問題
用0.24節介紹的de Moivre公式證明以下各公式。
(a) cos4x=8cos4x−8cos2x+1。
(b) sin4x=sinx(8cos3x−4cosx)。
(c) 證明(a)和(b)可通過微分互相推導。
解答
考慮(cosx+isinx)4,同時用兩種方式展開:二項式展開與de Moivre定理,得到
4∑k=0(4k)cos4−kx⋅iksinkx=cos4x+isin4x.
比較實部與虛部,有
cos4x=(40)cos4x+(42)cos2x⋅i2sin2x+(44)i4sin4x,
以及
isin4x=(41)cos3x⋅isinx+(43)cosx⋅i3sin3x.
(a)
cos4x=(40)cos4x+(42)cos2x⋅i2sin2x+(44)i4sin4x=cos4x+6cos2x⋅(−1)sin2x+sin4x=cos4x−6cos2x(1−cos2x)+(1−cos2x)2=cos4x−6cos2x+6cos4x+1−2cos2x+cos4x=8cos4x−8cos2x+1
(b)
sin4x=(41)cos3xsinx+(43)cosx⋅i2sin3x=4cos3xsinx+4cosx⋅(−1)sin3x=sinx(4cos3x−4cosxsin2x)=sinx[4cos3x−4cosx(1−cos2x)]=sinx(4cos3x−4cosx+4cos3x)=sinx(8cos3x−4cosx)
(c) 我們首先從(a)所得結果出發,想辦法通過微分推出(b)。
ddxcos4x=ddx(8cos4x−8cos2x+1),−sin4x⋅4=8⋅4cos3x(−sinx)−8⋅2cosx(−sinx),−4sin4x=−32cos3xsinx+16cosxsinx,sin4x=8cos3xsinx−4cosxsinx=sinx(8cos3x−4cosx).
然後再從(b)推出(a)。
ddxsin4x=ddx[sinx(8cos3x−4cosx)],cos4x⋅4=cosx(8cos3x−4cosx)+sinx[8⋅3⋅cos2x(−sinx)+4sinx]=8cos4x−4cos2x−24cos2xsin2x+4sin2x=8cos4x−4cos2x−24cos2x(1−cos2x)+4(1−cos2x)=32cos4x−32cos2x+4,cos4x=8cos4x−8cos2x+1.
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