費曼如何心算28的平方(的近似值)

費曼在其著作"Surely You're Joking, Mr. Feynman!: Adventures of a Curious Character"(中譯本：別鬧了，費曼先生: 科學頑童的故事)中談過他如何計算(心算)28的平方：

從此以後，我也試著這樣做。我背熟了幾個數字的對數值，也開始注意很多事情。比方有人說：「28的平方是多少？」那麼注意2的平方根是1.4，而28是1.4的20倍，因此28的平方一定接近400的兩倍，即800上下。

讓我們用數學式把這段過程表達得更清楚：
\begin{eqnarray*} && \sqrt{2} \approx 1.414 \\ &\Rightarrow& 28 = 20 \times 1.4 \approx \color{red}{\bf 20 \times \sqrt{2}} \\ &\Rightarrow& 28^2 \approx (\color{red}{\bf 20 \times \sqrt{2}})^2 = 20^2 \times \sqrt{2}^2 = 400 \times 2 = 800. \end{eqnarray*} 換句話說，整個心算過程的秘訣在於用$20 \sqrt{2}$去代替28，其中的20平方與$\sqrt{2}$平方都相當容易計算。

我們按按計算機，看看費曼先生的答案與實際值差多少：
\begin{eqnarray*}  \text{費曼}&:& 28^2 \approx 800 \\ \text{計算機}&:& 28^2 = 784. \end{eqnarray*} 雖不中，亦不遠矣！

兩個習題供讀者思考：

1. 為何費曼的近似值比真確值大？
2. 用費曼的方法計算$45^2$。(提示：試試$\sqrt{5} \approx 2.236$。這個估計會得出盈近似值還是虧近似值？)

只用中點公式、不用分點公式，推導重心座標公式

眾所皆知，在座標平面上給定相異兩點$A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2)$，設$\overline{AB}$之中點為M，則容易知道中點M的座標為$\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$，此稱為「中點公式」。若以更簡單的方式書寫，可記為
$$M = \frac{A + B}{2}.$$ 口訣為「兩點相加除以二」。

一般地，同樣給定相異兩點$A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2)$，再設$\overline{AB}$上有一點P滿足$\overline{AP}: \overline{PB} = m: n$，於是我們可以求出P點的座標為
$$P = \left( \frac{nx_1 + mx_2}{m + n}, \frac{ny_1 + my_2}{m + n} \right).$$ 此稱為「分點公式」。記憶的方式很多，最簡單的方法之一是與物理的力矩概念相結合。

然而我們(數學老師)終究得承認，分點公式對於大部分的高中生來說，其實真的很難記，特別是比例常數交叉，在多數人頭腦裡，根本無法想像。在某些特殊情況，學生光是能記熟中點公式(相加除以二)，我們可能就會阿彌陀佛、額手稱慶。

(阿彌陀佛姊支援！)

現在進入正題。

給定座標平面上不共線三點$A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2), C = (x_3, y_3)$，命$\triangle ABC$的重心為G，則G的座標為
$$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right).$$ 若以更簡單的方式書寫，可記為
$$G = \frac{A + B + C}{3}.$$ 口訣為「三點相加除以三」。

證明不難，不過幾乎所有教學都用了分點公式。譬如我的朋友許淵智老師的影片。

一個問題：可不可以不要用分點公式？

我在昨天教廖阿嫆的時候，突然想出了一個方法，這裡野人獻曝，請大家參考批評。

取$\overline{BC}$的中點D，於是由中點公式有$D = \frac{B + C}{2}$。

由國中幾何知識有$\overline{AG}: \overline{GD} = 2: 1$。我們取$\overline{AG}$的中點H，一樣由中點公式有$H = \frac{A + G}{2}$。

注意到此時重心G會是$\overline{HD}$的中點，所以由中點公式有$G = \frac{H + D}{2}$。

將前面推導的式子$D = \frac{B + C}{2}$與$H = \frac{A + G}{2}$代入方才推出的式子$G = \frac{H + D}{2}$，我們得到
\begin{eqnarray*}  && G =  \frac{\frac{A + G}{2} + \frac{B+ C}{2}}{2} \\ &\Rightarrow& 2G = \frac{A + G + B + C}{2} \\ &\Rightarrow& 4G = A + G + B + C \\ &\Rightarrow& 3G = A + B + C \\ &\Rightarrow& G = \frac{A + B + C}{3}. \end{eqnarray*}

(證明終了)

雕蟲小技，不足掛齒，我想我應該不是第一個想到的。但Google搜尋「重心座標公式推導」的結果的前幾頁都沒看到這樣的作法，所以應該還是值得寫一篇短文與大家分享。

《李家同為台灣加油打氣》閱讀心得

==基本資料==

書名：李家同為台灣加油打氣

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作者：李家同

出版社：五南

我收藏的《李家同為台灣加油打氣》

==書摘(部分)==

p.19 如果我們看世界上經濟好的國家都有一個共同特色，那就是他們的工業是相當不錯的。

p.23 我們不該奢談所謂的高科技，要有任何高級工業產品，就必須要先有最基本的工業技術。

p.26 我們很少看到瑞士的公司是從大規模生產的，他們的共同特色只有一個，擁有非常高級的關鍵性技術。

p.26 我們一定要對自己的國家有信心。

p.27 如果真的要擔心，那就是朝野對工業沒有真正的關心，有沒有好的策略？

p.28 說實話，我們的確要憂心，我們的年輕人對工業技術的興趣並不是很大。

p.29 唯有下苦功，做往下扎根的事，才能使我們的工業技術往上提升。

p.30 我們應該鼓勵工業界生產工業性的產品，而不必過分重視消費型產品。

p.31 我們不必害怕任何國家對我們的威脅，我們應該以瑞士為我們的榜樣。

==心得==

李教授這本書是他在臉書以及精密工業學會的連載專欄所撰寫的文章的集子，書中介紹了相當多台灣的工業技術，如他本行的積體電路(IC)、化工的混合分散技術、天線、示波器、CPU、無縫焊接、導電粒子、銀膠等等，以相當直白的文字娓娓道來，簡要介紹了各類技術的原理。

在閱讀此書前，我對於台灣工業的印象，侷限於半導體產業以及工具機，但也只有個大略印象。但看完李教授此書後，深深感到視野大開，原來我們台灣擁有那麼多相當不錯的技術，同時對於各類技術之巧妙感到相當佩服。譬如在第17單元中談到台灣也有類似ARM的公司，專門開發處理器智財，這是我前所未聞的。又例如第27單元的線切割機，原來裏頭需要相當多高級的精密零件，譬如每秒切換十萬次的開關，那樣精密的控制器，想不到台灣已經可以掌握了。

本書的文字相當質樸，不時用比喻來討論各類技術原理，對於我這樣的工科門外漢，相當容易入門，所以我想非常適合推薦給高中生閱讀，做為工業技術科普，同時還可以了解未來報考大學的系所學習目標。該書肯定是李教授自己完成的，因為對於某些特別困難的技術原理，李教授直言自己並非專業人士，只能概略介紹，而無法仔細說明。這樣的態度，非常的扎實，不吹噓，直白地說出侷限所在。

在每一單元的結尾，李教授都苦口婆心地呼籲大家要沉住氣、靜下心來搞研發，目標要放的高遠，不要依賴外國技術，要對自己有信心，肯定可以站上技術制高點。除此之外，李教授還希望國人與政府都要鼓勵我國的工程師，並且有更多年輕人願意投身這些「十年磨一劍」的大目標，不要追逐那些時髦卻不長久的玩意兒。我想這確實是我們現在社會所欠缺的，大家都太浮躁了。

最近的108課綱，讓很多年輕學子都很焦慮。李教授不斷的發文強調基本功的重要性，然而在新課綱改革派的面前，似乎是螳臂當車，總是被那些自詡進步者譏貶為頑固保守，似乎只要每個學生都搞搞AI、寫寫Python就可以成為國家人才。稍微有一點知識的人都知道，一個國家的產業顯然不可以全部投注於單一面向上，我們該著眼的是能不能在高階產業的各面向培養出基礎功扎實的人才。李教授不是台灣本土人，然而他對台灣這片土地的熱愛，我想遠勝於那些高喊愛台灣的投機分子。說他沽名釣譽，那我們反問：那些這樣譏諷他的人，多少是身體力行在幹實業的呢？我想答案不言而喻。

