Apostol Linear Algebra Exercise 0.26.9

問題

用0.24節介紹的de Moivre公式證明以下各公式。

(a) $\cos 4x = 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 1$。

(b) $\sin 4x = \sin x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right)$。

(c) 證明(a)和(b)可通過微分互相推導。

解答

考慮$\left( \cos x + i \sin x \right)^4$，同時用兩種方式展開：二項式展開與de Moivre定理，得到
$$\sum_{k=0}^{4} {4 \choose k} \cos^{4-k} x \cdot i^k \sin^k x = \cos 4x + i \sin 4x.$$
比較實部與虛部，有
$$\cos 4x = {4 \choose 0} \cos^4 x + {4 \choose 2} \cos^2 x \cdot i^2 \sin^2 x + {4 \choose 4} i^4 \sin^4 x,$$
以及
$$i\sin 4x = {4 \choose 1} \cos^3 x \cdot i \sin x + {4 \choose 3} \cos x \cdot i^3 \sin^3 x.$$

(a)
\begin{eqnarray*} \cos 4x &=& {4 \choose 0} \cos^4 x + {4 \choose 2} \cos^2 x \cdot i^2 \sin^2 x + {4 \choose 4} i^4 \sin^4 x \\ &=& \cos^4 x + 6 \cos^2 x \cdot (-1) \sin^2 x + \sin^4 x\\ &=& \cos^4 x - 6 \cos^2 x \left( 1 - \cos^2 x \right) + \left( 1 - \cos^2 x \right)^2 \\ &=& \cos^4 x - 6 \cos^2 x + 6 \cos^4 x + 1 - 2 \cos^2 x + \cos^4 x \\ &=& 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x +1 \end{eqnarray*}

(b)
\begin{eqnarray*} \sin 4x &=& {4 \choose 1} \cos^3 x \sin x + {4 \choose 3} \cos x \cdot i^2 \sin^3 x \\ &=& 4 \cos^3 x \sin x + 4 \cos x \cdot (-1) \sin^3 x \\ &=& \sin x \left( 4 \cos^3 x - 4 \cos x \sin^2 x \right) \\ &=& \sin x \left[ 4 \cos^3 x - 4 \cos x \left( 1 - \cos^2 x \right) \right] \\ &=& \sin x \left( 4 \cos^3 x - 4 \cos x + 4 \cos^3 x \right) \\ &=& \sin x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right) \end{eqnarray*}

(c) 我們首先從(a)所得結果出發，想辦法通過微分推出(b)。
\begin{eqnarray*}
\frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \cos 4x &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \left( 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x +1 \right), \\
- \sin 4x \cdot 4 &=& 8 \cdot 4 \cos^3 x (- \sin x) - 8 \cdot 2 \cos x (- \sin x), \\
-4 \sin 4x &=& -32 \cos^3 x \sin x + 16 \cos x \sin x, \\
\sin 4x &=& 8 \cos^3 x \sin x - 4 \cos x \sin x \\
&=& \sin x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right).
\end{eqnarray*}
然後再從(b)推出(a)。
\begin{eqnarray*}
\frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \sin 4x &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \left[ \sin x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right) \right], \\
\cos 4x \cdot 4 &=& \cos x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right) + \sin x \left[ 8 \cdot 3 \cdot \cos^2 x (- \sin x) + 4 \sin x \right] \\
&=& 8 \cos^4 x - 4 \cos^2 x - 24 \cos^2 x \sin^2 x + 4 \sin^2 x \\
&=& 8 \cos^4 x - 4 \cos^2 x - 24 \cos^2 x \left( 1 - \cos^2 x \right) + 4 \left( 1 - \cos^2 x \right) \\
&=& 32 \cos^4 x - 32 \cos^2 x + 4, \\
\cos 4x &=& 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 1.
\end{eqnarray*}