用 Cauchy 不等式處理幾何不等關係證明題

=題目= 

如圖，直角三角形 $ABC$ 中， $\angle C = 90^{\circ}$ ， $M$ 為 $\overline{BC}$ 中點， $M$ 到斜邊 $\overline{AB}$ 的距離為 $d$ ，試說明 $d \le \frac{1}{3} \overline{AM}$ 。

=詳解=

$(1^{\circ})$ 不失一般性，假設 $\overline{CM} = 1, \overline{AC} = h > 0$，則

$$\begin{align*} &\overline{MB} = 1, \\ &\overline{AM} = \sqrt{ {\overline{CM}}^2 + {\overline{AC}}^2 } = \sqrt{h^2 + 1}, \\ &\overline{AB} = \sqrt{ \overline{CB}^2 + \overline{AC}^2 } = \sqrt{ h^2 + 4 }. \end{align*}$$

$(2^{\circ})$ 對於 $ \Delta ABM $，利用三角形面積公式有

$$ \frac{ \overline{MB} \times \overline{AC} }{2} = \frac{ \overline{AB} \times \overline{EM} }{2}. $$

即

$$ \frac{ 1 \times h }{2} = \frac{ \sqrt{h^2 + 4} \times d }{2}. $$

故

$$ d = \frac{h}{ \sqrt{h^2 + 4} }. $$

$(3^{\circ})$ 利用 Cauchy 不等式有

$$ \begin{align*} d &= \frac{h}{ \sqrt{h^2 + 4} }\\ &= \frac{h \sqrt{h^2 + 1}}{ \sqrt{h^2 + 4} \sqrt{h^2 + 1} } \\ &= \frac{h}{ \sqrt{h^2 + 4} \sqrt{h^2 + 1} } \sqrt{h^2 + 1} \\ &= \frac{h}{ \sqrt{h^2 + 2^2} \sqrt{h^2 + 1^2} } \overline{AM} \\ &=\frac{h}{ \sqrt{h^2 + 2^2} \sqrt{1^2 + h^2} } \overline{AM} \\ &\le \frac{h}{ | h \cdot 1 + 2 \cdot h | } \overline{AM} \\ &= \frac{1}{3} \overline{AM}. \end{align*} $$

（解答終了）

=附記=

本題用國中數學作輔助線的方式也能做，但我覺得不太好想，至少我比較熟悉 Cauchy 不等式，所以我還是用這種半解析的方式來處理。

假分式化真分式求最小值

 ==主旨==

利用假分式化為真分式的技巧，將目標函數化為易於處理的形式，再利用Cauchy不等式求出最小值。

==題目==

1. 回顧〈配方、Lagrange恆等式與Cauchy不等式〉一文的結論。
2. 設$f(x), g(x)$都是多項式，其中$g(x) \ne 0$，我們稱$\frac{f(x)}{g(x)}$為「分式」。當$\deg f(x) < \deg g(x)$時，我們稱$\frac{f(x)}{g(x)}$為真分式；當$\deg f(x) \ge \deg g(x)$時，我們稱$\frac{f(x)}{g(x)}$為假分式。我們可以利用多項式的除法，將假分式化為帶分式，也就是形如$h(x) + \frac{j(x)}{g(x)}$的式子，其中$h(x), j(x)$都是多項式，且$\deg j(x) < \deg g(x)$。試將以下各小題的假分式化為帶分式：
   (i)  $\frac{a^2 + 4}{a}$；
   (ii)  $\frac{b^2}{b+3}$。
3. 已知$a + b = 3$，證明$\frac{a^2 + 4}{a} + \frac{b^2}{b + 3} = \left( \frac{2}{\sqrt{a}} \right)^2 + \left( \frac{3}{\sqrt{b+3}} \right)^2$。
4. 若已知$a + b = 3$，試利用Cauchy不等式求出$\frac{a^2 + 4}{a} + \frac{b^2}{b + 3}$的最小值，以及相應的$a, b$取值。

一道三變數的受約束極值問題

=問題= 

設$a, b, c$為實數，若$a^2+b^2+c^2=\frac{9}{2}, a+b+c=1$，試求$c$值的範圍

[出處：許清土，南一版高中數學學習講義3A，109學年（上）]

=解法=

這裡提出本題的三種解法：2變數的Cauchy不等式、立體幾何、Lagrange乘子法。前兩種屬於高中數學的範疇，第三種則是多變數微積分。

2變數的Cauchy不等式

許清土老師在講義中給出的作法是用2變數Cauchy不等式，如下所示。

首先考慮$a, b$的Cauchy不等式，得

$$\left( a^2 + b^2 \right) \cdot \left( 1^2 + 1^2 \right) \ge \left( a \cdot 1 + b \cdot 1 \right)^2,$$

$$\left( a^2 +b^2 \right) \cdot 2 \ge \left( a + b \right)^2,$$

由$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{9}{2}$與$a + b + c = 1$得$a^2 + b^2 = \frac{9}{2} - c^2$與$a + b = 1 - c$，代入以上的不等式，得

$$\left( \frac{9}{2} - c^2 \right) \cdot 2 \ge \left( 1 - c \right)^2,$$

整理得

$$3c^2 - 2c - 8 \le 0,$$

再因式分解有

$$(3c + 4)(c - 2) \le 0,$$

故得到

$$\frac{-4}{3} \le c \le 2.$$

立體幾何

考慮球面$S: x^2 + y^2 + z^2 = \left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)^2$，其球心在原點$O(0, 0, 0)$，而半徑為$\frac{3}{\sqrt{2}}$。再考慮平面$E: x + y + z = 1$。取動點$P(a, b, c)$，由於$P$之座標滿足方程式$x^2 + y^2 + z^2 = \frac{9}{2}$與$x + y + z = 1$，所以可知$P$在球面$S$與平面$E$的相交位置，也就是一個圓，命此圓為$K$。

