=問題=
學校教官來到圓形公園進行大地尋寶課程,教官發給同學一份圓形公園的平面地圖,地圖上給了三個提示:
第一,將此圓形公園的方程式設為C:(x+2)2+(y−4)2=25且寶物就藏在地圖中的P點;
第二,請移動至地圖上的大樹A點處拿取第二個提示;
第三,請移動至地圖上的雕像B點拿取第三個提示。
欣茹至A,B兩處拿到的分別為→AP=[2−10],→BP=[10−4]。已知A,B兩點均在圓周上,請問寶藏地點P的座標為何?
=解答=
圓C的圓心為C=(−2,4),半徑為5。
計算→AB如下:
→AB=→AP−→BP=[2−10]−[10−4]=[−8−6],
於是可知|→AB|=10,故可斷定A,B為直徑兩端點。再由圓參數式可假設
A=(−2+5cosθ,4+5sinθ),B=(−2−5cosθ,4−5sinθ).
再假設P點座標為(p1,p2),於是代回題目所給→AP與→BP可得
→AP=[p1−(−2+5cosθ)p2−(4+5sinθ)]=[2−10],
及
→BP=[p1−(−2−5cosθ)p2−(4−5sinθ)]=[10−4].
重新整理,可得兩組二元一次方程式:
{p1+2−5cosθ=2p1+2+5cosθ=10與{p2−4−5sinθ=−10p2−4+5sinθ=−4.
便可解出p1=4,p2=−3,即P之座標為(4,−3)。
=附註=
育嫆說:
所以看來我給的解法不是那麼友善...但我也沒想出其他作法,傷腦筋喔!
有更簡單的解法!!因為線段AB是直徑,所以通過圓心C,且AC向量=CB向量=1/2*AB向量=(-4,-3),OA=OC+CA=(-2,4)+(4.3)=(2.7),OP=OA+AP=(2,7)+(2,-10)=(4,-3) (PS:最後兩式中都是向量)
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