配方、Lagrange恆等式與Cauchy不等式

==主旨==

利用配方證明Lagrange恆等式，然後導出Cauchy不等式。

==題目==

1. 直接展開後，合併並配方，證明Lagrange恆等式：
   $$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 = (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2.$$
2. 證明n變數的Lagrange恆等式並找出書寫規律：
   \begin{eqnarray*}&&(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2) (b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \\ &=& (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 + (a_1 b_3 - a_3 b_1)^2 + \cdots + (a_n b_{n-1} - a_{n - 1} b_n)^2.\end{eqnarray*}
3. 證明Cauchy不等式：
   $$\sqrt{a_1^2 + \cdots + a_n^2} \sqrt{b_1^2 + \cdots + b_n^2} \ge |a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n|.$$
4. 求出Cauchy不等式等號成立的充要條件：
   (i) 若Cauchy不等式等號成立，則？
   (ii) 在怎樣的條件下，Cauchy不等式等號會成立？
5. 設$p, q$皆為實數，取$a_1 = p, a_2 = q, b_1 = q, b_2 = p$，使用Cauchy不等式推導出2元算幾不等式：
   $$\frac{\text{非負實數}s + \text{非負實數}t}{2} \ge \sqrt{\text{非負實數}s \times \text{非負實數}t}.$$
   並求出算幾不等式等號成立的充要條件。

無限循環小數的總和

==主旨==

1. 觀察各位值數字的排列，得出所有排列數字的總和。
2. 引導學生推出「無限循環小數化為分數的公式」

==題目==

1. 若a, b分別代表不同的數字，請問由a, b所構成之各位相異的二位數有多少種？
2. 若a, b, c分別代表不同的數字，請問由a, b, c所構成之各位相異的三位數有多少種？
3. 若a, b, c, d, e分別代表不同的數字，請問由a, b, c, d, e所構成之各位相異的五位數有多少種？
4. 小學學過的定位板告訴我們每個整數的十進表示是由哪些數所構成：
   $$a_n a_{n - 1} \cdots a_2 a_1 = a_n \times 10^{n - 1} + a_{n - 1} \times 10^{n - 2} + \cdots + a_2 \times 10^1 + a_1 \times 10^0.$$
   請將五位數$abcde$表示為以上的形式。
5. 在上一小題中，
   (i) 有多少個五位數含有$a \times 10^4$？
   (ii) 有多少個五位數含有$a \times 10^3$？
   (iii) 有多少個五位數含有$a \times 10^2$？
   (iv) 有多少個五位數含有$a \times 10^1$？
   (v) 有多少個五位數含有$a \times 10^0$？
6. 若a, b分別代表不同的數字，請問無限循環小數
   $$0.ababab\cdots$$
   化為分數後為何？請以數字及a, b表示。
7. 若a, b, c分別代表不同的數字，請問無限循環小數
   $$0.abcabcabc\cdots$$
   化為分數後為何？請以數字及a, b, c表示。
8. 若a, b c, d, e分別代表不同的數字，請問無限循環小數
   $$0.abcdeabcdeabcde\cdots$$
   化為分數後為何？請以數字及a, b c, d, e表示。
9. 數字全用，但不重複，由1, 3, 5, 7, 9這五個數字所構成的純循環小數（形如$0.\overline{13579}, 0.\overline{53971}$等），共有多少個？總和是多少？
   [提示：欲計算總和，請先化為分數後再計算比較容易。]

充分條件與必要條件，不等式的解集合，1990中國高考數學全國卷

==主旨==

這份習題的目標是藉由圖解不等式來認識「充分條件」與「必要條件」的定義。

==導引==

定義 考慮兩敘述A, B，若可由敘述A推導出敘述B，也就是$A \Rightarrow B$，則
(i) 稱敘述A為敘述B的充分條件(sufficient condition)。
(ii) 稱敘述B為敘述A的必要條件(necessary condition)。

例子 敘述A：「碧曲是正妹。」；敘述B：「碧曲是人類。」

如果敘述A正確，也就是我們已經知道碧曲確實是正妹，那麼碧曲一定是人類，亦即敘述B是正確的。因此我們可以從敘述A推導出敘述B。

套用以上對於「充分條件」與「必要條件」的定義，我們會說：
(i) 「碧曲是人類」為「碧曲是正妹」的必要條件；
(ii) 「碧曲是正妹」為「碧曲是人類」的充分條件；

注意 但是如果把兩個敘述的位置對調反過來，那麼推理的鍊條未必串的起來。這就是說，就算敘述B是正確的，我們知道「碧曲是人類」，可是我們卻無法由此推論出「碧曲是正妹」，不能確定敘述A正確與否。

定義 考慮兩敘述A, B，若可由敘述A推導出敘述B，同時也可由敘述B推導出敘述A，亦即有$A \Leftrightarrow B$，那麼兩條件互稱為彼此的充要條件(sufficient and necessary condition)。

復向東，見一商港，然商販皆金髮碧眼，料是海外來朝之英吉利商販集散所在，舶來異寶眾多，正目眩神迷間，琴聲價響，佇聽之，或如山壑雅秀，或如水潭靜謐，時悠遠輕揚，復而厚實凝重，令人神馳，急尋琴聲來處，見一英吉利女子正自奏藝販琴，當下文思泉湧，兼有結識之意，於是突出人群，吟詩唱和：「商娥扶碧曲，秀謐悠而厚...」詩未竟，曲驟斷，但見英女神色驚訝，連聲曰諾，正暗喜間，卻見數名英商巡官怒目而來倒拖吾身，飽以老拳。嗟乎，奈何蠻夷終究不識詩詞曲賦之美...。

==題目，第1組，中國1990高考數學全國卷文史類組==

1. 圖解不等式：$0 < x < 5$。
2. 解不等式：$| x - 2| < 3$，並圖解之。
3. 若將第1題的圖形稱為甲，將第2題的圖形稱為乙，請問甲乙兩者的包含關係為何？是甲包含乙，還是乙包含甲，還是沒有包含關係？
   請注意這裡所謂的「包含在...之中」是指完全包含。若只有一部份重疊就不算包含了。
4. 如果某點在圖形甲之中，那麼該點一定會在圖形乙之中嗎？如果不會，那麼是哪些點不聽話呢？
5. 如果某點在圖形乙之中，那麼該點一定會在圖形甲之中嗎？如果不會，那麼是哪些點不聽話呢？
6. [原題] 設命題甲為：$0 < x < 5$；命題乙為：$| x - 2| < 3$。那麼
   (A) 甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件。
   (B) 甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件。
   (C) 甲是乙的充要條件。
   (D) 甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件。

==題目，第2組，中國1990高考數學全國卷理工農醫類組==

1. 取定正數h，在座標平面上畫出不等式$| x - y| < 2h$的解區域。
2. 同樣的正數h，在座標平面上畫出聯立不等式$\left\{ \begin{array}{l} | x - 1| < h \\ | y - 1| < h \end{array} \right.$的解區域。（請注意聯立不等式意味著兩條式子的條件要同時滿足！）
3. 若將第1題的圖形稱為甲，將第2題的圖形稱為乙，請問甲乙兩者的包含關係為何？是甲包含乙，還是乙包含甲，還是沒有包含關係？
   請注意這裡所謂的「包含在...之中」是指完全包含。若只有一部份重疊就不算包含了。
4. 如果某點在圖形甲之中，那麼該點一定會在圖形乙之中嗎？如果不會，那麼是哪些點不聽話呢？
5. 如果某點在圖形乙之中，那麼該點一定會在圖形甲之中嗎？如果不會，那麼是哪些點不聽話呢？
6. [原題] 已知$h > 0$。設命題甲為：兩個實數x, y滿足$| x - y| < 2h$；命題乙為：兩個實數x, y滿足$| x - 1| < h$且$| y - 1| < h$。那麼
   (A) 甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件。
   (B) 甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件。
   (C) 甲是乙的充要條件。
   (D) 甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件。

1 The positive integer

==自然數/正整數==

正整數(Positive integer)：1, 2, 3, ...。也稱為自然數(Natural number)。

==基本運算：加法、乘法==

$\forall a, b \in \mathbb{N}$，可計算它們的和(sum) $a + b$與積(product) $ab$。

加法封閉性：正整數$+$正整數$=$正整數。

乘法封閉性：正整數$\times$正整數$=$正整數。

==運算律==

交換律(commutative law)：

加法：$a + b = b + a$。

乘法：$ab = ba$。

結合律(associative law)

加法：$a + (b + c) = (a + b) + c$。

乘法：$a(bc) = (ab)c$。

分配律(distribution law)

