Processing math: 100%

2021年1月10日 星期日

一道三變數的受約束極值問題

=問題= 

a,b,c為實數,若a2+b2+c2=92,a+b+c=1,試求c值的範圍

[出處:許清土,南一版高中數學學習講義3A,109學年(上)]

=解法=

這裡提出本題的三種解法:2變數的Cauchy不等式、立體幾何、Lagrange乘子法。前兩種屬於高中數學的範疇,第三種則是多變數微積分。

2變數的Cauchy不等式

許清土老師在講義中給出的作法是用2變數Cauchy不等式,如下所示。

首先考慮a,b的Cauchy不等式,得

(a2+b2)(12+12)(a1+b1)2,

(a2+b2)2(a+b)2,

a2+b2+c2=92a+b+c=1a2+b2=92c2a+b=1c,代入以上的不等式,得

(92c2)2(1c)2,

整理得

3c22c80,

再因式分解有

(3c+4)(c2)0,

故得到

43c2.

立體幾何

考慮球面S:x2+y2+z2=(32)2,其球心在原點O(0,0,0),而半徑為32。再考慮平面E:x+y+z=1。取動點P(a,b,c),由於P之座標滿足方程式x2+y2+z2=92x+y+z=1,所以可知P在球面S與平面E的相交位置,也就是一個圓,命此圓為K

設平面Ex,y,z軸的交點分別為A,B,C,座標分別是A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)。於是圓K就落在正三角形ABC所決定的平面上,圓心K就是正三角形ABC的重心(13,13,13)。在圓K上任一點與球心O的距離皆為32,而圓心K與球心O的距離為(13)2+(13)2+(13)2=13,於是圓K的半徑r=(32)2(13)2=566

因為所求的是c的範圍,所以我們要找出在圓K上的最低點與最高點的z座標。由對稱性可知,圓K上的最低與最高點所決定的直線會是三角形ABC的對稱軸。取A,B中點M(12,12,0),再考慮向量MC=[12121],做伸縮得v=[112],於是|v|=6,再與圓K的半徑相比較,可得

=K+56v=(13,13,13)+56(1,1,2)=(12,12,2),

=K56v=(13,13,13)56(1,1,2)=(76,76,43).

所以43c2

附記

此題是我在2020/12/27教育嫆時遇到的,當時未立刻解出來,實在沒想到應該要怎樣去調整Cauchy不等式。所以就改用幾何的角度切入。自己的評價是,雖然運算簡單,但幾何圖形可能對一般學生難以想像,所以不太適合用作課堂教學用。

Lagrange乘子法

首先處理題目所給的方程式。由a+b+c=1c=1ab,代入a2+b2+c2=922a2+2y2+2ab2a2b72=0。所以取目標函數

f(a,b)=1ab.

而約束條件方程式則取為

g(a,b)=2a2+2y2+2ab2a2b72=0.

由於f,g都是多項式函數,在R2上皆可微,故由Lagrange乘子法知,存在λR使得

f=λg,

亦即

[11]=λ[4a+2b22a+4b2].

因此有a=b。代回約束條件,得方程式

a2+a2+(12a)2=92.

解之可得

a=7612.

於是便有

f(76,76)=17676=43,

以及

f(12,12)=11212=2.

由於fR2上連續,因此得c之範圍為43c2

=同場加映=

連威翔,一道三變數的受約束極值問題的另解https://blog.xuite.net/isdp2008am/wretch/589551033

=類題=

x,y,zR,已知{x+y+z=3xy+yz+zx=9,求x的最大值與最小值。

[106,彰化女中,教師甄試,第一次]

[提示]:利用題目所給的兩條等式先求出x2+y2+z2的值。

沒有留言:

張貼留言