丟出的羽蛇神之眼，就在神龕天花板即將崩塌之際，印第安那瓊斯總算在最後一刻爬出了神龕。兩人命也沒似的一般拔腿狂奔。總算完成了奪寶任務。

Serge Lang, Geometry(2nd ed.), Exercise 1.A.3, Solution