$a(b + c) = ab + ac$。

==例子==

證明：$7(3 \cdot 6) = 6 (3 \cdot 7)$。

[解].
\begin{eqnarray*}
7(3 \cdot 6) &=& (7 \cdot 3) 6 \quad [\text{乘法結合律}] \\
&=& 6 (7 \cdot 3) \quad [\text{乘法交換律}] \\
&=& 6 (3 \cdot 7) \quad [\text{乘法交換律}]
\end{eqnarray*}

(解答結束)

證明：$a(b + c) = ca + ab$。

[解].
\begin{eqnarray*}
a(b + c) &=& ab + ac \quad [\text{分配律}] \\
&=& ac + ab \quad [\text{加法交換律}] \\
&=& ca + ab \quad [\text{乘法交換律}]
\end{eqnarray*}

(解答結束)

==不具備一般運算律的例子==

定義$a \oplus b = 2a, a \odot b = 2ab$。

$a \oplus b = 2a$，而$b \oplus a = 2b$，所以$a \oplus b \ne b \oplus a$，不滿足加法交換律。

$a \odot b = 2ab$，而$b \odot a = 2ba = 2ab$，有$a \odot b = b \odot a$，滿足乘法交換律。

$a \oplus (b \oplus c) = a \oplus 2b = 2a$，而$(a \oplus b) \oplus c = 2a \oplus c = 2(2a) = 4a$，所以$a \oplus (b \oplus c) \ne (a \oplus b) \oplus c$，不滿足加法結合律。

$a \odot (b \odot c) = a \odot 2bc = 2a(2bc) = 4abc$，而$(a \odot b) \odot c = 2ab \odot c = 2(2ab)c = 4abc$，有$a \odot (b \odot c) = (a \odot b) \odot c$，滿足乘法結合律。

$a \odot (b \oplus c) = a \odot 2b = 2a(2b) = 4ab$，而$a \odot b \oplus a \odot c = 2ab \oplus 2ac = 2(2ab) = 4ab$，有$a \odot (b \oplus c) = a \odot b \oplus a \odot c$，滿足分配律。

棋盤上的矩形個數

==問題==

如圖所示，有多少個矩形？

 ==解答==

本題使用排容原理。

先將不完整的棋盤裡的線補完，同時對垂直線以及水平線編號，如下圖所示。

在不考慮中間是否挖空的情況下，由$r_1, \cdots, c_6$與$c_1, \cdots, c_7$等線所決定的矩形個數為${6 \choose 2} \times {7 \choose 2} = 315$個。

現在回過頭來考慮挖空的影響。

在以上315個矩形中，只要邊界之一由$r_4$或$c_3$構成者，一概都不可計入。所以
\begin{eqnarray*}
n(\text{不可計入矩形}) &=& n(\text{邊界之一由}r_4\text{或}c_3\text{構成者}) \\
&=& n(\text{邊界之一由}r_4\text{構成者}) + n(\text{邊界之一由}c_3\text{構成者}) - n(\text{邊界之二由}r_4\text{及}c_3\text{構成者}) \\
&=& {5 \choose 1} \times \left[ {7 \choose 2} - {2 \choose 2} - {4 \choose 2} \right] + {6 \choose 1} \times \left[ {6 \choose 2} - {3 \choose 2} - {2 \choose 2} \right] - {5 \choose 1} \times {6 \choose 1} \\
&=& 70 + 66 - 30 \\
&=& 106\text{個}.
\end{eqnarray*}
因此所求矩形數$= 315 - 106 = 209$個。

兩數的最大值及最小值的表示法

==主旨==

在本份習題中，我們將來探討如何用數學符號來表示任意兩數的最大值以及最小值，然後利用幾何概念和絕對值符號具體寫出最大值及最小值的表示式。

==題目==

1. 對於任意兩實數a, b，我們總能比較出它們之間的大小關係。更進一步有所謂的三一律：「兩實數a, b的大小關係只有可能是$a>b, a=b, a<b$三種可能中的其中一種。」當$a<b$或$a=b$時，我們用$a \le b$來表示；當$a>b$或$a=b$時，我們用$a \ge b$來表示。現在，對於任意兩實數p, q，當$p \ge q$時，我們定義p, q的最大值為$\max (p, q) = p$，最小值為$\min (p, q) = q$。請根據此定義，計算：
   (i) $\max (1, 3), \min (1, 3)$；
   (ii) $\max \left(\sqrt{2}, \frac{7}{2} \right), \min \left(\sqrt{2}, \frac{7}{2} \right)$；
   (iii) $\max (-1, 2), \min (-1, 2)$；
   (iv) $\max (\pi, \sqrt{\pi}), \min (\pi, \sqrt{\pi})$；
   (v) $\max \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right), \min \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right)$。
2. 在數線上，點A的座標為a，點B的座標為b。命A, B之間的中點為M，試用a, b表示出點M的座標。
3. 在數線上，點A的座標為a，點B的座標為b。以下哪些選項代表點A與點B之間的距離？
   (A) $a - b$。
   (B) $b - a$。
   (C) $|a - b|$。
   (D) $|b - a|$。
   (E) $\max (a, b) - \min (a, b)$。
4. 在數線上，點A的座標為a，點B的座標為b。請問式子$\frac{|a - b|}{2}$的幾何意義為何？
5. 用幾何意義證明：
   $$\max (a, b) = \frac{a + b + |a - b|}{2}.$$
   [提示：(i) 你得考慮所有情況，不只是$a<b$的情況；(ii) 分數的加法運算：$\frac{p + q}{r} = \frac{p}{r} + \frac{q}{r}$。]
6. 根據上題關於$\max (a, b)$的表示式，請寫出$\min (a, b)$的表示式，然後用幾何意義論述你的式子正確性。

我以前高中補數學的筆記

這篇文章簡單談談同學們來補習，上課該如何寫筆記、回家要怎麼寫作業。

我知道同學們最不愛與同儕比較，很討厭爸媽拿「隔壁鄰居的兒子/女兒」或是「四叔的姪子」等同齡人來打擊自己。

我也不喜歡。與其褒揚某某學生，拿來當筆記範本，然後引起同學間的仇視等不愉快，不如就拿我自己當例子。

高二下，社團（數學研究社）的指導老師傅瑞琪老師告訴我：「如果想要上台大，參考書上每一題都要寫完；如果想上清交，那不用這麼辛苦，但至少參考書上的題目要寫完八成。」到了高三，我想學快一點來複習，所以去了蘇永年老師那兒補習。一方面是為了把進度拉快一些，另一方面覺得蘇老師很有趣，像個丑角，讓我可以在課業壓力沉重的高三生活中笑一笑。另外我認為他的教學方式或許對我以後當老師教學有幫助。（對，我從國中就立志讀師大數學，想回去母校三民國中教書。後來走歪了，讀了清大而教補習班。）

蘇永年老師的講義，就是這麼花俏，走浮誇風。我來台北工作後，曾經把這講義給同事看，同事的評價是：「這老師的審美觀很奇怪，應該找個人幫他設計正常一點。」

雖然上課動機不單純，不過上課最重要的就是要學到東西，所以我還是很認真的做筆記，然後按傅老師告訴我的，用「全力」寫完講義上的題目。蘇老師的講義，題目不多，而且版面留得很充分（這點影響了我現在編輯講義的風格），寫起來沒有太大的壓力。寫作業前，我總是可以坦然面對，不會在內心憤恨「他媽的這麼多誰寫的完」。

這是講義的目錄。請注意上頭每個小節前我自己做了兩個框框，那個是後頭作業的分類，每寫完一部份，我就會心滿意足地翻到目錄打勾

蘇老師的講義基本上都打好大框架了，只有一些空格與圖形要跟著上課填。老師上課時，繪圖還算認真，所以我也盡力仿效老師，把圖畫好來，將筆記抄齊來。

這是上課帶例題的部分。我的字雖然不好看，但是盡力寫工整。老師黑板上的東西幾乎全抄，譬如解題分步驟的符號$1^{\circ}$、$2^{\circ}$…就是從蘇老師那學來的。特別重要的技巧就是打個星號。要背的公式或是結論就用螢光筆標記。

我不敢說我上課有多認真，譬如我曾經跟同學魏皓宇在底下玩BB槍，當時想突然把槍舉起來開火，看老師會怎樣，但是怕老師發飆，這麼中二屁孩的行為就算了。不過這件事沒這麼簡單落幕，魏皓宇很白痴地想嘗試BB槍子彈的威力，就在上課時抵著自己的大腿打了一發，扳機扣下去後，他痛的哭爹喊娘，但是卻又不敢在課堂上叫出來，只能硬著頭皮憋著。

