用因式分解處理一道不定方程式

補習班的匿名群組中，有學生問了一道不定方程式：

已知$a, b$皆為正整數，且$a<b$，則滿足方程式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{74}$的數對$(a, b)=$            。（有3組解）

同事（不曉得哪一位）給出了以下的解法：

同事的分析十分細密，式子的變形玩得666。我沒有同事那麼擅長處理式子變形，所以想了一個做法：

對於題目的方程式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{3}{74}$左右同乘以$74ab$得

$$74b+74a=3ab,$$

整理得

$$3ab-74a-74b=0$$

聯想因式分解$xy+x+y+1=(x+1)(y+1)$，再對整理後的式子左右同乘以3，得

$$9ab-222a-222b=0.$$

於是可以改寫為

$$(3a - 74)(3b - 74) - 74\times 74 = 0.$$

也就是

$$(3a - 74)(3b - 74) = 74\times 74.$$

其中$3a-74$與$3b-74$都是正整數，且$3a-74<3b-74$，所以將$74\times 74$分解為一小一大的整數的乘積：

$$74\times 74 = 37 \times 148 = 4 \times 1369 = 2 \times 2738 = 1 \times 5476.$$

得到

$$(3a-74, 3b-74) = (37, 148), (4, 1369), (2, 2738), (1, 5476).$$

故解出

$$(a, b) = (37, 74), (26, 481), (X, X), (25, 1850).$$