多項式餘式問題一道

=題目= 

已知多項式\(f(x)\)除以\( x^2 + x + 1 \)和\( x+1 \)的餘式分別為\(2x-3\)和1，若\((x+2)f(x)\)除以 \((x+1)(x^2+x+1)\)的餘式為\(ax^2+bx+c\)，其中\(a,b,c\)為實數，則\(a−2b+c\)之值为何？

=答案=

\( -6 \)

=解析=

\( \begin{align*} f(x)&=(x^2+x+1)q_1 (x)+2x-3 \\ f(x)&=(x+1)q_2(x)+1 \Rightarrow f(-1)=1 \\ 1&=f(-1)=[(-1)^2+(-1)+1]q_1(-1)+2(-1)-3=q_1(-1)-5 \\ q_1(-1)&=6 \end{align*} \)

因此\( q_1(x)=6+p(x)(x+1)\)，其中\( p(x)\) 為任意多項式。（這裡使用了Newton插值法的書寫方式）

於是\( f(x)=(x^2+x+1)[6+p(x)(x+1)]+2x-3 = 6(x^2+x+1)+(x+1)(x^2+x+1)p(x)+2x-3 \)。

然後

\( \begin{align*} (x+2)f(x)&=(x+2)[6(x^2+x+1)+(x+1)(x^2+x+1)p(x)+2x-3] \\ &=6(x+2)(x^2+x+1)+(x+2)(x+1) (x^2+x+1)p(x) + (x+2)(2x-3) \\ &=6[(x+1)+1](x^2+x+1)+(x+1)(x^2+x+1)(x+2)p(x) +2x^2+x-6 \\ &=6(x+1)(x^2+x+1)+6(x^2+x+1) +(x+1)(x^2+x+1)(x+2)p(x)+2x^2+x-6 \\ &=(x+1)(x^2+x+1)[(x+2)p(x)+6]+8x^2+7x \end{align*} \)

\( \Rightarrow a=8, b=7, c=0 \)

所求\( a-2b+c=8-14+0=-6\)

（解答終了）

=附註=

本題是在臉書高中數學討論區社團看到的，一位彰化女中的學生鄭雅菁提問的。儘管她回覆網友她得到解答了，但她貼出來的解答卻是有問題的，我看了後覺得怪怪的，也不知為何討論串的留言被關閉，所以我就自己算了一遍，私訊發給她，也順道把這題目給我的學生們瞧瞧。

一道求高次多項式除法餘式的問題

        W小姐下午發來一道求多項式除法餘式的問題（不知道是她在得勝者(👎)那邊算到的題目還是啥的），我起初以為用假設餘式的方式、再代入特殊值就可以解出，然而進展不順利。後來我改用二項式定理處理，但是計算量十分大，跟直接寫直式除法沒兩樣，對於考場解題幾乎沒任何用處。我想了三個小時左右，總算勉強搞出來一個考試中可行的方法，這題算是一種特殊的求餘式問題吧！記錄下來，以後或許再碰到就有素材可以用。

==問題==

設$f(t) = t^{15} + 3t^{10} - t^5 - 2$，若$f(t)$除以$t^4 - t^2$之餘式為$a t^3 + b t^2 + ct + d$，求$a-b-c+d$。

==解答==

        假設除法商式為$q(t)$，於是可寫出恆等式

$$t^{15} + 3t^{10} - t^5 - 2 = (t^4 - t^2) \cdot q(t) +at^3 +bt^2 +ct +d.$$

整理為

$$t^{15} + 3t^{10} - t^5 - at^3 - bt^2 - ct - (2+d) = (t^4 - t^2) \cdot q(t),$$

然後

$$t^{15} + 3t^{10} - t^5 - at^3 - bt^2 - ct - (2+d) = t^2 (t-1) (t+1) \cdot q(t).$$

注意到右式中有個因子為$t^2$，所以左式必為$t^2$的倍式，從而可判定左式沒有1次項與常數項，故得到

$$c=0, 2+d = 0,$$

即$c = 0, d= -2$。

        重新再寫一遍式子，

$$t^{15} + 3t^{10} - t^5 - at^3 - bt^2 = t^2 (t-1) (t+1) \cdot q(t).$$

根據多項式乘法的消去律，左右兩端同時消去$t^2$，得到

$$t^{13} + 3t^8 - t^3 - at - b = (t-1) (t+1) \cdot q(t).$$

接著分別代入$t = 1$與$t = -1$，得

$$\left\{ \begin{align*} &1 + 3 - 1 - a - b = 0 \\ &-1 + 3 + 1 + a - b = 0 \end{align*} \right.$$

解出$a = 0, b= 3$。因此所求

$$a - b - c + d = 0 - 3 - 0 + (-2) = -5.$$

（解答終了）

==註記==

題目被除式中的未知數的次數15, 10, 5實在很有迷惑性，一直讓我想要使用變數變換$z = t^5$，但發現這樣變換後沒什麼鳥用。也許是我沒看出題目要害，所以本該這樣變換但沒走到正確的路。隨便啦，都耗了我三個小時，解出來就好。