雖然上課會做這些白痴事，但是我敢保證課堂上80%的時間我都是全神貫注的。另外，我也從來沒在課上睡過覺。

離題了，我們再繼續看看寫作業的情況。

這一頁作業僥倖地全對了。請注意右上角，我把解答的頁數寫在那兒，因為我每次寫完作業就想立刻對答案，看自己對多少，然後不會的題目要怎樣算。

由於補習的進度比學校快，我也確信補習上課都有聽懂，所以我在學校的數學課常常沒聽，就是在下面自己寫補習班的作業。除了上課偷寫之外，晚修也會寫一下。每次補習上課完，大概兩天內我就會開始動工，一次差不多寫兩面，然後就去讀其他科。

再看一頁我訂正的情況。

資優第3題我只會做三分之一，實在不會做了，我想了十分鐘左右吧，我就會去看解答訂正，然後把解答完整地寫過來。

訂正作業時，偶爾會出現老師給錯答案的情況，每每抓到老師的錯，我都會覺得很愉快。這是一個激發我認真算數學的動力之一。我倒不記得有沒有拿講義去問問題，當時高三的數學不覺得太困難，就算題目作錯或不會寫，看看解答我也能搞定。

總結一下：

1. 拿到講義，應該去瞭解講義的結構，目錄、重點、例題、習題、解答，這樣才知道如何使用。
2. 講義硬體結構不足之處，要自己去改造，靈活變通。
3. 上課要盡可能認真，在課堂上就要聽懂原理，回家才有時間練習，而不是停留在搞懂的層次。上課要100%認真很難，但至少也要來個80%。
4. 作業不要拖太久才寫，否則上課的東西都忘光光。最好一兩天內就開始寫。每次不用寫太多，認真寫個10題一小時（含檢討），其實就很充實了。
5. 作業要認真檢討，用紅筆批改，正視自己的錯誤。仔細閱讀解答，然後把解答抄過來。如果自己搞不定，一定要去請教老師（我不喜歡問同學，一來感覺自己像個智障，二來老師總是比較強，當然要向強者學習！）。

感謝蘇老師當年的指導，雖然沒什麼直接接觸，但是他清晰的教學與還算完整的講義，省去了我在數學上頭疼的時間，從而讓我有餘力去對付可怕的物理。

我希望我的學生們在看完這篇文章後，不是記著我當年上課的蠢事，也不是以獵奇的心態看我當年的筆記，而是要跟我學學如何讀書，好歹也要學到那個樣式。

Windows環境下呼叫終端機更新Anaconda

1. 關閉所有程式。

2. 在鍵盤同時按下「Windows鍵」與「R鍵」。

3. 在跳出的視窗中輸入cmd，然後按Enter。

4. 呼叫出命令提示字元（所謂的終端機）後，輸入conda update conda（請注意空格），然後按Enter。

5. Anaconda程式開始自動更新，其中若跳出「是否要更新XXX？」（英文句子），請輸入y，然後按Enter。

6. 等待約5分鐘讓程式完全跑完，就完成更新了。

下載Anaconda

Note: Anaconda，中文意思為「蟒蛇」。

1. 打開瀏覽器，到https://www.anaconda.com/。

2. 進入Download頁面。

3. 如果是Windows系統使用者，先點擊中間Windows的商標，切換到Windows版本的Anaconda下載頁面。

4. 選擇Python 3以上的版本，然後點擊中間的Download按鈕，就可以將Windows版本的Anaconda下載下來。。

2019-04-18，國三數學模擬考(南一文揚)，數學，詳解

• 感謝周采妮同學提供試卷。
• 題目版權皆歸屬出版社所有。

題目卷pdf檔案連結

詳解pdf檔案連結

評

• 難度：整體中等，非選2要表述清楚對考生較有挑戰。
• 較為困難的題目：14, 18, 24, 25, 26, 非選2
• 略有爭議的題目：23，相似形敘述的定義問題。

《丁石孫與中國數學》書摘與簡評

封面

基本資料

（錄自三民書局網路書店）

書名：丁石孫與中國數學
ISBN13：9789813232891
出版社：八方文化企業（新加坡世界科技出版公司）
作者：陳大岳;許忠勤;宋春偉-主編
裝訂／頁數：平裝／250頁
規格：23cm*15cm*1.5cm (高/寬/厚)
版次：初
出版日：2017/12/01
中國圖書分類：數學史

看點

丁石孫教授的少年成長經歷、在上海大同大學電機系與清華大學數學系的求學過程、清華畢業後到北大教書（一上台就是講高等代數大課）、入黨、下放勞動、放棄程式語言發明、編寫講義教材、教導工農兵學員線性代數的教法、時不我予仍重新學習以培養新一代數學家、55歲到哈佛學代數數論、擔任北大校長（無博士學位、無院士稱號）、如何辦大學、六四的處理態度、中國數學界人物之間的關係

書摘

• 馮克勤〈回憶丁石孫先生和我們從事代數數論學術活動的日子〉

「我在1964年研究生入學，華羅庚要我念Landau關於代數數論的書。不過只念了八個月，就去農村四清一年。回來後就文化大革命了。」

評：所以這樣說來，馮克勤的代數數論底子並非是在華羅庚門下學得。

「我在這之前也唸過上同調，但是我真正弄懂這個理論，是在聽了丁先生的八次演講（以及看了他們精心編寫的講義）之後。他語言簡鍊和精闢，切中本質和要害，在黑板上給我們畫出複雜的箭頭圖（交換圖表）並上下遊走（蛇形定理），使我真有豁然開朗的感覺。自那以後我每次聽丁先生的講課，都感到有一種魅力，能使我將複雜的東西一下子變得非常簡單。」

評：此時是1974年，丁石孫尚未到哈佛進修。可以肯定的是，丁的代數數論應該是向聶靈沼學的，可能也有請教過閔嗣鶴與王湘浩，然後靠著自修讀起來。聶的代數數論功底是研讀高木貞治的書得來，而高木的書，最早是由武漢大學的蕭君絳翻譯過來。如此看來，華羅庚的影響力大概還是偏於解析數論方面。

簡譜（我自己的一個簡要筆記）

Hilbert    高木貞治              蕭君絳      聶靈沼      丁石孫
Landau   Emil Artin             王湘浩
Hecke                                     
Hardy    華羅庚                   萬哲先                                       馮克勤
                                             王元
              E. C. Titchmarsh    閔嗣鶴
                                             E. Weiss

「世界上有許多傑出的數學家，他們在數學的某個領域做出突破性工作。也有一些數學家發表研究工作不多，但是對整個數學有深刻的理解和感悟，並且以這種理解和感悟教育和影響他人。我認為後者同樣是傑出的數學家。」

• 趙春來〈我的導師丁石孫〉

「曾肯成先生的研究生李尚志有如下的回憶：『他（指丁先生）講課從來不一步一步講證明的細節，而著重講整體思路和想法，細節讓我們自己課後去補充出來。......凡是科研搞的好、講課也講的好的老師，講課風格可能各不相同，但一個共同點都是強調主體思路，分的清哪是主幹哪是枝葉。』」

「至於談到貢獻，教學與研究這二者之間很難說那個更大一點。自己寫出若干論文當然是一種貢獻。但如果你教出了幾十個學生，寫的論文要比你多得多，而且有的論文質量相當高，這當然也是一種貢獻。只不過這種貢獻不易被社會所瞭解，不會有人給你發獎金。」

「丁先生的講課在北大數學系是享有盛譽的。為了講好甚至是已講過多變的課程，他備課時還是要花很多時間去圖書館查閱相關學科（例如物理、化學）方面的書籍，尋找最恰當的例子，以使學生瞭解該課程在其他學科中的應用。」

「備課時要做的第一步當然是在邏輯上把要講的內容弄清楚，但是最重要的是要設想在哪一步推導中學生會感到困難，即講課還要符合學生的思維邏輯。備課時搞清楚哪些東西應該講固然重要但搞清楚哪些東西演下還不能講更為重要。講的東西不能超出學生的接受水平，在目前無法使學生真正掌握因而暫時不可能講清的地方要適當地『打馬虎眼』，讓學生廳不出漏洞而能順利地往下走。」

「...有少數人基礎太差，學習非常困難...於是在每次講完大課後，丁先生在晚上就把少數困難同學找到辦公室，領著他們就像念語文課本一樣念教科書。經過幾年的努力，其中一部份同學趕了上來。」

「最後他講了讓有些領導不高興的一句話：『很多領導覺得現在年輕人的思想有問題，個人考慮多；實際一些老同志、老革命也不見得覺悟就很高，沒有私心。老同志應該捫心自問。』」

