2021年1月15日 星期五

圓方程式與平面向量的一個問題

 =問題=

學校教官來到圓形公園進行大地尋寶課程,教官發給同學一份圓形公園的平面地圖,地圖上給了三個提示:

第一,將此圓形公園的方程式設為C:(x+2)2+(y4)2=25且寶物就藏在地圖中的P點;

第二,請移動至地圖上的大樹A點處拿取第二個提示;

第三,請移動至地圖上的雕像B點拿取第三個提示。

欣茹A,B兩處拿到的分別為AP=[210],BP=[104]。已知A,B兩點均在圓周上,請問寶藏地點P的座標為何?

=解答=

C的圓心為C=(2,4),半徑為5。

計算AB如下:

AB=APBP=[210][104]=[86],

於是可知|AB|=10,故可斷定A,B為直徑兩端點。再由圓參數式可假設

A=(2+5cosθ,4+5sinθ),B=(25cosθ,45sinθ).

再假設P點座標為(p1,p2),於是代回題目所給APBP可得

AP=[p1(2+5cosθ)p2(4+5sinθ)]=[210],

BP=[p1(25cosθ)p2(45sinθ)]=[104].

重新整理,可得兩組二元一次方程式:

{p1+25cosθ=2p1+2+5cosθ=10{p245sinθ=10p24+5sinθ=4.

便可解出p1=4,p2=3,即P之座標為(4,3)

=附註=

育嫆說:

所以看來我給的解法不是那麼友善...但我也沒想出其他作法,傷腦筋喔!

1 則留言:

  1. 有更簡單的解法!!因為線段AB是直徑,所以通過圓心C,且AC向量=CB向量=1/2*AB向量=(-4,-3),OA=OC+CA=(-2,4)+(4.3)=(2.7),OP=OA+AP=(2,7)+(2,-10)=(4,-3) (PS:最後兩式中都是向量)

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