2021年10月25日 星期一

對數不等式一題

==問題==

a為實數。當a為何值時,式loga(a2+a)為正?

==解答==

首先分析對數的底數與真數。

底數為a,故a>0a1

真數為a2+a,所以a2+a>0。對不等式a2+a>0左右同加14,得a2+a+14>14,於是(a+12)2>14,化簡為(a+12)2(12)2>0,利用平方差公式得(a+1212)(a+12+12)>0,即a(a+1)>0,從而a>0a<1

綜上所述,得a>0a1

接著分析對數不等式本身。

loga(a2+a)>0即為loga(a2+a)>loga1。此時必須按a的大小分情況才能確定下一步。

情形10<a<1

此時由loga(a2+a)>loga1可推得a2+a<1,於是a2+a1<0,解得152<a<1+52。但注意在此情況預先限定0<a<1,所以結論是0<a<1+52

情形2a>1

此時由loga(a2+a)>loga1可推得a2+a>1,於是a2+a1>0,解得a<152a>1+52。但注意在此情況預先限定a>1,所以結論是a>1

綜合以上情形1與情形2討論結果,可得0<a<1+52a>1

事實上,如果考慮函數y=logx(x2+x),則不等式loga(a2+a)>0可看做尋找函數曲線在x軸上方的部分。此函數的圖形如下:

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