• 石生明〈優秀知識份子的典範——丁石孫教授〉

「他對我說過：『備課，當然先要自己把內容搞清楚，但這還不夠，還要搞清同學們會再哪些地方容易發生困難，並搞清楚怎樣才能使學生容易接受。』」

「個別困難的同學，沒有受到過中小學的系統數學訓練，不僅數學問題不能理解，甚至連閱讀教材都有困難。開始上代數課的一段時間裡，丁先生每次上完課後，晚上把這些特殊困難的學生叫到自己的辦公室裡，親自領著他們念（像念語文課本一般）數學教材，一句一句講解：經過幾年努力，其中一部份同學趕了上來，有的同學後來在數學上也做出很好成績。如張錦文同學畢業後分配到中科院計算研究所研究數理邏輯理論，取的了一些成就。」

• 袁向東〈回憶與丁石孫老師的長談〉

「我好奇地問他對教學的看法。丁先生大致說了以下幾點：1. 當教員要花2~3年過教學關，其中備課很要緊。備課最主要的不光是釐清課程內容的邏輯，還要知道它有什麼用及其來龍去脈。更要設身處地地替學生考慮，從前一步到下一步的推理他們會有什麼反應，會不會更不上或感到突然，你的講法是否符合學生的思維邏輯。他教過好幾遍高等代數，每次都要重新備課，備的就是這批學生可能會有什麼疑問。丁先生說：『我不通過助教而是通過親自答疑，來了解學生；我講課時非常注意學生的表情，學生有點發呆可能就是聽不懂了。』丁先生還說過：『教書重要的不是你把要講的東西搞清楚，重要的是要搞清楚哪些是不能講的，不要超出學生的水平。』記得他曾開玩笑地說：『教書要學會打馬虎眼，有的東西學生一點也聽不懂，乾脆一筆帶過，但似乎也聽不出你的漏洞在哪裡，到高年級再慢慢體會。』2. 教學是數學家開闊知識面非常重要的一環。『我教過20幾門課，......沒人願意開的課，就指定我去講。』『我有許多課是邊教邊學，要教就有壓力，就要學懂。』3. 教學中要調動學生的積極性，引導得當，雖然是老師在講，學生有時會覺得是自己學會的。」

「當我和我的搭檔郭金海問及他當北大校長時有過什麼大的目標時，他回答說：『我這一輩子不曾有過長遠的奮鬥目標，因而對自己的評價是胸無大志，但追求一定要把今天的事情作得最好。』」

• 王杰〈丁石孫先生二三事〉

「最後講一點八卦。北京師範大學的郝金丙新先生講過一個故事。他與丁先生同庚，都是1927生人，屬兔。困難時期沒有肉吃，丁先生和郝先生有時候會一起在北京城裡轉——找吃的。有一回好不容易找到一家館子有肉賣，但一問說是兔肉！郝先生問丁先生：『兔子肉吃不吃？』丁先生說：『兔子肉也吃！』於是兩位屬兔的數學老師一起吃了一頓兔子肉。」

99年，基測，第一次，數學科，詳解

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98年，基測，第二次，數學科，詳解

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98年，基測，第一次，數學科，詳解

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103年，特招，數學科，詳解

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師大心測中心公佈的【非選樣卷說明】

97年，基測，第二次，數學科，詳解

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107年，會考，數學科，詳解

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97年，基測，第一次，數學科，詳解

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大栗博司，《用數學的語言看世界》，第1章，第2節，賭博的不敗之法，公式推導

加州理工學院物理系的大栗博司教授為其女兒撰有《数学の言葉で世界を見たら》一書(介紹頁面連結)(簡體中譯版：《從數學的語言看世界》，人民郵電出版社，介紹頁面連結；繁體中譯版：《用數學的語言看世界：一位博士爸爸送給女兒的數學之書，發現數學真正的趣味、價值與美》，臉譜出版社，介紹頁面連結)。

此書深入淺出，讀來彷若一位和藹的父親以親切的語言為愛女講解數學。美中不足之處在於本書部分內容連載於大栗教授的網站，不僅讀來不甚方便，一個更嚴重的問題是那些補充資料都是日文，無論是簡體還是繁體翻譯版都沒有譯出，在在顯示出規劃此書的編輯的眼光不夠深遠。人民郵電出版社的介紹頁面的討論區中，有大陸網友留言：「作者在个人网站补充的一些内容会有翻译吗？日文实在看不懂，要是英文就好了」

我手上的版本是簡體中文翻譯版。我覺得無論是印刷還是排版都勝過台版，更重要的是，簡體版的網站上附有勘誤，這是台灣出版社完全不及中國的。

第1章第2節〈賭博的不敗之法〉的公式推導是刊於網站的補充內容。我不會日文，只能靠著google翻譯，配著數學式去猜測內容。以下內容雖是該公式的推導，但並非大栗教授原文的全譯，一半混雜了我自己的推導，記號也與大栗教授原文略有差異。

首先，假定$m \ge 1$。對於擲出第1次的結果，有2種可能性：以p的機率擲出正面，資金變為$m+1$元；以q的機率擲出反面，資金變為$m-1$元。再從第2次開始，如果是從$m+1$元開始，那麼按照書中的定義，變為N元的機率為$P(m+1, N)$；從$m-1$元開始，變為N元的機率則是$P(m-1, N)$。因此得到遞迴關係式：
$$P(m, N) = p \times P(m+1, N) + q \times P(m-1, N).$$
不難理解$P(0, N) = 0, P(N, N) = 1$。前者的原因為0元毫無翻本的可能；後者好比一起跑就在終點。

(類似的遞迴之推導另可參考我的文章〈台中區國立高級中學103學年度大學入學第一次學科能力測驗聯合模擬考，選填2〉。)

為方便計算，以下記$P(k, N) = a_k$。所以根據上文的討論，我們要求解的即是以下的遞迴式：
$$\left\{ \begin{align*} a_k &= p \times a_{k+1} + q \times a_{k-1}, k \ge 1 \\ a_0 &=0 \\ a_N &= 1 \end{align*} \right.$$
對於遞迴關係$a_k = p \times a_{k+1} + q \times a_{k-1}$，變形為
$$p \times a_{k+1} = a_k - q \times a_{k-1}.$$
左右同時減去$p \times a_k$，於是
$$p \times a_{k+1} - p \times a_k = a_k  - p \times a_k - q \times a_{k-1},$$
注意到$p+q = 1$，所以得
$$p(a_{k+1} - a_k) = q(a_k - a_{k-1}).$$
此為等比關係！故得
$$a_{k+1} - a_k = \left( \frac{q}{p} \right)^k (a_1 - a_0).$$
代入初始條件$a_0 = 0, a_N = 1$，有
$$a_N = \left[ 1 + \left( \frac{q}{p} \right) + \cdots + \left( \frac{q}{p} \right)^{N-1} \right] a_1$$
與
$$a_m = \left[ 1 + \left( \frac{q}{p} \right) + \cdots + \left( \frac{q}{p} \right)^{m-1} \right] a_1.$$
故
\begin{align*}  a_m &=  \left[ 1 + \left( \frac{q}{p} \right) + \cdots + \left( \frac{q}{p} \right)^{m-1} \right] a_1 \\ &= \left[ 1 + \left( \frac{q}{p} \right) + \cdots + \left( \frac{q}{p} \right)^{m-1} \right] \times \frac{a_N}{1 + \left( \frac{q}{p} \right) + \cdots + \left( \frac{q}{p} \right)^{N-1}} \\ &= \frac{1 - \left( \frac{q}{p} \right)^m}{1 - \frac{q}{p}} \times \frac{1}{1 + \left( \frac{q}{p} \right) + \cdots + \left( \frac{q}{p} \right)^{N-1}} \\ &= \frac{1 - \left( \frac{q}{p} \right)^m}{1 - \frac{q}{p}} \times \frac{1 - \frac{q}{p}}{1 - \left( \frac{q}{p} \right)^N} \\ &= \frac{1 - \left( \frac{q}{p} \right)^m}{1 - \left( \frac{q}{p} \right)^N}. \end{align*}

(證明終了)

參考資料

[1] 大栗博司，第１話　補遺：①　ギャンブラーの破産問題。

$n$次方根函數的連續性

==定理1==

$\forall n \in \mathbb{N}$,
(i) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+} \sqrt[n]{x} = 0$；
(ii) $\displaystyle \forall a \in \mathbb{R}^+, \lim_{x \rightarrow a} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a}$。