設平面$E$與$x, y, z$軸的交點分別為$A, B, C$，座標分別是$A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)$。於是圓$K$就落在正三角形$ABC$所決定的平面上，圓心$K$就是正三角形$ABC$的重心$\left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$。在圓$K$上任一點與球心$O$的距離皆為$\frac{3}{\sqrt{2}}$，而圓心$K$與球心$O$的距離為$\sqrt{\left( \frac{1}{3} \right)^2+\left( \frac{1}{3} \right)^2+\left( \frac{1}{3} \right)^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$，於是圓$K$的半徑$r = \sqrt{\left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)^2 - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2} = \frac{5}{6}\sqrt{6}$。

因為所求的是$c$的範圍，所以我們要找出在圓$K$上的最低點與最高點的$z$座標。由對稱性可知，圓$K$上的最低與最高點所決定的直線會是三角形$ABC$的對稱軸。取$A, B$中點$M\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right)$，再考慮向量$\overrightarrow{MC} = \left[ \begin{array}{c} \frac{-1}{2} \\ \frac{-1}{2} \\ 1 \end{array} \right]$，做伸縮得$\overrightarrow{v} = \left[ \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right]$，於是$\left| \overrightarrow{v} \right| = \sqrt{6}$，再與圓$K$的半徑相比較，可得

$$最高點 = 圓心K + \frac{5}{6} \overrightarrow{v} = \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) + \frac{5}{6} \left( -1, -1, 2 \right) = \left( \frac{-1}{2}, \frac{-1}{2}, 2 \right),$$

$$最低點 = 圓心K - \frac{5}{6} \overrightarrow{v} = \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) - \frac{5}{6} \left( -1, -1, 2 \right) = \left( \frac{7}{6}, \frac{7}{6}, \frac{-4}{3} \right).$$

所以$\frac{-4}{3} \le c \le 2$。

附記

此題是我在2020/12/27教育嫆時遇到的，當時未立刻解出來，實在沒想到應該要怎樣去調整Cauchy不等式。所以就改用幾何的角度切入。自己的評價是，雖然運算簡單，但幾何圖形可能對一般學生難以想像，所以不太適合用作課堂教學用。

Lagrange乘子法

首先處理題目所給的方程式。由$a+b+c=1$得$c=1-a-b$，代入$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{9}{2}$得$2a^2 + 2y^2 + 2ab -2a - 2b - \frac{7}{2} = 0$。所以取目標函數

$$f(a, b) = 1 - a - b.$$

而約束條件方程式則取為

$$g(a, b) = 2a^2 + 2y^2 + 2ab -2a - 2b - \frac{7}{2} = 0.$$

由於$f, g$都是多項式函數，在$\mathbb{R}^2$上皆可微，故由Lagrange乘子法知，存在$\lambda \in \mathbb{R}$使得

$$\nabla f = \lambda \cdot \nabla g,$$

亦即

$$\left[ \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right] = \lambda \left[ \begin{array}{c} 4a+2b-2 \\ 2a+4b-2 \end{array} \right].$$

因此有$a = b$。代回約束條件，得方程式

$$a^2 + a^2 + (1 - 2a)^2 = \frac{9}{2}.$$

解之可得

$$a = \frac{7}{6}  或  \frac{-1}{2}.$$

於是便有

$$f \left( \frac{7}{6}, \frac{7}{6} \right) = 1 - \frac{7}{6} - \frac{7}{6} = \frac{-4}{3},$$

以及

$$f \left( \frac{-1}{2}, \frac{-1}{2} \right) = 1 - \frac{-1}{2} - \frac{-1}{2} = 2.$$

由於$f$在$\mathbb{R}^2$上連續，因此得$c$之範圍為$\frac{-4}{3} \le c \le 2$。

=同場加映=

連威翔，一道三變數的受約束極值問題的另解（https://blog.xuite.net/isdp2008am/wretch/589551033）

=類題=

設$x, y, z \in \mathbb{R}$，已知$\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=3 \\ xy + yz + zx=-9 \end{array} \right.$，求$x$的最大值與最小值。

[106，彰化女中，教師甄試，第一次]

[提示]：利用題目所給的兩條等式先求出$x^2+y^2+z^2$的值。

配方、Lagrange恆等式與Cauchy不等式

==主旨==

利用配方證明Lagrange恆等式，然後導出Cauchy不等式。

==題目==

1. 直接展開後，合併並配方，證明Lagrange恆等式：
   $$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 = (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2.$$
2. 證明n變數的Lagrange恆等式並找出書寫規律：
   \begin{eqnarray*}&&(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2) (b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \\ &=& (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 + (a_1 b_3 - a_3 b_1)^2 + \cdots + (a_n b_{n-1} - a_{n - 1} b_n)^2.\end{eqnarray*}
3. 證明Cauchy不等式：
   $$\sqrt{a_1^2 + \cdots + a_n^2} \sqrt{b_1^2 + \cdots + b_n^2} \ge |a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n|.$$
4. 求出Cauchy不等式等號成立的充要條件：
   (i) 若Cauchy不等式等號成立，則？
   (ii) 在怎樣的條件下，Cauchy不等式等號會成立？
5. 設$p, q$皆為實數，取$a_1 = p, a_2 = q, b_1 = q, b_2 = p$，使用Cauchy不等式推導出2元算幾不等式：
   $$\frac{\text{非負實數}s + \text{非負實數}t}{2} \ge \sqrt{\text{非負實數}s \times \text{非負實數}t}.$$
   並求出算幾不等式等號成立的充要條件。