用因式分解處理一道不定方程式

補習班的匿名群組中，有學生問了一道不定方程式：

已知$a, b$皆為正整數，且$a<b$，則滿足方程式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{74}$的數對$(a, b)=$            。（有3組解）

同事（不曉得哪一位）給出了以下的解法：

同事的分析十分細密，式子的變形玩得666。我沒有同事那麼擅長處理式子變形，所以想了一個做法：

對於題目的方程式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{3}{74}$左右同乘以$74ab$得

$$74b+74a=3ab,$$

整理得

$$3ab-74a-74b=0$$

聯想因式分解$xy+x+y+1=(x+1)(y+1)$，再對整理後的式子左右同乘以3，得

$$9ab-222a-222b=0.$$

於是可以改寫為

$$(3a - 74)(3b - 74) - 74\times 74 = 0.$$

也就是

$$(3a - 74)(3b - 74) = 74\times 74.$$

其中$3a-74$與$3b-74$都是正整數，且$3a-74<3b-74$，所以將$74\times 74$分解為一小一大的整數的乘積：

$$74\times 74 = 37 \times 148 = 4 \times 1369 = 2 \times 2738 = 1 \times 5476.$$

得到

$$(3a-74, 3b-74) = (37, 148), (4, 1369), (2, 2738), (1, 5476).$$

故解出

$$(a, b) = (37, 74), (26, 481), (X, X), (25, 1850).$$

2016高雄中學科學班方程式正整數解問題

=問題= 

設$x>y$，求方程式$x^2+y^2=208(x-y)$的所有正整數解。

=解答=

首先由題目條件$x^2 + y^2 = 208(x - y)$得

$$x^2 + 2xy + y^2 = 208(x-y) + 2xy,$$

於是

$$(x+y)^2 = 2 [104(x - y) + xy],$$

這表示$(x+y)^2$是偶數，於是$x+y$是偶數。那麼可令$x+y = 2m$，代回得

$$4m^2 = 2 [104(x-y) + xy],$$

$$xy = 2[m^2 - 52(x-y)],$$

所以$xy$也是偶數。由此可知$x, y$之中至少其一必為偶數。再由$x+y$為偶數可知，$x, y$有相同的奇偶性，故$x, y$必同為偶數。

現在命$x = 2a, y = 2b$，代回$x^2 + y^2 = 208(x-y)$得

$$4a^2 +4b^2 = 208 \cdot 2(a - b),$$

$$a^2 + b^2 = 104(a - b).$$

仿以上的討論，可知$a, b$必同為偶數，再命$a = 2c, b = 2d$，得

$$c^2 + d^2 = 52(c - d).$$

續行此法，得

$$c = 2e, d = 2f,$$

$$e^2 + f^2 = 26(e - f),$$

$$e = 2g, f = 2h,$$

$$g^2 + h^2 = 13(g - h).$$

至此無法再按同格式化簡。注意$x = 2^4g, y = 2^4h$。我們對上式進行變形，

$$g^2 - h^2 + 2h^2 = 13(g - h),$$

$$2h^2 = (g - h)(13 - g - h).$$

利用算幾不等式有

$$\frac{(g - h) + (13 - g - h)}{2} \ge \sqrt{(g-h)(13 - g -h)},$$

整理得

$$\frac{13 -2h}{2} \ge \sqrt{2h^2},$$

$$2\sqrt{2}h \le 13 - 2h,$$

$$h \le \frac{13}{2\sqrt{2} + 2} = \frac{13(\sqrt{2} - 1)}{2} \approx 2.692.$$

所以$h$可能為1或2。

若$h  =1$，則

$$g^2 + 1 = 13(g - 1),$$

解得

$$g = \frac{13 \pm \sqrt{143}}{2} \notin \mathbb{Z}.$$

是以$h \ne 1$。

若$h = 2$，則

$$g^2 + 4 = 13(g - 2),$$

解得

$$g = 3 \quad 或\quad 10.$$

反推可知

$$(x, y) = (48, 32) \quad 或 \quad (160, 32).$$

=附記=

這是2017年3月17日寫的舊文，一直沒有打字，只是用照片的方式把解答貼在臉書粉絲頁。這幾天整理照片，覺得當時的解法還是頗有趣味，既用了整除性的討論，還用了算幾不等式估計範圍，應該打字下來做紀錄。