==證明==

(i) $\forall \varepsilon > 0$，取$\delta = \varepsilon^n$，則$\forall x \in (0, \delta)$得
$$|\sqrt[n]{x} - 0| = \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{\delta} = \sqrt[n]{\varepsilon^n} = \varepsilon.$$

(ii) $\forall \varepsilon > 0$，取$\delta = \sqrt[n]{a}^{n-1}\varepsilon$，則$\forall x \in (a-\delta, a) \cup (a, a+\delta)$，利用割圓恆等式得
\begin{align*}  |\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a}| &= \frac{|\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a}| \times {\color{red} {|\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{a} + \cdots + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{a}^{n-2} + \sqrt[n]{a}^{n-1}|}}}{\color{red} {|\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{a} + \cdots + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{a}^{n-2} + \sqrt[n]{a}^{n-1}|}} \\ &= \frac{|x - a|}{|\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{a} + \cdots + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{a}^{n-2} + \sqrt[n]{a}^{n-1}|} \\ &= \frac{|x - a|}{\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{a} + \cdots + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{a}^{n-2} + \sqrt[n]{a}^{n-1}} \\ &< \frac{\delta}{\sqrt[n]{a}^{n-1}} \\ &= \frac{\sqrt[n]{a}^{n-1} \varepsilon}{\sqrt[n]{a}^{n-1}} \\ &= \varepsilon.  \end{align*}

(證明終了)

定理1意味著n次方根函數$f(x) = \sqrt[n]{x}, x \ge 0$在非負實數$[0, +\infty)$上是連續的。

高木貞治的《解析概論》§10在證明實數指數的指數律$(a^x)^y = a^{xy}$中用到了「最後一個等式的證明利用$x^r$[r為有理數]的連續性」，不過高木沒有給出此敘述的證明。以下利用定理1的結果說明此敘述是正確的。

==定理2==

有理冪函數(rational power function)$f(x) = x^r, r \in \mathbb{Q}$在正實數$\mathbb{R}^+$上是連續的。

==證明==

假定m, n為正整數。

情形1  r為正有理數，$r = \frac{m}{n}$

此時$f(x) = x^r = x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m} = \sqrt[n]{x}^m = \underbrace{\sqrt[n]{x} \times \sqrt[n]{x} \times \cdots \times \sqrt[n]{x}}_{m {\text{個}}}$。由定理1知$\sqrt[n]{x}$是連續函數。再由「連續函數之四則運算結果仍為連續函數」可知$f(x) = x^r$為連續函數。

情形2  r為負有理數，$r = -\frac{m}{n}$

此時$f(x) = x^r = x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{x^{\frac{m}{n}}}$，其中分母的$x^{\frac{m}{n}}$由情形1可知為連續函數，再根據「連續函數之四則運算結果仍為連續函數」可知$f(x) = x^r$為連續函數。

(證明終了)

[附記]

這種分情形的手法是我學自H. B. Fine（維基百科介紹頁面）的A College Algebra（網際網路資料庫Archive的掃描檔）。

==參考資料==

[1] 高木貞治，解析概論(改訂第3版)，岩波書店。(簡體中譯本：馮速等譯，《高等微積分》，人民郵電出版社)
[2] H. B. Fine, A College Algebra, Ginn and the Company. (繁體中譯本：駱師曾等譯，莊禮深校，《范氏大代數》，世界書局)

日本數學奧林匹亞JMO，1991，初賽，問題3，給定三角形三中線長度，求三角形面積

==問題==

==譯文==

三角形ABC的中心為G，$\overline{GA} = 2\sqrt{3}, \overline{GB} = 2\sqrt{2}, \overline{GC} = 2$，求三角形ABC的面積。

==解答==

本題偶爾見於國中幾何題中，是較具難度的題目，略有名氣。常見的做法為考慮重心G對某邊(例如$\overline{BC}$)中點的對稱點(要用點對稱！)，然後作出一個小平行四邊形，觀察其中的一部分的三角形，會發現三條線段長度正巧符合直角三角形邊長關係，從而得出原來三角形ABC的一部分為直角三角形。再利用三中線六等分三角形的概念，即可推知三角形面積。

此作法的優點是所用到的工具僅限於國中程度，相當巧妙。然而，巧雖巧矣，普通學生實在很難想到。(我的學生邢○○：「這誰想的到啊！？」)

(其實也不難想，就是稍微修改通常所見到證明三角形重心存在性之證明，但這是馬後炮。)

(我自己教學時，證明重心存在性，是用兩中線分割面積比來證的。因為，我覺得一般課本的證法不好想到。台北南門國中曾明德老師撰文一篇討論重心的教學，可參考。)

我目前還沒看到哪本書給出不同的作法，大家都是抄來抄去。

以下給出一個利用三角函數的作法。

如圖設定各點座標。

由於G是重心，所以有$\frac{A+B+C}{3}=G(0, 0)$，按x, y分量來看，得
$$\left\{ \begin{align*} 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}\cos \theta + 2\cos \varphi &= 0 \\ 2\sqrt{2} \sin \theta + 2 \sin \varphi &= 0 \end{align*} \right.$$
整理得
$$\left\{ \begin{align*} \sqrt{2}\cos \theta + \cos \varphi &= -\sqrt{3} \\ \sqrt{2} \sin \theta + \sin \varphi &= 0 \end{align*} \right.$$
平方相加得
$$2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + 2\sqrt{2}(\cos \theta \cos \varphi + \sin \theta \sin \varphi) + (\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) = 3.$$
所以有
$$\cos (\theta - \varphi) = 0.$$
因此$\theta - \varphi = 90^\circ$（$\theta - \varphi$當然不可能是$180^\circ$或是其他角度）。從而可知$\triangle CGB$為直角三角形，且$\angle G = 90^\circ$。故
$$\triangle ABC = \triangle CGB \times 3 = \left( 2\sqrt{2} \times 2 \times \frac{1}{2} \right) \times 3 = 6 \sqrt{2}.$$

（解答結束）

==後記==

寫完上面的正文後，再google一下，做點文獻回顧。搜尋關鍵字「已知三中線長求面積」，略略看了一下，不論是網誌還是YouTube影片，幾乎所有人的作法也是一樣的。只有在這裡看到一個使用向量的解法。向量的作法很精緻，我的作法直接，本質等價，表現氣質不同。

不過說到底，這種題目給國中生做，挑戰性蠻高的。一個問題是，在普通的國中課程框架內，找對稱點這種本質上為幾何變換的解題手法，頗難應用到一般的題目上去，就變成了知識網絡中的孤立點。就算教了，學生泰半只會覺得「好難想到」，要嘛隔兩天就忘了，不然就是渾渾噩噩地背起來。我認為還是放在高中階段再解會比較恰當。

96年，基測，第二次，數學科，詳解

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96年，基測，第一次，數學科，詳解

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用排容原理解機率題目

==問題==

某學校有並排的6間空房，任意分給新到的教師(一人一間)，求甲、乙兩位教師的房間均不與丙的房間相鄰的機率。

==出處==

沈文選、楊清桃，數學應用展觀，哈爾濱工業大學出版社，2018。第5章，思考題4

==解答==

命$\Omega$為任意排列所構成的樣本空間，事件$A=$甲與丙相鄰，事件$B=$乙與丙相鄰。

因此$A^c=$甲不與丙相鄰，$B^c=$乙不與丙相鄰，而$A^c \cap B^c=$甲、乙均不與丙相鄰。

由De Morgan定理，得
\begin{align*}n(A^c \cap B^c) &= n[(A \cup B)^c] \\ &= n(\Omega) - n(A \cup B) \\ &= n(\Omega) - [n(A) + n(B) - n(A \cap B)] \\ &= n(\Omega) - n(A) - n(B) + n(A \cap B).\end{align*}
以下分別計算$n(\Omega), n(A), n(B)$以及$n(A \cap B)$。

顯然$n(\Omega) = 6! = 720$。

將宿舍編號為1, 2, 3, 4, 5, 6。以甲、丙而論，若要相鄰，則可先取相鄰的兩間，如(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)，共5種可能。入住後，甲、丙可再交換，然後再讓其他人入住。因此
$$n(A) = 5 \times 2! \times 4! = 5 \times 2 \times 24 = 240.$$
同理亦有
$$n(B) = 5 \times 2! \times 4! = 5 \times 2 \times 24 = 240.$$

