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2019年1月10日 星期四

Apostol Linear Algebra Exercise 0.26.9

問題


用0.24節介紹的de Moivre公式證明以下各公式。

(a) cos4x=8cos4x8cos2x+1

(b) sin4x=sinx(8cos3x4cosx)

(c) 證明(a)和(b)可通過微分互相推導。

解答


考慮(cosx+isinx)4,同時用兩種方式展開:二項式展開與de Moivre定理,得到
4k=0(4k)cos4kxiksinkx=cos4x+isin4x.
比較實部與虛部,有
cos4x=(40)cos4x+(42)cos2xi2sin2x+(44)i4sin4x,
以及
isin4x=(41)cos3xisinx+(43)cosxi3sin3x.

(a)
cos4x=(40)cos4x+(42)cos2xi2sin2x+(44)i4sin4x=cos4x+6cos2x(1)sin2x+sin4x=cos4x6cos2x(1cos2x)+(1cos2x)2=cos4x6cos2x+6cos4x+12cos2x+cos4x=8cos4x8cos2x+1

(b)
sin4x=(41)cos3xsinx+(43)cosxi2sin3x=4cos3xsinx+4cosx(1)sin3x=sinx(4cos3x4cosxsin2x)=sinx[4cos3x4cosx(1cos2x)]=sinx(4cos3x4cosx+4cos3x)=sinx(8cos3x4cosx)

(c) 我們首先從(a)所得結果出發,想辦法通過微分推出(b)。
ddxcos4x=ddx(8cos4x8cos2x+1),sin4x4=84cos3x(sinx)82cosx(sinx),4sin4x=32cos3xsinx+16cosxsinx,sin4x=8cos3xsinx4cosxsinx=sinx(8cos3x4cosx).
然後再從(b)推出(a)。
ddxsin4x=ddx[sinx(8cos3x4cosx)],cos4x4=cosx(8cos3x4cosx)+sinx[83cos2x(sinx)+4sinx]=8cos4x4cos2x24cos2xsin2x+4sin2x=8cos4x4cos2x24cos2x(1cos2x)+4(1cos2x)=32cos4x32cos2x+4,cos4x=8cos4x8cos2x+1.

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