=問題=
設a,b,c為實數,若a2+b2+c2=92,a+b+c=1,試求c值的範圍
[出處:許清土,南一版高中數學學習講義3A,109學年(上)]
=解法=
這裡提出本題的三種解法:2變數的Cauchy不等式、立體幾何、Lagrange乘子法。前兩種屬於高中數學的範疇,第三種則是多變數微積分。
2變數的Cauchy不等式
許清土老師在講義中給出的作法是用2變數Cauchy不等式,如下所示。
首先考慮a,b的Cauchy不等式,得
(a2+b2)⋅(12+12)≥(a⋅1+b⋅1)2,
(a2+b2)⋅2≥(a+b)2,
由a2+b2+c2=92與a+b+c=1得a2+b2=92−c2與a+b=1−c,代入以上的不等式,得
(92−c2)⋅2≥(1−c)2,
整理得
3c2−2c−8≤0,
再因式分解有
(3c+4)(c−2)≤0,
故得到
−43≤c≤2.
立體幾何
考慮球面S:x2+y2+z2=(3√2)2,其球心在原點O(0,0,0),而半徑為3√2。再考慮平面E:x+y+z=1。取動點P(a,b,c),由於P之座標滿足方程式x2+y2+z2=92與x+y+z=1,所以可知P在球面S與平面E的相交位置,也就是一個圓,命此圓為K。
設平面E與x,y,z軸的交點分別為A,B,C,座標分別是A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)。於是圓K就落在正三角形ABC所決定的平面上,圓心K就是正三角形ABC的重心(13,13,13)。在圓K上任一點與球心O的距離皆為3√2,而圓心K與球心O的距離為√(13)2+(13)2+(13)2=1√3,於是圓K的半徑r=√(3√2)2−(1√3)2=56√6。
因為所求的是c的範圍,所以我們要找出在圓K上的最低點與最高點的z座標。由對稱性可知,圓K上的最低與最高點所決定的直線會是三角形ABC的對稱軸。取A,B中點M(12,12,0),再考慮向量→MC=[−12−121],做伸縮得→v=[−1−12],於是|→v|=√6,再與圓K的半徑相比較,可得
最高點=圓心K+56→v=(13,13,13)+56(−1,−1,2)=(−12,−12,2),
最低點=圓心K−56→v=(13,13,13)−56(−1,−1,2)=(76,76,−43).
所以−43≤c≤2。
附記
此題是我在2020/12/27教育嫆時遇到的,當時未立刻解出來,實在沒想到應該要怎樣去調整Cauchy不等式。所以就改用幾何的角度切入。自己的評價是,雖然運算簡單,但幾何圖形可能對一般學生難以想像,所以不太適合用作課堂教學用。
Lagrange乘子法
首先處理題目所給的方程式。由a+b+c=1得c=1−a−b,代入a2+b2+c2=92得2a2+2y2+2ab−2a−2b−72=0。所以取目標函數
f(a,b)=1−a−b.
而約束條件方程式則取為
g(a,b)=2a2+2y2+2ab−2a−2b−72=0.
由於f,g都是多項式函數,在R2上皆可微,故由Lagrange乘子法知,存在λ∈R使得
∇f=λ⋅∇g,
亦即
[−1−1]=λ[4a+2b−22a+4b−2].
因此有a=b。代回約束條件,得方程式
a2+a2+(1−2a)2=92.
解之可得
a=76或−12.
於是便有
f(76,76)=1−76−76=−43,
以及
f(−12,−12)=1−−12−−12=2.
由於f在R2上連續,因此得c之範圍為−43≤c≤2。
=同場加映=
連威翔,一道三變數的受約束極值問題的另解(https://blog.xuite.net/isdp2008am/wretch/589551033)
=類題=
設x,y,z∈R,已知{x+y+z=3xy+yz+zx=−9,求x的最大值與最小值。
[106,彰化女中,教師甄試,第一次]
[提示]:利用題目所給的兩條等式先求出x2+y2+z2的值。
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