接著，對於$A \cap B$，此時甲、乙、丙三人入住，那麼可以取(1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6)共4種可能。入住後，僅有可能為「甲、丙、乙」或是「乙、丙、甲」(丙一定只能是在中心位置)。因此得
$$n(A \cap B) = 4 \times 2! \times 3! = 4 \times 2 \times 6 = 48.$$

從而有
$$n(A^c \cap B^c) = n(\Omega) - n(A) - n(B) + n(A \cap B) = 720 - 240 - 240 + 48 = 288,$$
所以
$$P(A^c \cap B^c) = \frac{n(A^c \cap B^c)}{n(\Omega)} = \frac{288}{720} = \frac{2}{5}.$$

95年，基測，第二次，數學科，詳解

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95年，基測，第一次，數學科，詳解

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注意：

• 本年度第33題之題意不清，答案為A與D。
• 師大心測中心（出題單位）對第33題的【說明】。
• 陳威理老師在康軒出版公司發表的〈95年國中基測第33題的問題探討〉。

2019-02-19，九年級模考，數學，翰林版，詳解

• 感謝陳新同學提供試卷。
• 題目版權皆歸屬出版社所有。

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94年，基測，第二次，數學科，詳解

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94年，基測，第一次，數學科，詳解

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94，參考題本，數學科，詳解

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93年，基測，第二次，數學科，詳解

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93年，基測，第一次，數學科，詳解

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92年，基測，第二次，數學科，詳解

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92年，基測，第一次，數學科，詳解

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91年，基測，第二次，數學科，詳解

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91年，基測，第一次，數學科，詳解

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90年，基測，第二次，數學科，詳解

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勘誤：第19題計算有誤，答案應更正為(D)，感謝莊婧言同學指正。

90年，基測，第一次，數學科，詳解

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90年，基測練習題本，數學科(2)，詳解

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90年，基測練習題本，數學科(1)，詳解

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東京大學，1961，文科/理科，前期，第4題：線段分割二比一，求中心小三角形面積

問題

設$\triangle ABC$的三邊$\overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}$上頭分別有點$L, M, N$使得$\displaystyle \frac{BL}{LC}=\frac{CM}{MA}=\frac{AN}{NM}=\frac{1}{2}$，其中$\overline{AL}$與$\overline{CN}$交點為$P$，$\overline{AL}$與$\overline{BM}$交點為$Q$，$\overline{BM}$與$\overline{CN}$交點為$R$。試求出$\triangle PQR$與$\triangle ABC$的面積比。

解答1 (國中) 綜合幾何法

1. 證明三角形共邊關係：$\triangle ANC : \triangle LNC = \overline{AP} : \overline{LP}$。
2. 證明：$\overline{AP} : \overline{LP} = 3 : 4$。
3. 證明：$\triangle LBM : \triangle ABM = \overline{LQ} : \overline{AQ}$。
4. 證明：$\overline{LQ} : \overline{AQ} = 1 : 6$。
5. 證明：$\overline{AP} : \overline{PQ} : \overline{QL} = 3 : 3 : 1$。
6. 證明：$\triangle ABQ = \frac{2}{7} \triangle ABC$。
7. 討論$\triangle BCR$與$\triangle ABC$的關係。
8. 討論$\triangle CAP$與$\triangle ABC$的關係。
9. 求出$\triangle PQR$與$\triangle ABC$的面積比。

解答2 (高中) 向量法

1. 設$\overrightarrow{AL} = s_1 \overrightarrow{AB} + t_1  \overrightarrow{AC}$，試利用分點公式求出$s_1 ,t_1$之值。
2. 設$\overrightarrow{AP} = s_2 \overrightarrow{AN} + t_2 \overrightarrow{AC}$，試利用平行關係及分點公式求出$s_2 ,t_2$之值。
3. 將$\overrightarrow{BQ}$表示為$\overrightarrow{BC}$與$\overrightarrow{BA}$的線性組合。
4. 將$\overrightarrow{CR}$表示為$\overrightarrow{CA}$與$\overrightarrow{CB}$的線性組合。
5. 將$\overrightarrow{PQ}$表示為$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的線性組合。
6. 將$\overrightarrow{PR}$表示為$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的線性組合。
7. 根據三角形的行列式面積公式有$\triangle ABC = \frac{1}{2} \left| \det \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) \right|, \triangle PQR = \frac{1}{2} \left| \det \left( \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR} \right) \right|$。試利用行列式的性質求出$\triangle PQR$與$\triangle ABC$的面積比。

參考資料

[1] http://server-test.net/math/php.php?name=tokyo&v1=0&v2=1961&v3=1&v4=4&y=1961&n=4

評：該網站作者的解法頗複雜啊...原因在於他的向量解法只用半套，解出了邊長比後，又回去傳統的面積比、線段比解法，太繁瑣(笨)。如果要用向量玩到底，就應該引入行列式進來，把這道題目完全(向量)代數化，僅靠純粹的展開計算就可以得到答案。

Apostol Linear Algebra Exercise 0.26.9

問題

用0.24節介紹的de Moivre公式證明以下各公式。

(a) $\cos 4x = 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 1$。

(b) $\sin 4x = \sin x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right)$。

(c) 證明(a)和(b)可通過微分互相推導。

解答

考慮$\left( \cos x + i \sin x \right)^4$，同時用兩種方式展開：二項式展開與de Moivre定理，得到
$$\sum_{k=0}^{4} {4 \choose k} \cos^{4-k} x \cdot i^k \sin^k x = \cos 4x + i \sin 4x.$$
比較實部與虛部，有
$$\cos 4x = {4 \choose 0} \cos^4 x + {4 \choose 2} \cos^2 x \cdot i^2 \sin^2 x + {4 \choose 4} i^4 \sin^4 x,$$
以及
$$i\sin 4x = {4 \choose 1} \cos^3 x \cdot i \sin x + {4 \choose 3} \cos x \cdot i^3 \sin^3 x.$$

(a)
\begin{eqnarray*} \cos 4x &=& {4 \choose 0} \cos^4 x + {4 \choose 2} \cos^2 x \cdot i^2 \sin^2 x + {4 \choose 4} i^4 \sin^4 x \\ &=& \cos^4 x + 6 \cos^2 x \cdot (-1) \sin^2 x + \sin^4 x\\ &=& \cos^4 x - 6 \cos^2 x \left( 1 - \cos^2 x \right) + \left( 1 - \cos^2 x \right)^2 \\ &=& \cos^4 x - 6 \cos^2 x + 6 \cos^4 x + 1 - 2 \cos^2 x + \cos^4 x \\ &=& 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x +1 \end{eqnarray*}

(b)
\begin{eqnarray*} \sin 4x &=& {4 \choose 1} \cos^3 x \sin x + {4 \choose 3} \cos x \cdot i^2 \sin^3 x \\ &=& 4 \cos^3 x \sin x + 4 \cos x \cdot (-1) \sin^3 x \\ &=& \sin x \left( 4 \cos^3 x - 4 \cos x \sin^2 x \right) \\ &=& \sin x \left[ 4 \cos^3 x - 4 \cos x \left( 1 - \cos^2 x \right) \right] \\ &=& \sin x \left( 4 \cos^3 x - 4 \cos x + 4 \cos^3 x \right) \\ &=& \sin x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right) \end{eqnarray*}

(c) 我們首先從(a)所得結果出發，想辦法通過微分推出(b)。
\begin{eqnarray*}
\frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \cos 4x &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \left( 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x +1 \right), \\
- \sin 4x \cdot 4 &=& 8 \cdot 4 \cos^3 x (- \sin x) - 8 \cdot 2 \cos x (- \sin x), \\
-4 \sin 4x &=& -32 \cos^3 x \sin x + 16 \cos x \sin x, \\
\sin 4x &=& 8 \cos^3 x \sin x - 4 \cos x \sin x \\
&=& \sin x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right).
\end{eqnarray*}
然後再從(b)推出(a)。
\begin{eqnarray*}
\frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \sin 4x &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \left[ \sin x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right) \right], \\
\cos 4x \cdot 4 &=& \cos x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right) + \sin x \left[ 8 \cdot 3 \cdot \cos^2 x (- \sin x) + 4 \sin x \right] \\
&=& 8 \cos^4 x - 4 \cos^2 x - 24 \cos^2 x \sin^2 x + 4 \sin^2 x \\
&=& 8 \cos^4 x - 4 \cos^2 x - 24 \cos^2 x \left( 1 - \cos^2 x \right) + 4 \left( 1 - \cos^2 x \right) \\
&=& 32 \cos^4 x - 32 \cos^2 x + 4, \\
\cos 4x &=& 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 1.
\end{eqnarray*}

Apostol Linear Algebra Exercise 0.26.8

問題

令$f(x) = \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t$，其中$g$是一個給定的在任意點都可微的函數。

(a) 證明$f'(x) = g(x) - \int_{0}^{x} g(t) \sin (x-t) \, {\rm d}t$。
[提示：$\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$。]

(b) 求滿足$f''(x) + f(x) = a g'(x) + b g(x)$的常數$a$和$b$。

解答

(a) 根據提示，首先對被積函數$g(t) \cos (x-t)$展開，如下，

\begin{eqnarray*} f(x) &=& \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t \\ &=& \int_{0}^{x} g(t) (\cos x \cos t + \sin x \sin t) \, {\rm d}t \\ &=& \cos x \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \sin x \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t. \end{eqnarray*}

於是

\begin{eqnarray*} f'(x) &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} f(x) \\ &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \left[ \cos x \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \sin x \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t \right] \\ &=& -\sin x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \cos x \cdot g(x) \cos x + \cos x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t + \sin x \cdot g(x) \sin x \\ &=& g(x) \left( \cos^2 x + \sin^2 x \right) - \int_{0}^{x} g(t) (\sin x \cos t - \cos x \sin t) \, {\rm d}t \\ &=& g(x) - \int_{0}^{x} g(t) \sin (x-t) \, {\rm d}t. \end{eqnarray*}

(b) 首先計算$f''(x)$。

\begin{eqnarray*} f''(x) &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} f'(x) \\ &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \left[ -\sin x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \cos x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t + g(x) \right] \\ &=& - \cos x \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t - \sin x \cdot g(x) \cos x - \sin x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t + \cos x g(x) \sin x + g'(x) \\ &=& g'(x) - \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t.  \end{eqnarray*}
於是
$$f''(x) + f(x) = \left[ g'(x) - \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t \right] + \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t = g'(x).$$
所以$a=1, b-0$。

書評：數學女孩秘密筆記-微分篇

書籍基本資料與相關連結

• 書名：數學女孩秘密筆記-微分篇 (日文原版書名：数学ガールの秘密ノート/微分を追いかけて)
• 作者：結城浩
• 繁體中文版譯者：衛宮紘
• 繁體中文版出版社：世茂
• 博客來網路書店連結
• 日文原版日本Amazon連結

書籍章節內容

第1章    位置的變化

第2章    速度的變化

第3章    巴斯卡三角形

第4章    位置、速度、加速度

第5章    除法乘法大亂鬥

評論 

1. 本書的主題是微分學，第1章與第2章以物理的運動學為引子，先以位移與速度的關係導入極限與微分†的概念，然後在第3章轉入Pascal三角形的討論，介紹了二項式定理，然後推出多項式函數$x^n$的微分公式
$$\frac{d}{dx} x^n = n\cdot x^{n-1}.$$
接著再次於第4章回到運動學，以「微分的微分」討論了加速度。結城先生不滿足於侷限在一維直線運動，在第4章的結尾稍微論述了單擺的簡諧運動，以研究振動現象為著眼點探討了正弦函數及其導函數。第5章介紹自然常數$e$。順著數學史的進程，從當年(1690)Jacob Bernoulli對於複利問題的研究談起，介紹了複利公式後讓書中三位要角開始研究了數列
$$\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$$
的歛散性問題。最後以自然指數函數$e^x$的一些性質為結尾結束全書。

2. 以運動學做引子來切入極限與微分的手法，其實符合數學史的發展情況。當年Newton正是為了研究物體的運動情況而創立了微積分。不過結城先生也並未忽視微積分的另一起源：Leibniz關於切線問題及其對Pascal三角形的研究。揉合兩位大數學家的思考與研究，構成了前四章的內容。雖然書中對於數學史上微積分的發展並未著墨甚深，但也讓讀者跟著書中幾位角色一起走過了歷史的軌跡。我認為這樣的寫法相當高明。

平心而論，前四章最出彩的依然是第3章關於Pascal三角形的討論，而物理方面的內容就稍微流於淺薄，並不比一般教科書多了多少內容。我想之所以如此，大概與作者的出身背景不無關連。再怎麼說，《數學女孩》這一系列的書籍還是從離散數學起家。不過雖然我認為物理方面的討論不夠出色，但也只是限於和書中第3章相比。事實上，書中對於位移與速度等等的討論，相當的平緩，逐步深入，對於初學者，例如國中生，其實相當友善。前四章的算式不多，甚至連瞬時速度的定義式
$$v(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t}$$
都沒有寫出來，僅僅是用文字敘述。但作者更注重圖形的思考，例如第2章的問題2-1，如果沒有準確理解對正文關於速度與位移關係的討論，那麼未必能正確回答。第4章末用切線的概念來求出正弦函數$y = \sin x$的導函數這個手法讓我想起數學家V. I. Arnold曾經出過一道題目：

如果給出了某曲線的各點切線斜率數值所構成的曲線(沒有寫明具體數值)，要怎樣還原出本來的曲線？

(請原諒我忘記該問題的詳細出處)我想若我帶學生讀這本書，應該會提出這道問題讓學生思考。或許限於書本預設讀者程度，第4章雖然討論了簡諧運動，卻沒有給出細緻的力學系統討論、單擺所滿足的微分方程、解二階常係數微分方程的技巧，這或許也是學生讀書會可以補充的內容(不過大概得挪到讀完第5章後)。

第5章是最精彩的一章，從銀行的計息方式開始談，這正是1690年Jacob Bernoulli對於極限$\lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$的研究起點！再次地，結城先生又讓讀者與書中的角色一起走過歷史的軌跡。定義數列$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$，5.6節使用實數完備性去論證數列的收斂性，同時藉米爾迦之口指出5.4與5.5節論述缺乏嚴密性之處。事實上證明「數列$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$遞增有上界」這回事在大學微積分課本中，如果採用的是傳統的指數函數引入方式，大概也就是幾行就結束的內容(例如高木貞治的解析概論就只是當一個例題談談而已)。不過因為本書對象讀者並非大學生，這裡結城先生非常、非常詳細地寫出完整的論證過程，幾乎沒有跳過什麼算式，初學者可以從書中的詳細推導學到式子變形的技巧。而對於看不懂大學教科書的人來說，可以來看此書獲得一些幫助。

3. 下面來說說我對於本書不滿意的地方。我認為最嚴重的問題在於沒有區分清楚「微分」這個詞的含意與詞性。事實上，考慮數線上一點$x_0$，設存在正實數$\delta$使得實值函數$f$在區間$(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$有定義。如果極限
$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$
存在，則稱該極限值為函數$f$在點$x_0$的「導數(derivative)」，或是「微商(differential quotient)」，或是「微分係數(differential coefficient)」，一般記做$f'(x_0)$。而求出函數在點$x_0$的導數這樣的過程稱為「求導」，或是「微分(differentiate)」。而我們又另外定義了函數$f$的微分(differential)為線性函數$df|_{x_0}(h) = f'(x_0) h$，幾何直觀為曲線切線上的$y$座標差。

簡單來說，「微分」這個字詞有雙重含義。如果做動詞使用，是指「求出導數」；如果做名詞使用，是指可微函數所誘導的線性函數。兩者相當不同。在台灣，並沒有仔細地區分這些名詞的真確含義。不明白這些細微差別的人，某些情況在討論時，勢必會遭遇到「無法確切表達自己要說什麼」的窘境。

第5章的指數函數$e^x$的討論結束的有點草，尤其是關於$e$的無窮展開，
$$e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$$
未給出什麼說明。也許結城先生希望讀者自己推導？

最後，「必須」與「必需」沒有區分明白。一般說來，「必須」作副詞用，後頭要接動詞；而「必需」作動詞用，後頭接名詞。例如「你必須『完成』回家作業」與「生活必需『品』」這兩句話，「必須」後頭接了動詞「完成」；而「必需品」中的「品」則是指物品，當名詞用。

在第173頁第4行，原文作「我們必需證明...」，應更正為「我們必須證明...」。

在第176頁倒數第6行，原文作「我們必需比較各項...」，應更正為「我們必須比較各項...」。

4. 整體來說，雖然有部分用字遣詞混淆不清，不過瑕不掩瑜，仍然是一本相當棒的書，可讀性強，對讀者相當友善，必定可以達到「開卷有益」。適合的讀者有：準備學或是學過理化運動學的國三學生、高中學生、大學文組的學生。

相關連結

台北市成功高中的陳彥宏老師也有一篇關於本書的書評，請見台北市成功高中陳彥宏老師的書評 (發表於數學學科中心電子報)。